新教材2023-2024学年高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算第1课时空间向量的概念及线性运算课件新人教B版选择性必修第一册

第一章1.1.1第1课时空间向量的概念及线性运算课程标准1.了解由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念;2.了解由平面向量的线性运算及其运算法则推广到空间向量的过程;3.掌握空间向量的线性运算,并理解其几何意义.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1空间向量的概念(1)空间向量的定义

空间向量空间中既有

,又有

的量

向量的模(或长度)向量的大小也称为向量的模,向量a的模可用

来表示

大小

方向|a|(2)几类特殊的空间向量

名称定义及表示零向量始点和终点相同的向量称为

,记为0(书写时,用

表示)单位向量

的向量称为单位向量(常用e表示,即|e|=1)

相等向量

的向量称为相等向量

相反向量与向量a大小

,方向

的向量,称为a的相反向量,记作

向量共线如果两个非零向量的方向

,则称这两个向量平行(也称为两个向量共线),记作a∥b

共面向量一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在

内,则称这些向量共面,否则称这些向量

零向量

模等于1大小相等,方向相同相等相反相同或者相反-a同一平面不共面名师点睛1.平面向量的相关概念与约定,去掉“在平面内”的限定后,就都可以推广到空间中.2.易错点重温:(1)向量的模可以比较大小,而两个向量可以相等但不可以比较大小.(2)通常规定零向量与任意向量平行,研究向量平行(共线)问题时勿遗漏这一特殊情况.例如,“a∥b,b∥c,则a∥c”这是一个假命题.过关自诊1.下列说法正确的是(

)A.若|a|=|b|,则向量a∥bB.若|a|>|b|,则向量a>bC.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同D.若a与b是相反向量,则|a|=|b|D2.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为棱AA',AB的中点.知识点2空间向量的线性运算及其运算律(1)如图,任意给定两个不共线的向量a,b,在空间中任取一点O,作①加法:a+b=

.

②减法:a-b=

.

(2)数乘:λa,①当λ≠0,a≠0时,|λa|=

,而且λa的方向:

当λ>0时,λa与a方向

;

当λ<0时,λa与a方向

;

②当λ=0或a=0时,λa=0.(3)共线向量基本定理如果a≠0且b≠a,则存在唯一的实数λ,使得

.

|λ||a|相同

相反

b=λa(4)线性运算律

①加法交换律:a+b=

;

②加法结合律:(a+b)+c=

;

③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=

.

b+aa+(b+c)λa+λb名师点睛1.空间向量的线性运算及其运算律为平面向量的推广.2.以向量a,b为邻边的平行四边形中,a+b与a-b对应的有向线段所表示的是两条对角线,|a+b|与|a-b|为两条对角线的长度.3.三个不共面的向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.4.首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,它们的和向量为0.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)空间中两个非零向量相加时,可以在空间中任取一点作为它们的共同始点.(

)(2)若a=λb(b≠0),则λ=.(

)√×重难探究·能力素养全提升探究点一空间向量的概念【例1】

给出下列说法:①两个空间向量相等,则它们的始点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确的个数为(

)A.4 B.3 C.2 D.1C解析

当两个空间向量的始点相同,终点也相同时,这两个向量必相等;但两个向量相等,不一定有始点相同、终点相同,故①错误;根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错误;根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1④显然正确;对于⑤,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错误.故选C.规律方法

解决有关向量概念的问题时,要熟练掌握空间向量的有关概念,注意区分向量与向量的模以及数量.尤其要注意解决此类概念问题时,要多结合几何图形进行分析,并要与平面向量中的结论进行类比.变式训练1(多选题)下列命题正确的是(

)A.零向量没有确定的方向ABD探究点二空间向量的线性运算【例2】

如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.规律方法

1.对于借助几何图形的向量运算,应该在线性运算的基础上挖掘几何体本身的特征,如平行、相等、垂直等.2.转化与化归思想意识要加强,除借助向量的运算律外,还可以将已知向量转化为与之相等的向量以方便运算.B成果验收·课堂达标检测123451.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B123452.若向量a=2i-k,向量b=j-2k,则2a-b=(

)A.-4i+j

B.-4i+j-4kC.4i-j

D.4i-j-4kC解析

因为向量a=2i-k,向量b=j-2k,所以2a=4i-2k,所以2a-b=(4i-2k)-(j-2k)=4i-j.故选C.123453.[北师大版教材习题]如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'