解三角形课件

知识点梳理1.正弦定理正弦定理的变形：第一页第二页，共39页。2.余弦定理余弦定理的变形：第二页第三页，共39页。3.三角形面积公式第三页第四页，共39页。4.三角形中的常见结论(2)在三角形中大边对大角，大角对大边.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)有关三角形内角的三角函数式第四页第五页，共39页。中，A、B、C成等差数列的充要条件是B=60为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.第五页第六页，共39页。解三角形正余弦推论的应用三角形解的个数的确定求三角形中基本量判断三角形形状解三角形的实际应用求角求边求面积测量距离测量高度测量角度解三角形中的交汇问题

第六页第七页，共39页。一、正余弦定理推论的应用第七页第八页，共39页。第八页第九页，共39页。第九页第十页，共39页。二、三角形解的个数的确定已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a、B、C)正弦由A+B+C=180求出角A；根据正弦定理求出b与c;在有解时只有一解两边和夹角(如a、b、C)余弦正弦由余弦定理求出c；由正弦定理求出A、B；在有解时只有一解三边(a、b、c)余弦定理由余弦定理分别求出A、B；由内角和是180求出C;有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a、b、A)正弦定理由正弦定理求出B；由内角和为180求出C；由正弦定理求出c;可有两解，一解或无解解斜三角形有下表所示的四种情况：第十页第十一页，共39页。在已知a、b、A时判断三角形解的个数有三种方法：（2）用正弦定理确定另一边的对角（1）几何作图法（3）利用余弦定理整理后是以c为未知数的一元二次方程。因为c是三角形的边长，必有c>0。所以，所给定的三角形的解就取决于满足方程的未知数c正实数值得存在情况第十一页第十二页，共39页。在三角形中，已知a、b和A时解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba>b或a=ba>ba<b或a=b解个数无解一个解两个解一个解一个解无解第十二页第十三页，共39页。例4.根据下列条件，判定三角形解的情况.解法一：（几何作图法）分别如下图①、②、③ABa=11ACb=22b=20cABDc第十三页第十四页，共39页。第十四页第十五页，共39页。c点评：可通过正弦定理或几何作图很容易看出三角形有一个解的情况有两种。这些有些同学容易出现误区，直接令关于C的一元二次方程有一解，很容易少考虑a>b的情况，以后做题时要注意。第十五页第十六页，共39页。三、求三角形基本量求三角形基本量包括求三角形的内角、求三角形的边、求三角形的面积这三类。在求基本量时运用正余弦定理以及它们的推论利用已知条件进行边角互化后求出未知量。在进行求解过程中往往会与三角恒等变换知识结合，同时要注意在解出结果后运用第二部分所讲的三角形解的个数的判定来对结果进行取舍，得到最终结果。第十六页第十七页，共39页。BCADbch求三角形的角第十七页第十八页，共39页。第十八页第十九页，共39页。求三角形的边第十九页第二十页，共39页。点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法二比较简便。第二十页第二十一页，共39页。求三角形的面积第二十一页第二十二页，共39页。OD(0,1)C(1,0)XYM第二十二页第二十三页，共39页。四、判断三角形形状判定三角形形状通常有两种途径：化边为角；化角为边具体有如下四种方法：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数符号的判断及正余弦函数有界性的讨论主要题型已知边之间的关系已知角的三角函数关系已知边与角的关系第二十三页第二十四页，共39页。已知边之间的关系第二十四页第二十五页，共39页。总结：解法一是用正弦定理将边关系转化成角的关系，运用三角变换找出角之间的关系；解法二用余弦定理直接运用边的关系判断形状；第二十五页第二十六页，共39页。已知角的三角函数的关系等腰第二十六页第二十七页，共39页。例12.根据所给条件，判断的形状解：已知边与角之间的关系第二十七页第二十八页，共39页。第二十八页第二十九页，共39页。总结：根据已知条件，适当选取适用的定理，进行边角互化结合三角变换找出三边之间的关系或者是找出内角之间的关系来判断形状。第二十九页第三十页，共39页。五、解三角形中的交汇问题

在知识交汇处命题是高考考查的热点，体现了多考一点“想”，少考一点“算”的理念，所以挖掘知识内的交汇是学习中的重点。解三角形与其它知识的交汇体现与向量、三角函数、三角变换、数列、、解析几何、立体几何等几个方面知识的结合。第三十页第三十一页，共39页。第三十一页第三十二页，共39页。点评：此题结合向量、三角变换的知识同时运用余弦定理和三角形面积。三角变换和向量与解三角形的结合是高考的重点，同时考察学生多方面的知识。第三十二页第三十三页，共39页。BACD点评：此题运用三角形面积公式推出了角平分线定理。在立体几何中也经常用到解三角形，立体几何中一般都是求三角形的基本量，这里不再给出例题。第三十三页第三十四页，共39页。六、解三角形在生活中的应用1.解三角形在生活中应用非常广泛,如测量、航海、物理几何等方面都要用到解三角形的知识.这些实际问题基本上分成测量长度、高度、角度三种类型.解三角形应用题得一般步骤及基本思路.

(1)一般步骤：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；②建模：根据已知条件与求解目标，把一直亮与求解量尽量集中在有关的三角形总，建立一个解三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第三十四页第三十五页，共39页。(2)基本思路：实际问题数学模型数学模型的解实际问题的解抽象概括示意图演算推理还原说明2.实际问题中的有关术语、名称

(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的较重，视线在水平线上方的角角仰角，在水平线下方的角俯角（如下图）.铅垂线视线视线水平线仰角俯角④检验：检验上述所求的结果是否具有实际意义从而得出实际问题的解.第三十五页第三十六页，共39页。(2)方位角

从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，如B点的方位角为α（如下图①）(3)方向角①正南方向：从原点O出发的经过目标射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依次可类推正北方向、正东方向和正西方向.西东北南图①第三十六页第三十七页，共39页。②东南方向：指经过目标的涉嫌是正东和正南的夹角平分线（如图②）.③北偏东α：从正北向正东方向旋转α角度（图③）④南偏西β：从正南向正西方向旋转β角度（图④）西东北南图④东