平面向量的几何运算

选择题a，b是平面两个互相垂直的单位向量，假设向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()．A．1B．2C．D．C又∵，，，∴∴，∴的最大值为选择题记，设为平面向量，则()A.B.C.D.D此题考察平面向量的模、数量积以及分段函数、函数最值，考察向量的加法和减法的几何意义．中档题．和是以为邻边的平行四边形的两条对角线对应的向量，所以选择题平面向量，，〔〕，且与的夹角等于与的夹角，则〔〕B．C．D．D此题考察平面向量中的有关知识：平面向量根本定理、向量加法的几何含义、向量数量积的定义以及利用数量积求夹角等根底知识．单项选择不同的方法难易度不一样，中档题．方法一〕因为，，所以，又，所以即．方法二〕由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又，故．选择题设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不向的四点，假设，，且，则称A3，A4调和分割A1，A2．点C(c，0)，D(d��0)，(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说确的是()．A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上D由题意得，，且，假设C，D都在AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1，，这与矛盾，应选D．选择题向量a,b满足|a|=|b|=2,a∙b=0，假设向量c与a-b共线，则|a+c|的最小值为〔〕A．1B．C．D．2B如图,设=b,=a,则=a-b作CD⊥AB于D∵向量c与a-b共线|a+c|的最小值即为||=选择题在平面直角坐标系中，O(0，0)，P(6，8)，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是〔〕A．B．C．D．A方法一：设，则．方法二：将向量按逆时针旋转后得，设=+，则=〔14，2〕因为||=||，所以四边形OMQ′P为正方形，所以向量在正方形之对角线上。因为是的一半，所以向量与反向且||=||=||=10所以=－λ〔λ>0〕由|－λ|=10得，λ=，所以．选择题△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足=，=(1－λ)，λ∈R，假设·=－，则=〔〕A．B．C．D．A如图，设，则，又，，由·=－得即也即，整理得，解得λ=．选择题如下图，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆一点，假设，则〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由于、、三点共线，设，则，由于、、三点共线，且点在圆，点在圆上，与方向相反，则存在，使得，因此，，所以，选C.

考点：1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示选择题在平面直角坐标中，的三个顶点A、B、C，以下命题正确的个数是〔〕〔1〕平面点G满足，则G是的重心；〔2〕平面点M满足，点M是的心；〔3〕平面点P满足，则点P在边BC的垂线上；A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】试题分析：对〔2〕，M为的外心，故〔2〕错.

对〔3〕，，所以点P在的平分线上，故〔3〕错.易得〔1〕正确，应选B.

考点：三角形与向量.选择题与是直线y=k*+1〔k为常数〕上两个不同的点，则关于*和y的方程组的解的情况是〔〕A．无论k，如何，总是无解B．无论k，如何，总有唯一解C．存在k，，使之恰有两解D．存在k，，使之有无穷多解【答案】B【解析】由题意，直线一定不过原点，是直线上不同的两点，则与不平行，因此，所以二元一次方程组一定有唯一解．【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．选择题如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c.点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于()

A．a－b＋cB．－a＋b＋cC．a＋b－cD．a＋b－c【答案】B【解析】＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.选择题在四边形ABCD中，=，且，则四边形ABCD是〔〕A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【答案】B【解析】试题分析：∵，∴，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵，∴，∴四边形ABCD是菱形.

考点：平行四边形与菱形的判定，平面向量的数量积.选择题在平行四边形中，等于〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：如图，在平行四边形ABCD中，,∴.

考点：平面向量的加法与减法运算.选择题为平行四边形，假设向量，，则向量为〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：考点：向量的减法选择题在△ABC所在的平面有一点P，如果2＋＝－，则△PBC的面积与△ABC的面积之比是()A．B．C．D．【答案】A【解析】欲求两三角形面积之比只需求出高的比，变换的向量等式即可得出两三角形面积之比等于高的比值.2＋＝－，即2＋＝＋＝，即＝3，即点P在边AC上，且PC＝AC，即△PBC与△ABC高的比是，两三角形具有一样的底BC，故面积之比为.选择题如图，＝，用，表示，则等于()

A．－B．＋C．－＋D．－－【答案】C【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，选C.选择题设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，应选D.选择题四边形OABC中，，假设，，则〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：,所以.

考点：向量的加减.选择题在中，D为AB边上一点，，，则=〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由得，，故,故．考点：1、平面向量根本定理；2、向量加法的三角形法则.选择题设是两个非零向量，则以下命题为真命题的是A．假设B．假设C．假设，则存在实数，使得D．假设存在实数，使得，则【答案】C【解析】试题分析：根据向量加法的几何意义，其中等号当且仅当向量共线时成立，由可得，其中，由此可知，只有C项是正确的，应选C.

考点：1、向量加法的几何意义；2、数乘向量与共线向量.选择题平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|的值为()A．B．2C．4D．12【答案】B【解析】由|a|＝2，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝2．选择题空间任意四个点A、B、C、D，则等于(〕A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：如图，，应选：B．考点：向量加减混合运算及其几何意义．选择题在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．假设，，则〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：，因为是的中点,,所以，==，＝,应选C.

考点：1、向量的加法，减法几何运算；2、向量共线.选择题在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点,假设，，则()A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，与相似，且相似比为，所以,由向量加减法的平行四边形法则可知，，解得，，由向量加法的三角形法则可知，,故D正确。考点：平面向量的加减法选择题关于平面向量a，b，c，有以下三个命题：①假设a·b=a·c，则b=c；②假设a=〔1，k〕，b=〔-2，6〕，a∥b，则k=-3;

③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a－b|，则a与a+b的夹角为30o．〔参假设a-〔1，k〕，b=〔-2，6〕，a

其中真命题的序号为〔〕A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】C【解析】试题分析：①当时，不一定相等，故①不正确；②假设a∥b，则有，解得，故②正确；③令,则,因为|a|=|b|=|a－b|，所以为正三角形。设以为临边的平行四边形为,因为为正三角形，所以为菱形且。由向量加法的平行四边形法则可知。所以。故③正确。考点：平面向量的加减法、平行及数量积的计算。选择题向量，假设，则()A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，解得，即，所以，，所以考点：向量共线数量积公式，向量加减法坐标公式选择题△ABC接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为〔〕A．B．1C．D．【答案】D【解析】试题分析：∵,即，∴，为直径，∴.

考点：1.向量的加减法运算；2.向量的数量积.选择题三个角A，B，C所对的边，假设且的面积，则三角形的形状是〔〕A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．有一个为的等腰三角形【答案】C．【解析】试题分析：由知中的平分线垂直边BC，所以，再由，故是等腰直角三角形，应选C．考点：1．向量垂直的充要条件；2．三角形形状的判断；3．求三角形面积公式．选择题如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于、的任意一点，假设为半径上的动点，则的最小值为〔〕A．B．9C．D．－9【答案】C．【解析】试题分析：由题意设，则，所以，当时有最小值.

考点：向量的运算．选择题不共线向量，，｜｜＝2，｜｜＝3，·〔－〕＝1，则｜－｜＝〔〕A．B．2C．D．【答案】A【解析】试题分析：由，可得，又，应选A．考点：向量的运算选择题在所在的平面，点满足，，且对于任意实数，恒有，则〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.

考点：共线向量，向量的数量积.填空题两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a|·|b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．假设a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为________．【答案】6【解析】|a|＝＝5，|b|＝＝2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cosθ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以sinθ＝＝＝.故根据定义可知|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝5×2×＝6.填空题在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.假设M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值围是________．[1，4]如下图，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1)．设，则，．设M(2，t)，N(2－2t，1)，故，因为f(t)递减，所以，．填空题在边长为1的正三角形中，设，则．∵=+,=+∴·=(+)·(+)=·+·+·+·=1×1×-1×-1×+××=填空题在直角三角形中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则·+·=4由题意知三角形为等腰直角三角形(如图)．因为P是斜边AB上的一个三等分点，所以=．又=+=+，所以·=2+·=4+×2×2cos1350=·=·+·=×2×2cos450=所以·+·=4填空题在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，假设N、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值围是。[2，5]设==〔0≤≤1〕，则=，=，则===+++，又∵=2×1×=1，=4，=1，∴=，∵0≤≤1，∴2≤≤5，即的取值围是[2，5]．===============================================================================填空题在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________．－16法一:此题最适合的方法是特例法．如图，假设△ABC是AB＝AC的等腰三角形．∵AM＝3，BC＝10，∴AB＝AC＝．cos∠BAC＝=－．＝cos∠BAC=－16法二：=·=·===－16填空题在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．2由平行四边行的性质知，AC与BD互相平分，又+==2所以λ=2填空题设是的平面向量，向量，,在同一平面且两两不共线，有如下四个命题:

①给定向量,总存在向量,使;

②给定向量和,总存在实数和,使;

③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;

④假设=2，存在单位向量、和正实数，,使，则其中真命题是____________.【答案】①②④【解析】试题分析：给定向量,总存在向量,使，即.显然存在.所以①正确.由平面向量的根本定理可得②正确．给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使，当分解到方向的向量长度大于时，向量没方法按分解，所以③不正确.存在单位向量、和正实数，,由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得..由.所以④成立.综上①②④.

考点：1.向量的运算.2平面向量的根本定理.3.根本不等式.填空题如下图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，假设＝m，＝n，则m＋n的值为________．【答案】2【解析】∵O是BC的中点，∴＝(＋)．又∵＝m，＝n，∴＝＋.

∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.填空题如图，在四边形中，，为的中点，且，则.

【答案】1【解析】试题分析：因为为的中点，，又，，考点：向量的线性运算性质及几何意义填空题，，，，且∥，则＝．【答案】【解析】试题分析：由∥知，，则原式．考点：平行向量间的坐标关系．填空题平面向量，，且∥，则．【答案】【解析】试题分析：∵∥，∴，∴，∴，∴.

考点：向量平行的充要条件、向量的模.填空题直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为．【答案】5【解析】试题分析：根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为*，y轴建立平面直角坐标系，则A〔2，0〕，B〔1，a〕，C〔0，a〕，D〔0，0〕，设P〔0，b〕〔0≤b≤a〕，求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．解：如图，以直线DA，DC分别为*，y轴建立平面直角坐标系，则A〔2，0〕，B〔1，a〕，C〔0，a〕，D〔0，0〕设P〔0，b〕〔0≤b≤a〕则=〔2，﹣b〕，=〔1，a﹣b〕，∴=〔5，3a﹣4b〕∴=≥5．故答案为5．点评：此题是个根底题．考察向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考察学生灵活应用知识分析解决问题的能力．填空题在平行四边形中，,,为中点，假设，则的长为．【答案】6【解析】试题分析：根据题意可得：，则，化简得：，解得：．考点：向量的运算填空题a、b为非零向量，，假设，当且仅当时，取得最小值，则向量a、b的夹角为___________.【答案】【解析】试题分析：设向量的夹角为，则，构造函数，因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又，所以解得.

考点：1.向量；2.二次函数.填空题在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=______(用a,b表示).【答案】-a+b【解析】由=3得4=3=3(a+b),=a+b,所以=(a+b)-=-a+b.填空题如图，在△中，，，，，，则．【答案】【解析】试题分析：因为，所以因此考点：向量表示填空题平行四边形，是的中点，假设，则向量=〔用向量表示〕．【答案】【解析】试题分析：在三角形中,将所求向量表示成向量的和与差,利用平几性质将共线向量等价转化是解题关键.

考点：向量三角形法则,填空题在平面直角坐标系中，O是原点，是平面的动点，假设＝，则P点的轨迹方程是___________。【答案】y2=2*－1【解析】试题分析：设P(*，y)，则，又因为||＝||，所以(*－1)2+y2=*2，整理得．考点：向量的运算，求轨迹方程．填空题=〔2,0〕，，的夹角为60°，则．【答案】【解析】试题分析：.

考点：向量的根本运算.填空题半圆的直径AB＝2,O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，假设P为半径OC上的动点，则的最小值是________________；【答案】【解析】试题分析：因为点O是线段AB的中点，所以向量=.所以=.又因为向量是互为相反向量.所以=-2=-2=.所以填.

考点：1.向量的求和运算.2.向量的数量积.3.最值问题.填空题，且与的夹角为，，则等于.【答案】【解析】试题分析：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴.

考点：1.向量的运算；2.两向量的夹角公式.填空题，且与的夹角为，，则等于.【答案】【解析】试题分析：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴.

考点：1.向量的运算；2.两向量的夹角公式.填空题，，则向量与的夹角为.【答案】【解析】试题分析：∵，，∴，即，∴，∴.

考点：1.向量的运算；2.向量的夹角.填空题向量满足，设，假设不等式的解集为空集，则的取值围是__________．【答案】【解析】试题分析：由题意可得,，又不等式的解集为空，则，所以．考点：1.解不等式;2.向量的运算填空题化简〔2〕如图，平