新教材2023-2024学年高中数学第4章指数函数对数函数与幂函数4.4幂函数课件新人教B版必修第二册

第四章4.4幂函数基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,

的图象,了解它们的变化情况及简单性质并归纳幂函数的图象.3.能运用幂函数的图象与性质解决相关问题.基础落实·必备知识全过关知识点1

幂函数的定义一般地,函数y=xα称为幂函数,其中

为常数.

自变量在底数位置,要与指数函数区分

名师点睛幂函数的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数,如y=x2,y=(x+2)2,y=xx等都不是幂函数.α特别提醒1.不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数且可正可负,而指数函数恰好相反,底数为常数且是不为1的正数,指数为自变量.2.幂函数y=x0的图象为两段平行于x轴的射线.过关自诊1.下列函数,是幂函数的为

.(填序号)

①y=3x2;②y=x2+1;③y=-;④

;⑤y=;⑥y=2x.④⑤

2.[人教A版教材习题]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),求这个函数的解析式.知识点2

函数y=x,y=x2,y=x3,,y=x-1的图象与性质

幂函数y=xy=x2y=x3

y=x-1图象

幂函数y=xy=x2y=x3

y=x-1定义域RR

(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数

奇函数单调性增函数在区间(0,+∞)上是增函数,在区间(-∞,0)上是减函数

在区间(0,+∞),(-∞,0)上均是减函数定点(1,1)R[0,+∞)

非奇非偶函数

增函数

增函数

名师点睛除函数

外,其余四个函数都具有奇偶性.过关自诊[人教A版教材习题]利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:(1)(-1.5)3,(-1.4)3;解

设f(x)=x3,则f(x)在R上为增函数.因为-1.5<-1.4,所以(-1.5)3<(-1.4)3.知识点3

幂函数共有的性质1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点

.

2.如果α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间

上是增函数.

3.如果α<0,则幂函数在区间

上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限地逼近x轴.

(1,1)[0,+∞)(0,+∞)名师点睛1.幂函数的性质的补充说明对于一个具体的幂函数,一般先要确定其定义域和奇偶性,必要的情况下,可将分数指数幂转化成根式.2.幂函数的图象在第一象限内的特征过关自诊1.下列说法正确的有(

)①幂函数的图象均过点(1,1);②幂函数的图象均在两个象限内出现;③幂函数在第四象限内可以有图象;④对于幂函数y=xα,当α>0时,幂函数在第一象限内为增函数;⑤任意两个幂函数的图象最多有两个交点.A.1个

B.2个

C.3个

D.4个B解析

对于幂函数y=xα,当x=1时,y=1,所以幂函数的图象均过点(1,1),故①正确;幂函数

的图象没有在两个象限内出现,故②不正确;当x>0时,xα>0,所以幂函数的图象不可能在第四象限,故③不正确;当α>0时,幂函数在(0,+∞)上单调递增,故④正确;幂函数y=x与y=x3的图象的交点为(-1,-1),(0,0),(1,1),共3个,故⑤不正确.故正确的说法有2个.2.已知幂函数

在(0,+∞)上是减函数,则实数a的值为

.

重难探究·能力素养全提升探究点一幂函数的概念B(2)已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,当实数m为何值时,f(x):①是幂函数;②是幂函数,且是(0,+∞)上的增函数.解

①因为函数是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.②当m=2时,f(x)=x-13,函数在(0,+∞)上是减函数,当m=-1时,f(x)=x2,函数在(0,+∞)上是增函数,综上,m=-1.规律方法

幂函数的判断方法(1)幂函数同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数,同样也是一种“形式定义”的函数,也就是说必须形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.(2)如果函数以根式的形式给出,则要注意对根式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.变式训练1下列函数:③y=x2(x∈N),④y=x-5+3x,⑤y=3x(x∈Z),⑥y=x3x+1.其中是幂函数的为

.(填序号)

②③

探究点二比较大小【例2】

比较下列各组数的大小:规律方法

比较幂形式的两个数大小的常用方法

A.a<b<c

B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<bC(-1,4)解析

∵幂函数

(p∈N*)在(0,+∞)上单调递减,∴p2-2p-3<0,解得-1<p<3.∵p∈N*,∴p=1或2.当p=1时,f(x)=x-4为偶函数,满足条件,当p=2时,f(x)=x-3为奇函数,不满足条件,∴a2-1<3a+3,解得-1<a<4.探究点三幂函数的图象【例3】

(1)函数f(x)=的大致图象是(

)A解析

因为-<0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,排除选项B,C;又f(x)的定义域为(0,+∞),所以排除选项D.故选A.(2)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为(

)B解析

根据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,y=xn递增速度越快,故C1的n=2,C2的n=,当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n=-,曲线C4的n=-2.故选B.规律方法

画幂函数图象(简图)的步骤求定义域→判断奇偶性→画在第一象限的图象→结合奇偶性画整个函数图象变式训练3函数(n∈N,n>9)的图象可能是(

)C成果验收·课堂达标检测12341.幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是(

)A.(2,+∞) B.[0,+∞)C.(-∞,+∞) D.(-∞,0)B解析

设f(x)=xα(α为常数),由2α=4,得α=2,所以f(x)=x2.故其单调递增区间为[0,+∞).1234A.c>a>b B.a>b>cC.b>a>c D.a>c>bB123412343.已知幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3过原点,则实数m的值为

.

-2解析

因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3为幂函数,所以m2+m-1=1,解得m=-2或m=1,当m=-2时,函数y=x7的图象过原点,符合题意;当m=1时,函数y=x-8的图象不经过原点,不符合题意.故m=-2.12344.已知幂函数

(k∈Z)是偶函数,且在区间(0,+∞)上是增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f(2x-1)<f(2-x),求x的取值范围.1234解

(1)∵m2-2m+2=1,∴m=1.∵f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,∴5k-2k2>0,∴0<k<(k∈Z),即k=1