新教材2023-2024学年高中数学第4章指数函数对数函数与幂函数4.5增长速度的比较分层作业新人教B版必修第二册

第四章4.5增长速度的比较A级必备知识基础练1.[探究点一]若函数f(x)=x从1到a的平均变化率为14,则实数a的值为(A.10 B.9 C.8 D.72.[探究点二](多选题)某公司的盈利y(单位:元)和时间x(单位:天)的函数关系是y=f(x),假设f(x1)-f(x0)x1-x0>0(x1>x0≥0)恒成立,且f(10)-f(0A.公司已经亏损B.公司的盈利在增加,增加的幅度变大C.公司在亏损且亏损幅度变小D.公司的盈利在增加,增加的幅度变小3.[探究点二]某婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示,则该婴儿体重在第年内增长较快.

4.[探究点三]函数f(x)=x2与g(x)=lnx在区间(1,+∞)上增长较快的是.

5.[探究点二]求y=3x+1在区间[a,a+1]与区间[a+1,a+2]上的平均变化率,并比较它们的大小.6.[探究点一、二]已知函数f(x)=-x2-3x.(1)求f(x)在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率;(2)记A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),判断直线AB与直线BC斜率的相对大小.B级关键能力提升练7.[2023江西南昌高一]集合{x|2x=x100,x∈R}的真子集的个数为()A.2 B.4 C.6 D.78.(多选题)甲、乙、丙、丁四人同时从同一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),则下列结论正确的是()A.当x>1时,甲走在最前面B.当x>1时,乙走在最前面C.当0<x<1时,丁走在最前面;当x>1时,丁走在最后面D.丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面9.(多选题)如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象,假设其函数关系为指数函数,现给出下列说法,其中正确的说法有()A.野生水葫芦的面积每月增长率为1B.野生水葫芦从4m2蔓延到12m2历时超过1.5个月C.设野生水葫芦蔓延到10m2,20m2,30m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t3<2t2D.野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度10.[2023陕西榆林高一]下列说法错误的有.(填序号)

①幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快;②对任意的x>0,都有xa>logax;③对任意的x>0,都有ax>logax.11.求出函数f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,若Δx都为13,则f(x)在哪一点附近的平均变化率最大C级学科素养创新练12.某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制订一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?参考答案4.5增长速度的比较1.Bf(x)=x从1到a的平均变化率为ΔfΔx=a2.ABC平均变化率为正说明盈利是增加的,平均变化率变小说明增加的幅度变小了,但还是增加的,故D正确.故选ABC.3.1设婴儿在前12个月的体重变化为ΔW1,在第12~24个月体重变化为ΔW2.∵ΔW1ΔtΔW2Δt2=14故第1年内婴儿体重的平均变化率大,婴儿体重增长较快.4.f(x)=x2在(1,+∞)上取(a,a+1),则ΔfΔx=ΔgΔx=g(a+1因为a≥1,所以2a+1≥3,ln1+1a≤ln1+11=ln2<1,所以ΔfΔx>ΔgΔx,故在区间(1,+∞)上增长较快的为f5.解在区间[a,a+1]上,ΔyΔx=在[a+1,a+2]上,ΔyΔx=3a+2+1因为6×3a2×3a=3>1,所以y=3x+1在区间[a+1,a+2]上的平均变化率大于在区间6.解(1)f(x)=-x2-3x在区间[1,2]上的平均变化率为Δf1Δx=f(2)-f(1)2-1=(-22f(x)在区间[2,3]上的平均变化率为Δf2Δx=f(3)-f(2)3-2=(-32(2)∵kAB=f(2)-f(1)2∴kAB>kBC.7.D分析指数函数y=2x与幂函数y=x100图象的增长趋势,当x<0时,显然有一个交点.若x=1,21>1100;若x=2,22<2100.故当x∈(1,2)时,有一个交点.分析数据发现,当x较小时,y=x100比y=2x增长得快;当x较大时,y=2x比y=x100增长得快,所以还有一个交点.故y=2x与y=x100的图象有三个交点,即集合{x|2x=x100,x∈R}中有3个元素,所以真子集个数为23-1=7.故选D.8.CD路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型.对于A,当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=8,∴该结论不正确;对于B,∵指数型函数的增长速度大于幂函数的增长速度,∴当x>1时,甲总会超过乙的,∴该结论不正确;对于C,根据四种函数的变化特点,结合四个图象的变化情况可知,当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面,∴该结论正确;对于D,结合对数型和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,∴该结论正确.9.ABC由题意得,所求函数为指数函数且过点(1,2),可得函数y=f(x)=2x.对于A,设第n个月的野生水葫芦面积为f(n),则第n+1个月的野生水葫芦面积为f(n+1),∴野生水葫芦的面积每月增长率f(n+1)-f(对于B,设野生水葫芦从4m2蔓延到12m2历时x个月,2x1=4,x1=2,2x2=12,x2=log212,x=x2-x1=log212-log24=log23,解得x=log23>log222=32=对于C,野生水葫芦蔓延到10m2,20m2,30m2所需的时间分别为t1,t1,t3,∴t1+t3=log210+log230=log2300,2t2=2log220=log2400,∴t1+t3<2t2,故C正确;对于D,野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为8-23-1=3,野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为16-44-10.①②③对于①,如函数y=x12和y=2x+1,由图象知幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快,故①错误;对于②,当a=12时,y=x12,y=log由图象知对任意的x>0,xa>logax不一定正确,故②错误;对于③,当a=12时,y=12x,y=log12x由图象知对任意的x>0,ax>logax不一定正确,故③错误.11.解f(x)=x2在x=1附近的平均变化率k1=f(1+Δx)-f(1)Δx=(1+Δx)2-1Δx=2+Δx,在x=2附近的平均变化率k若Δx=13,则k1=2+13=73,k2=4+13=13∵k1<k2<k3,∴f(x)在x=3附近的平均变化率最大.12.解作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,