新教材2023-2024学年高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量课件新人教B版选择性必修第一册

第一章1.2.2空间中的平面与空间向量课程标准1.理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平面的法向量;2.能用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系;3.理解三垂线定理及其逆定理.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1平面的法向量平面的位置关系问题一般借助平面的法向量处理

(1)如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α

,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作

.

(2)平面的法向量的求法在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤:①设平面的法向量为n=(x,y,z);②找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);垂直

n⊥α④解方程组,取其中的一组解,即得平面的一个法向量.名师点睛如果n是平面α的法向量,则对于任意实数λ≠0,向量λn也是平面α的法向量.过关自诊1.[人教A版教材习题]判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量.(

)(2)在空间直角坐标系中,j=(0,0,1)是坐标平面Oxy的一个法向量.(

)2.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是(

)A.(0,-3,1) B.(2,0,1)C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)√√D知识点2用空间向量处理线面(面面)平行或垂直关系(1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则当________

时,l与α垂直;当n⊥v时,

.

(2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则当________

时,α1与α2垂直;当n1∥n2时,α1与α2平行,或者α1与α2重合.n∥v

l与α平行,或者l在α内

n1⊥n2名师点睛解答这类问题的关键:一是要清楚直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系;二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法.在把向量问题转化为几何问题时,要注意两者的区别,直线的方向向量和平面平行,则直线可能在平面内,也可能与平面平行.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.(

)(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.(

)(3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.(

)√√√2.设直线l的一个方向向量d=(6,2,3),平面α的一个法向量n=(-1,3,0),则直线l与平面α的位置关系是(

)A.垂直B.平行C.直线l在平面α内D.平行或直线l在平面α内D知识点3三垂线定理及三垂线定理的逆定理这两个定理即为线面垂直判定与性质的引申

三垂线定理:如果

的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的

垂直,则它也和这条

垂直.

三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条

在该平面内的

垂直.

平面内

射影斜线斜线射影过关自诊在平面α内和这个平面的斜线l垂直的直线(

)A.只有一条B.可能一条也没有C.可能有一条也可能有两条D.有无数多条D重难探究·能力素养全提升探究点一求平面的法向量【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.解

因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.

变式探究本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.规律方法

求平面的法向量的注意事项(1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.(2)取特值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个为特殊值得另两个值,得到平面的一个法向量.(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.变式训练1[北师大版教材例题]已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),求平面ABC的一个法向量的坐标.不妨取x=1,得y=z=-1,所以平面ABC的一个法向量的坐标为(1,-1,-1).探究点二有关空间向量的证明问题角度1.利用空间向量证明平行问题【例2】

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.令z2=2,得y2=-1,所以n2=(0,-1,2).因为n1=n2,即n1∥n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.规律方法

证明线面、面面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内,如例2(1)中,FC1⊄平面ADE一定不能漏掉.(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.当然要注意当法向量坐标中有0时,要使用n1=λn2这一形式.变式训练2[人教A版教材例题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.线段B1C上是否存在点P,使得A1P∥平面ACD1?解

以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为A,C,D1的坐标分别为(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),取z=6,则x=4,y=3,所以n=(4,3,6)是平面ACD1的一个法向量.角度2.证明线面垂直问题【例3】

如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.证明

如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊂平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为坐标原点,OB,OO1,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,又因为BA1∩BD=B,BA1,BD⊂平面A1BD,所以AB1⊥平面A1BD.变式探究本例中增加条件,E,F分别是BC,BB1的中点,求证:EF⊥平面ADE.证明

建系同例3:点E与点O重合.即EF⊥EA,EF⊥ED.又EA∩ED=E,EA,ED⊂平面ADE,∴EF⊥平面ADE.规律方法

1.用坐标法证明线面垂直的常用方法

2.对于容易建系的几何载体要尽量用坐标法处理有关垂直问题,如果只用基向量法解决涉及的线性运算和数量积运算比较复杂.而建系后只需一切交给坐标即可.变式训练3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.证明

(方法一)设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),又AB1∩AC=A,AB1,AC⊂平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.同理,EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C⊂平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.角度3.证明面面垂直问题【例4】如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.求证:平面ADE⊥平面ABE.证明

取BE的中点O,连接OC,易知OC⊥BE.又AB⊥平面BCE,所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示),则又AB⊥平面BCE,OC⊂平面BCE,所以AB⊥OC.因为BE⊥OC,AB∩BE=B,AB,BE⊂平面ABE,所以OC⊥平面ABE,规律方法

证明面面垂直的两种方法(1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法:证明两个平面的法向量互相垂直.本例就是用的向量法,关键是明确两个平面的法向量.变式训练4[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E是CD的中点,F是BC的中点.求证:平面EAD1⊥平面EFD1.取x1=1,则y1=1,z1=1,∴n1=(1,1,1)是平面EAD1的一个法向量.取x2=2,则y2=-1,z2=-1,∴n2=(2,-1,-1)是平面EFD1的一个法向量.又n1·n2=1×2+1×(-1)+1×(-1)=0,∴n1⊥n2,∴平面EAD1⊥平面EFD1.探究点三三垂线定理及其逆定理【例5】如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.证明

如图,取BC的中点O,连接AO,交BD于点E,连接PO.因为PB=PC,所以PO⊥BC.又平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO⊂平面PBC,所以PO⊥平面ABCD,所以AP在平面ABCD内的射影为AO.在直角梯形ABCD中,AB=BC=2CD,易知Rt△ABO≌Rt△BCD,所以∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°,即AO⊥BD.由三垂线定理,得PA⊥BD.规律方法

1.三垂线定理及其逆定理用于判定空间直线互相垂直时的注意事项(1)从条件上看,三垂线定理的条件是“和射影垂直”;其逆定理的条件是“和斜线垂直”.(2)从功能上看,三垂线定理用于解决已知共面垂直,证明异面垂直的问题;逆定理正好相反.解决垂心问题需要两次垂直的证明,都能用上定理和其逆定理的框架结构.2.三垂线定理及其逆定理应用中的三个环节用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的关键在于构造三垂线定理的基本图形,创设应用定理的环境.构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节:(1)确定投影面;(2)作出垂线;(3)确定射影.变式训练5如图,BC是Rt△ABC的斜边,过点A作△ABC所在平面α的垂线AP,连接PB,PC,过点A作AD⊥BC于点D,连接PD,那么图中的直角三角形共有(

)A.4个

B.6个

C.7个

D.8个D解析

∵AP⊥平面α,∴PD在平面α内的射影为AD.∵AD⊥BC,由三垂线定理可得,PD⊥BC,∴△ABC,△ABD,△ACD,△PBD,△PCD,△PAB,△PAD,△PAC均为直角三角形,共8个.故选D.成果验收·课堂达标检测123451.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则(

)A.l∥α

B.l⊥αC.l⊂α

D.l与α相交但不垂直

B解析

∵n=-2a,∴a∥n,即l⊥α.123452.[2023山东潍坊高二阶段练习]过空间三点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1)的平面的一个法向量是(

)A.(1,1,1) B.(1,1,-1) C.(1,0,1) D.(-1,0,1)A12345令z=1,