一元二次方程及其解法

第2学时一元二次方程及其解法一·基本概念理解1一元二次方程的定义：含有一种未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的普通形式：，它的特性是：等式左边加一种有关未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。2、一元二次方程的解法（1）、直接开平办法:运用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的办法叫做直接开平办法。直接开平办法合用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。（2）、配办法:配办法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x替代，则有。配办法的环节：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的二分之一的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的办法，它是解一元二次方程的普通办法。一元二次方程的求根公式：公式法的环节：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为，一次项的系数为，常数项的系数为（4）、因式分解法因式分解法就是运用因式分解的手段，求出方程的解的办法，这种办法简朴易行，是解一元二次方程最惯用的办法。分解因式法的环节：把方程右边化为0，然后看看与否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果能够，就能够化为乘积的形式、韦达定理若，是一元二次方程的普通形式：的两个实数根，则，。以上的就称为韦达定理（或称为根与系数的关系）运用韦达定理去理解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=，二根之积=也能够表达为,。运用韦达定理，能够求出一元二次方程中的各系数，在题目中很惯用3、一元二次方程根的鉴别式根的鉴别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的鉴别式，普通用“”来表达，即I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II当△=0时，一元二次方程有2个相似的实数根；III当△<0时，一元二次方程没有实数根4、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一种有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。5、普通解一元二次方程，最惯用的办法还是因式分解法，在应用因式分解法时，普通要先将方程写成普通形式，同时应使二次项系数化为\t"C:\Users\Administrator\Desktop\知行教育\基础运算能力篇\有关资料\_blank"正数。直接开平办法是最基本的办法。公式法和配办法是最重要的办法。公式法合用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成普通形式，方便拟定系数，并且在用公式前应先计算根的鉴别式的值，方便判断方程与否有解。配办法是推导公式的工具，掌握公式法后就能够直接用公式法解一元二次方程了，因此普通不用配办法解一元二次方程。但是，配办法在学习其它数学知识时有广泛的应用，是初中规定掌握的三种重要的\t"C:\Users\Administrator\Desktop\知行教育\基础运算能力篇\有关资料\_blank"数学办法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学办法：\t"C:\Users\Administrator\Desktop\知行教育\基础运算能力篇\有关资料\_blank"换元法，配办法，待定系数法）。二．例题解说：例1：解一元二次方程（1）（2）（3）【例题解析】：（1）能够运用直接开办法或运用因式分解法或公式法；（2）能够运用配办法或公式法或因式分解法；（3）能够运用配办法或公式法或因式分解法。解：（1）a直接开办法：b因式分解法：a配办法：解：b公式法：使用该办法首先要将方程转化为，再精确找出该一元二次方程中的的值是做对该题的重要前提和确保。由题可知：因此办法一：（配办法）办法二：（公式法）由题可知：因此：办法三：（因式分解）注：在求一元二次方程的根之前，首先要将方程转化成原则形式，再对它的的取值状况进行鉴定；最后再对求根的办法进行选用，如配方，公式，还是因式分解法，特别是配办法的知识基础是建立在完全平方公式：之上的。例2：用直接开办法解一元二次方程(2)(3)(4)解析：（1）由题可知：由题可知：由题可知：（4）由题可知：注：求一元二次不等式的根办法中，直接开办法是最基础的办法。【练一练】：用直接开平办法解下列一元二次方程。（2）（3）（4）例3：用配办法解一元二次方程（1）（2）（3）（4）解析：（1）由题可知：由题可知：由题可知：由题可知：注解：配办法的知识基础是建立在完全平方公式：之上的。【练一练】：用配办法解下列一元二次方程。1、.2、3、4、5、6、7、8、例4：用公式法解一元二次方程（1）（2）（3）（4）解析（1）由题可知：因此：（2）由题可知：因此：（3）由题可知：因此：（4）由题可知：因此：注解：使用公式法求一元二次方程的根，要将方程转化为的形式，再精确找出对应的的值。【练一练】用公式解法解下列方程。1、2、3、4、5、6、7、8、例5：用因式分解法解一元二次方程（1）（2）（3）（4）解析：多项式因式分解的普通环节：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一种还能继续分解的多项式因式仍然用这一环节重复进行．以上环节可用口诀概括以下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要适宜，四种办法重复试，成果应是乘积式”．对于用因式分解法求一元二次方程根的问题，首先将方程转化为或的形式，第一种形式再考虑用因式分解中十字相乘法，第二种形式就只需提取公因数（式）即可。（1）由题可知：因此后来做得非常纯熟之后，其解答过程可直接写成：从而方程的根就为（2）由题可知因此（3）由题可知：该题符合的形式，则只需提取公因式即可，故因此方程的根为（4）由题可知：首先将方程转化为因此注解：要使用因式分解法求一元二次方程的根，首先将方程转化为或的形式，第一种形式再考虑用因式分解中十字相乘法，第二种形式就只需提取公因数（式）即可。【练一练】用因式分解法解下列一元二次方程。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、第1练一元二次方程及其解法用适宜的办法解下列一元二次方程。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、x2+4x-12=024、25、26、27、28、3x2+5(2x+1)=029、30、