古典概型中几种常用解题方法

古典概型中几种常用解题方法华德银沐阳如东中学“古典概型”在概率论中有很重要的地位，一方面，因为它比较简单，许多概念既直观又容易理解，另一方面，它又概括了许多实际问题，有很广泛的应用。近几年在高考中每年都会考察一个填空题1、 古典概型的定义判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：有限性，所有的基本事件只有有限个，即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个等可能性，每个基本事件的发生都是等可能的.2、 古典概型的计算公式， ,…… ，,人 1 ， _A如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是一.如果某个事件n，.一，….一， .一， mA包含了其中m个等可能基本事件，那么事件入发生的概率为P(A)二一.n3、 解决古典概型的常用方法根据古典概型的计算公式，求事件入发生的概率，关键是求出基本事件的总数以及事件入所含的基本事件个数。为此，弄清随机试验的全部基本事件是什么以及所讨论的事伯包含了哪些基本事件是非常重要的。下面根据实验的步骤数总结古典概型解题方法.(1)枚举法对于一步实验，或虽多步实验但基本事件总数较少时我们都可以通过枚举的方法把所有的基本事件全部列举出来，然后在其中找到所求事件入含有的基本事件,在根据公式求出事件A的概率.例1(2012江苏卷,T6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .分析:本题为一步实验，故可以直接枚举出所有基本事件.解：这10个数为1，-3,9,-27,81，-25，26，-如，28，-29，故基本事件的总数为10个，“小于8”6 3所含的基本事件的个数为6,故所求事件的概率为布=5。例2.(2010山东卷T19)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2,3,4.从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m+2的概率.分析：本题第(1)问是一步实验直接枚举就可以了，第二(2)虽是两步步实验但基本事件较少故仍然可以通过枚举法来求概率，当然也可以用后面介绍的列表法来处理.解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个.从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有(1,2)，(1,3)两个.因此所求事件的概率P=-=-.63(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m,n)有(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共16个，TOC\o"1-5"\h\z，一 3 ,,一 - 3 13又满足m+2<〃的事件的概率为P=一.故满足n<m+2的事件的概率为1-P=1 =-116 1 1616(2)列表法当实验是两步实验,而且每一步的结果较少时也可以用枚举法，但当每一步的实验结果较多时，列表法就比较有优势了例3:同桌两人玩游戏掷骰子游戏，每人掷一次骰子并计算两次点数之和的奇偶性来决定胜负，甲选定奇数，乙选定偶数，这个游戏规则对双方是否公平？分析：本题为两步实验，但每一步有6种选择，故基本事件较多，此时可以利用列表法来列举各个基本事件.解：所有可能的情况如下表：7一、第一个骰子第二个骰子-一一*-~12345612345672345678345678945678975678910116789101112181 181通过表格可以得到“和为偶数”的概率为漆=-，“和为奇数”的概率为瑚=S，因此这个游戏规362 362则对双方是公平的.变题：如果游戏规则该为：和为3的倍数甲胜，和为4的倍数乙胜，哪一个人胜的机会大？为什么？答案：和为3的倍数的概率=1，和为4的倍数的概率=1所以甲获胜的可能性大.34例4某市长途客运站每天6：30-7：30开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同.小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序.两人采用不同的乘车方案：小张决定无论如何乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况.若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车.若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？解：(1)三辆车按开来的先后顺序为：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中;差、中、优，共6种可能.(2)根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表:顺序N 优，中，差优，差，中中，优，差中，差，优差，优，中差，中，优小张、优优中中差差小王、差中优优优中由表格可知：小张乘坐优等车的概率是1，而小王乘坐优等车的概率是1.所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大.通过列表的方法可以使得两步实验的基本事件能清晰的展示，再求概率就比较容易了.树形图法

当实验是三步实验,甚至是更多步实验时，枚举和列表法就不是太好用了，此时树形图可以让基本事件清晰地展示出来.例5若同时抛三枚硬币，则出现“一正两反”的概率为.分析：本题是三步实验但基本事件较少故仍然可以通过枚举法来求概率.但是怎样保证枚举时不重不漏呢?树形图可以帮助我们做到这一点.反反解：本次试验的基本事件可以用树形图表示如下反反第一次第二次第三次即抛三枚硬币出现的结果有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）共有8个基本事件，其中“一正两反”包含的结果有：（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）共3个基本事件，故所求概率为3.8例6口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试计算第二个人摸到白球的概率.分析:本题是四步实验，可以用树形图来表示所有基本事件.解用A表示事件“第二个人摸到白球”.记2个白球编号分别为1,2；2个黑球编号分别为3,4.于是4个人按顺序依次摸球，从袋中摸出一球的所有可能结果用树状图直观地表示出来（如图所示）从树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此这24种结果的出现是等可能的，此试验属于古典概型.在这24等可能的，此试验属于古典概型.在这24种结果中，第二个人摸到白球的结果有12种，因此“第二个人121摸到白球”的概率P(A)=^=«.242四、总结以上举的几个例子，总结了古典概型的概率求解方法。值得注意的是：在分析问题时必须确定所研究的试验是几步试验,基本事件个