2023-2024学年湘教版数学七年级上册 1.5有理数的乘法和除法

1.5有理数的乘法和除法第1章有理数第1课时有理数的乘法1.5.1有理数的乘法甲水库的水位每天升高3cm，乙水库的水位每天下降3cm，4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少？甲水库

乙水库

第一天

第二天

第三天

第四天情境引入

第一天第二天第三天第四天甲水库第一天

乙水库第二天第三天第四天

第一天

第二天

第三天

第四天如果用正号表示水位的上升、用负号表示水位的下降.那么，4天后，乙水库水位的总变化量：3+3+3+33×4==12(cm)；(−3)×4==−12(cm)(−3)+(−3)+(−3)+(−3)甲水库水位的总变化量：(−3)×4=(−3)+(−3)+(−3)+(−3)=−12(−3)×3=_________________=_____，(−3)×2=_____________=_____，(−3)×1=_____，(−3)×0=_____.−9−6−30类比前面得到的两个式子，填空：(−3)+(−3)+(−3)(−3)+(−3)3×4=3+3+3+3=12

如图，一只蜗牛沿直线l爬行，它现在的位置在

l上的点

O．lＯ1.如果一只蜗牛向右爬行2cm记为+2cm，那么向左爬行2cm应该记为

cm.

2.如果3分钟以后记为+3分钟，那么3分钟以前应该记为

分钟.

-2-3合作探究有理数的乘法运算探究120264l结果：3分钟后在

l上点0

边

cm处.表示：

.

右6(+2)×(+3)＝6

（1）如果蜗牛一直以每分钟2

cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？

（2）如果蜗牛一直以每分钟2

cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？探究2-6-40-22l结果：3分钟后在

l上点

0

边

cm处左6表示：

.

(-2)×(+3)＝－62×3=6（-2）×3=

-6发现：异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘.议一议

（3）如果蜗牛一直以每分钟2

cm的速度向右爬行，3分钟前它在什么位置？探究32-6-40-22l结果：3分钟前在

l上点

0

边

cm处表示：

.

(+2)×(-3)＝－6左6

（4）如果蜗牛一直以每分钟2

cm的速度向左爬行，3分钟前它在什么位置？探究420264-2l结果：3分钟前在

l上点

0

边

cm处右6表示：

.

(-2)×(-3)＝

＋6分组讨论：（1）2×3=6（2）（-2）×（-3）=6（3）（-2）×3=-6（4）2×（-3）=-6正数×正数负数×负数负数×正数=正数=正数=负数=负数正数×负数发现：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.发现：任何数与0相乘，积仍为0.答：结果都是仍在原处，即结果都是

，若用式子表达：探究5（5）原地不动或运动了零次，结果是什么？0×3=0；0×(－3)=0；2×0=0；(－2)×0=0．0Ｏ两数相乘，综合如下：（1）2×3=6（2）（-2）×（-3）=6（3）（-2）×3=-6（4）2×（-3）=-6（5）3×0=0，

0×3=0（6）（-3）×0=0，

0×（-2）=0同号相乘积为正数异号相乘积为负数如果有一个因数是0时，所得的积还是0.

两数的符号特征积的符号积的绝对值同号异号一个因数为0有理数乘法法则:+-绝对值相乘得0先定符号，再定绝对值!归纳总结讨论:(1)若a＜0，b＞0，则ab0；(2)若a＜0，b＜0，则ab0；(3)若ab＞0，则a、b应满足什么条件？(4)若ab＜0，则a、b应满足什么条件？＜＞a、b同号a、b异号1.先确定下列积的符号，再计算结果：（1）5×（-3）（2）（-4）×6（3）（-7）×（-9）（4）0.5×0.7积的符号为负积的符号为负积的符号为正积的符号为正=-15=-24=63=0.35做一做例1

计算：(1)3.5×(-2)；(2)(3)(4)(-0.57)×0.解：(1)3.5×(-2)=-(3.5×2)=-7.(4)(-0.57)×0=0.

例2

用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1km，气温的变化量为

-6℃，攀登3km后，气温有什么变化？解：(-6)×3=-18℃.答：气温下降18℃.有理数的乘法的应用【变式】气象观测统计资料表明，在一般情况下，高度每上升1km，气温下降6℃.已知甲地现在地面气温为21℃，求甲地上空9km处的气温大约是多少.解：（-6）×9=-54（℃）；

21+（-54）=-33（℃）.答：甲地上空9km处的气温大约为

-33℃.被乘数乘数积的符号积的绝对值结果－57156－30－64－251.填表：－35－35+9090+180180－100－1002.若ab>0，则必有()A.a>0，b>0B.a<0，b<0C.a>0，b<0D.a>0，b>0或

a<0，b<03.若

ab=0，则一定有

()

a=b=0B.a，b至少有一个为0C.a=0D.a，b最多有一个为0DB解：4.计算：5.商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？解：(-5)×60=-300(元)答：销售额减少300元.有理数的乘法法则一般法则应用两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.特殊情况任何数同0相乘，都得0.1.5有理数的乘法和除法第1章有理数第2课时有理数乘法运算律1.5.1有理数的乘法问题引入

在小学里，我们都知道，数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，例如3×5=5×3(3×5)×2=3×(5×2)3×(5+2)=3×5+3×2引入负数后，三种运算律是否还成立呢？第一组：(2)(3×4)×0.25＝

3×(4×0.25)＝(3)2×(3＋4)＝

2×3＋2×4＝(1)2×3＝

3×2＝思考：上面每小组运算分别体现了什么运算律？

2×3

3×2

(3×4)×0.25

3×(4×0.25)

2×(3＋4)

2×3＋2×466331414＝＝＝合作探究有理数乘法的运算律5×(－4)＝15－35＝第二组：(2)[3×(－4)]×(－5)＝

3×[(－4)×(－5)]＝(3)5×[3＋(－7)]＝

5×3＋5×(－7)＝(1)5×(－6)＝

(－6)×5＝－30－306060－20－20

5×(－6)

(－6)

×5[3×(－4)]×(－

5)3×[(－4)×(－5)]5×[3＋(－7)]

5×3＋5×(－7)

＝＝＝(－12)×(－5)＝3×20＝结论：(1)第一组式子中数的范围是_______；(2)第二组式子中数的范围是________；

(3)比较第一组和第二组中的算式，可以发现

________________________________.正数有理数各运算律在有理数范围内仍然适用两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变.ab＝ba三个有理数相乘，先把前两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积相等.(ab)c

＝

a(bc)1.乘法交换律：2.乘法结合律：

数的范围已扩充到有理数.注意：用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如

a×b

可以写成

a·b或

ab.归纳总结根据乘法对加法的分配律可以推出：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这几个数相乘，再把积相加.a(b＋c)ab＋ac＝根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换因数的位置，也可先把其中的两个数相乘.你是怎样算的？例1计算：典例精析例2

计算：解：(3)(-0.1)×(-100)×0.01×(-10).解：(-0.1)×(-100)×0.01×(-10)=-(0.1×100×0.01×10)=-[(0.1×10)×(100×0.01)]=-1乘法交换律、结合律

???______解法有错吗？错在哪里？解:原式＝＝－8－18＋4－15＝－41＋4＝－37议一议计算：正确解法：特别提醒：1.不要漏掉符号；2.不要漏乘._______________________＝－8＋18－4＋15＝－12＋33＝21(1)运用乘法的交换律、结合律时要连同符号一起交换、结合，否则容易出现错误；(2)利用乘法对加法的分配律时，不能把运算符号和性质符号混淆.方法归纳问题观察下列各式，它们的积是正还是负？(1)(－1)×2×3×4(2)(－1)×(－2)×3×4(3)(－1)×(－2)×(－3)×4(4)(－1)×(－2)×(－3)×(－4)(5)(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×0负正负正零思考多个有理数相乘，有一个因数为0，积是多少？因数都不为0时，积的符号和负因数的个数有什么关系？多个有理数相乘几个数相乘，有一个因数为0，积为0.几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：

当负因数的个数为奇数时，积为负；

当负因数的个数为偶数时，积为正.总结归纳1.判断下列各式的积是正还是负？2×3×4×(-5)

2×3×(-4)×(-5)2×(-3)×(-4)×(-5)(-2)×(-3)×(-4)×(-5)7.8×(-8.1)×0×(-19.6)

负正负正零练一练例3

计算：解：(1)原式(2)原式先确定积的符号

再确定积的绝对值A.(-2)×3+(-2)×1.计算(-2)×，用乘法分配律计算过程正确的是()B.(-2)×3-

(-2)×C.2×3-

(-2)×D.(-2)×3+2×A2.三个数的乘积为0，则（）A.三个数一定都为0B.一个数为0，其他两个不为0C.至少有一个是0D.两个数为0，另一个不为0C3.计算：（1）(-3)×9×(-5)

；

（2）5×|-4|×(-0.2)；解：（1）(-3)×9×(-5)=3×9×5=135.（4）

×(-3)×2023=2023.（3）8×2023×0×(－6)；（4）（2）5

×|-4|×(-0.2)

=20×(-0.2)=-4.（3）8×2023×0×(－6)=0.4.计算：解：拓展训练

5.用简便方法快速计算：解：先求该式的倒数，即所以原式=.有理数乘法有理数乘法运算律多个有理数相乘乘法交换律：a×b＝b×a乘法对加法的分配律：a×(b＋c)=a×b＋a×c几个不是零的数相乘，负因数的个数为奇数时，积为负数；偶数时，积为正数有一个因数为0，积为0乘法结合律：(a×b)×c＝

a×(b×c)

1.5有理数的乘法和除法第1章

有理数第1课时有理数的除法1.5.2有理数的除法你能迅速说出下列算式的结果吗?

小学时我们就知道除法是乘法的逆运算，那它在有理数的运算中也满足吗？复习引入乘法除法2×3=63×4=120×3=00÷3=

12÷3=12÷4=

6÷2=6÷3=

332402×(－3)=____,(－4)×(－3)=____,8×9=____,0×(－6)=____,(－4)×3=____,(－6)÷2=____,12÷(－4)=____,72÷9=____,(－12)÷(－4)=____,0÷(－6)=____,观察右侧算式，两个有理数相除时:商的符号如何确定?商的绝对值如何确定?－61272－120－3－3803计算：有理数的除法及分数化简(－6)÷2=____,12÷(－4)=____,72÷9=____,(－12)÷(－4)=____,0÷(－6)=____,－3－380商的符号如何确定?商的绝对值如何确定?异号两数相除得负数，并把绝对值相除同号两数相除得正数，并把绝对值相除零除以任何非零数得零31.同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除.2.0除以一个不等于0的数都得0，0不能做除数.总结归纳有理数的除法法则1：（1）(－24)÷4；（2）(－18)÷(－9)；例1计算：解：（2）原式＝+(18÷9)＝2；（3）10÷(－5).解：（3）原式＝－(10÷5)＝－2.解：（1）原式＝－(24÷4)＝－6；典例精析

(－12)÷÷(－100)下面两种计算正确吗?请说明理由：（1）解：原式=

(－12)÷(÷100)

=

(－12)÷=-14400（2）解：原式=÷

(－12)÷(－100)=÷(－100)=除法不适用于交换律与结合律，所以不正确．（×）（×）想一想（1）（－15）÷（－3）；（2）12÷；计算：

（2）原式＝

＝－48（3）（－0.75）÷0.25.

（3）原式＝－（0.75÷0.25

）＝－3解：（1）原式＝+（15÷3）＝5练一练结论:如果两个有理数的乘积是1，那么称其中的一个数是另一个的倒数，也称这两个数互为倒数.做一做：

计算：（1）×2；（2）×(-2)

解：（1）×2

=

1

（2）×（-2）=

2观察上面两题有何特点?倒数倒数的定义

如果两个数的乘积为1，我们把其中的一个数叫做另一个数的倒数.也称它们互为倒数，注意：1.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；2.分数的倒数是分子与分母颠倒位置；3.求小数的倒数，先化成分数，再求倒数；4.0没有倒数.知识要点1的倒数为-1的倒数为的倒数为-

的倒数为的倒数为-

的倒数为1-13-3-3-30的倒数为不存在思考：a的倒数是

对吗？(a≠0时，a的倒数是)练一练例2

已知

a与

b互为相反数，c与

d互为倒数，m的绝对值为6，求

－cd＋|m|的值．解：由题意得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝6.∴原式＝0－1＋6＝5；方法总结：解答此题的关键是先根据题意得出a＋b＝0，cd＝1及|m|＝6，再代入所求代数式进行计算．故－cd＋|m|的值为5.问题

先填空，再对比两边，你能发现什么规律？观察与发现：互为倒数互为倒数互为倒数互为倒数思考从中你能得出什么结论？注意：0不能作除数.有理数的除法法则2：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数.总结归纳互为倒数除法变乘法例3

计算：典例精析方法总结：运算中遇到小数和分数时，把小数化成分数，带分数化成假分数，然后相除.例4

计算:

解：

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数有理数除法法则

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0不能够整除的或是含有分数时选择能够整除时选择求两有理数相除如何选择才合适：总结归纳例5

已知

|

a

|

=

5，b

=

3，且

＜0，求

a

+

b

的值．解：因为

|

a

|

=

5，所以

a

=

±5.因为

b

=

3，＜0，所以

a

=

－5.所以

a

+

b

=

－5

+

3

=

－2．方法总结：有理数

a，b相除的符号确定：若＞0，则

a＞0，b＞0或

a＜0，b＜0；若=0，则

a=0，b≠0；若＜0，则

a＞0，b＜0或

a＜0，b＞0.【变式】已知

a、b

为有理数，且

ab＞0，求

的值.解：因为

ab＞0，所以

a＞0，b＞0或

a＜0，b＜0.

当

a＞0，b＞0时，当a＜0，b＜0时，－4－801.计算：2.填空：（1）若

a，b互为相反数，且

a≠b，则____，

_____；（2）当时，=_______；（3）若则

的符号分别是 _______________.-10拓展a，b，c

为非零有理数，求

的值．解：当

a＜0，b＞0，c＞0

时，原式

==

-1

+

1

+(-1)+(-1)=

-2；当

a＜0，b＜0，c＞0

时，原式

==

1

+(-1)+

(-1)+

1

=

0；当

a＜0，b＜0，c＜0

时，原式

==1+1+1+(-1)=2；当

a＞0，b＞0，c＞0

时，原式

=

=

4．法则一法则二有理数除法0除以任何非0的数都得0除以一个数等于乘这个数的倒数.两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

1.5有理数的乘法和除法第1章

有理数第2课时

有理数的乘除混合运算1.5.2有理数的除法异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘；任何数与

0

相乘，都得

0；同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘1.叙述有理数的乘法法则.复习引入2.叙述有理数的除法法则.同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除；0除以任何一个不等于

0

的数都得

0.（除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数）

下面的算式含有乘、除两种运算，怎样进行有理数的乘、除混合运算呢？可以按从左到右的顺序依次计算.也可以先将除法转化为乘法.议一议有理数的乘、除混合运算例1

计算：（2）（-10）÷[（-5）×（-2）]；（3）（4）

（1）（-56）÷（-2）÷（-8）；典例精析解：（1）（-56）÷（-2）÷（-8）=28÷（-8）可以依次计算先算前两个数异号相除，结果为负=（2）（-10）÷[（-5）×（-2）]；=（-10）÷10先计算后两个=-1.解：=-30×（-3）将除法转化为乘法先算前两位数=90.将除法转化为乘法，然后依次计算=0.8.（3）（4）解：（1）原式（2）原式

计算：（1）（2）练一练

下面是小明同学做的一道计算题，他的计算是否正确？如果不正确，说说他错在哪里.不正确，应该依次计算说一说

有理数的乘除混合运算，如果没有括号，遵循________的顺序计算．含有除法运算的，利用倒数将除法转化为乘法，在计算时，先定________，然后再进行___________的乘法计算．如果有括号，遵循先算括号内，再算括号外的法则计算．从左到右符号绝对值归纳总结计算器是日常生活中常用的一种现代计算工具，因此我们可以利用计算器来计算.例2

用计算器计算（精确到0.001）：

-1840×0.28÷(-375)再将结果四舍五入后就可以得到答案

1.374.用计算器进行乘除混合运算解：

按照下列顺序按键：再将结果四舍五入后就可以得到答案1.374.不同的计算器，操作方法可能有所不同.具体操作方法应参看计算器的使用说明书.注意事项