新教材2023-2024学年高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.3直线与平面的夹角课件新人教B版选择性必修第一册

第一章1.2.3直线与平面的夹角课程标准1.掌握直线与平面所成角的概念,并理解其唯一性;2.理解最小角定理及公式cosθ=cosθ1cosθ2,能用这一公式解决相关问题;3.能用空间向量求直线与平面所成的角问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1直线与平面所成的角90°0°射影过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角.(

)(2)若直线与平面相交,则该直线与平面所成的角的范围为(0,).(

)2.直线与平面所成的角的取值范围是什么?斜线与平面所成的角的取值范围是什么?××知识点2最小角定理(1)线线角、线面角的关系式如图,设OA是平面α的一条斜线段,O为斜足,A'为A在平面α内的射影,而OM是平面α内的一条射线.θ是OA与OM所成的角,θ1是OA与OB所成的角,θ2是OB与OM所成的角,则有cosθ=

.

(2)最小角定理平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内

中最小的角.

cosθ1cosθ2

所有直线所成角

过关自诊1.已知平面α内的角∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成角均为135°,则PC与平面α所成角的余弦值是(

)B解析

设PC与平面α所成的角为θ,由最小角定理知cos

45°=cos

θcos

30°,2.将公式cosθ=cosθ1cosθ2中角的余弦值换成正弦值是否成立?解

不成立.只有在特定的条件下能相等.也只能是数值上的相等,不具有等式的一般性结论.知识点3用空间向量求直线与平面的夹角如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,则有(2)cosθ=sin<v,n>,sinθ=

.

|cos<v,n>|过关自诊1.已知向量m,n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量,若cos<m,n>=-,则l与α所成的角为(

)A.30° B.60°

C.150° D.120°B解析

设l与α所成的角为θ,则sin

θ=|cos<m,n>|=,∴θ=60°.故选B.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为

.

解析

设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系如图,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).重难探究·能力素养全提升探究点一用定义法求直线与平面所成的角【例1】

在正四面体ABCD中,E为棱AD的中点,连接CE,求CE和平面BCD所成角的正弦值.解

如图,过A,E分别作AO⊥平面BCD,EG⊥平面BCD,O,G为垂足,则AO∥GE,AO=2GE.连接GC,则∠ECG为EC和平面BCD所成的角.因为AB=AC=AD,所以OB=OC=OD.因为△BCD是正三角形,所以O为△BCD的中心.连接DO并延长交BC于F,则F为BC的中点.令正四面体ABCD的棱长为1,变式探究在本例中将条件“E为棱AD的中点”改为

.其他不变,结论又如何?规律方法

1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.2.找射影的两种方法3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响结论.变式训练1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.求EB与平面ABCD夹角的余弦值.解

如图,取CD的中点M,连接EM,BM,则EM∥PD.∵PD⊥平面ABCD,∴EM⊥平面ABCD,∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角.设PD=DC=a(a>0).探究点二向量法求直线与平面的夹角【例2】

[人教A版教材习题]如图,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=OC=3,OB=2.求直线OB与平面ABC所成角的正弦值.解

∵OA,OB,OC两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.∵OA=OC=3,OB=2,∴O(0,0,0),A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0),取z=2,则x=3,y=2,∴n=(3,2,2)是平面ABC的一个法向量,规律方法

通过此类例题不仅要熟悉求直线与平面夹角的一般流程,更重要的是注意对所给几何体的结构分析、合理建系是问题的关键,如果求夹角还要结合线面角的范围.变式训练2[北师大版教材例题]如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,底面边长为2,AA'=,求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值.解

由正三棱柱知AA'⊥平面ABC,故以点A为原点,AC,AA'所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直线坐标系如图所示,易知n=(1,0,0)是平面ACC'A'的一个法向量.探究点三最小角定理的应用【例3】

如图,在正四面体ABCD中,CD在平面α内,点E是线段AC的中点,在该四面体绕CD旋转的过程中,直线BE与平面α所成的角θ不可能是(

)D规律方法

1.最小角定理是立体几何的重要定理之一,指与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于该直线与平面内其他直线的夹角.2.本例中先明确直线BE与CD所成角的余弦值是突破口,再利用最小角定理即可做出判断.变式训练3PA,PB,PC是由P点出发的三条射线,两两夹角均为60°,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(

)C解析

设所求角为θ,根据最小角定理及公式可得cos

60°=cos

30°cos

θ,得成果验收·课堂达标检测123451.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=,则l与α所成的角为(

)A.30°

B.60° C.120°

D.150°A解析

设l与α所成的角为θ且0°≤θ≤90°,则sin

θ=|cos<m,n>|=,∴θ=30°.123452.AB⊥平面α于点B,BC为AC在α内的射影,CD在α内,若∠ACD=60°,∠BCD=45°,则AC和平面α所成的角为(

)A.90°

B.60° C.45°

D.30°C解析

设AC和平面α所成的角为θ,则cos

60°=cos

θcos

45°,故cos

θ=,所以θ=45°.123453.[2023甘肃永昌高二阶段检测]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则直线BC1与平面BB1DD1所成角的正弦值为(

)D12345解析

以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),123454.等腰直角三角形A