画法几何直线的投影全解

教学目标：1、掌握直线的投影及与投影面之间的位置关系2、根据直线的投影判断空间直线的位置关系3、熟练运用直角三角形法解决作图问题4、熟练运用直角投影定理解决作图问题教学重点：1、掌握两直线的相对位置的判定2、熟练运用直角投影定理教学难点：1、掌握两直线的相对位置的判定2、熟练运用直角投影定理第一页第二页，共68页。直线的投影直线上的点直线的真长及其倾角两直线间的相对位置直角投影规律ABabαβγb″a′b′ZXYa″VHW2.2.1直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置第二页第三页，共68页。2.2.1.1直线的投影根据初等几何，两点决定一直线，所以，直线上两点的同面投影的连线就是直线在该面上的投影。其作图方法与点的作图方法一样。yWyH第三页第四页，共68页。1、真实性：在与直线相平行的投影面上的投影，反映实长。（a）直线的真实性ABbaH（c）直线的收缩性ABbaH(b)直线的积聚性a(b)BAH3、收缩性：直线与投影面处于倾斜位置时，在该投影面上的投影长度小于真实长度。2、积聚性：直线的方向在与投影线的方向一致（或垂直于投影面）时，其在该面的投影积聚为一点。

直线投影的特点（三性）第四页第五页，共68页。投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）垂直于某一投影面正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）2.2.1.2与投影面成各种位置状态的直线直线与投影面的位置关系有三种：平行、垂直、一般位置直线（倾斜直线、任意位置直线）第五页第六页，共68页。1、一般位置直线的投影特性ABaba′b′a”b”XYZ0YHYWXZaba′b′b”a”0（2）其三面投影都小于空间直线的实长，也不反映直线与投影面的倾角。（1）一般位置直线的三面投影都与投影轴倾斜；第六页第七页，共68页。一般位置直线与投影面的倾角一般位置直线与某投影面的夹角，称为直线对该投影面的倾角。对H面的倾角记为“a”；对V面的倾角记为“β”；对W面的倾角记为“

”。ZXYOVHWa

b

bab

a

AB

C第七页第八页，共68页。2、投影面平行线ZXYOa

b

aba

b

Xa

b

a

b

baOzYHYW

AB投影特性：1．a

b

OX;a

b

OYW

2．ab=AB3．反映

、

角的真实大小(1)水平线—只平行于水平投影面的直线第八页第九页，共68页。ZXYOaa

b

a

b

b

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1．ab

OX;a

b

OZ2．a

b

=AB3．反映

、

角的真实大小（2）正平线—只平行于正面投影面的直线第九页第十页，共68页。ZXYO（3）侧平线—只平行于侧面投影面的直线aa

b

a

b

b

AB投影特性：1．a

b

OZ;ab

OYH2．a

b

=AB3．反映

、

角的真实大小XZa

b

b

baOYHYWa

第十页第十一页，共68页。b

a

aba

b

b

aa

b

ba

投影面平行线的投影特性归纳为：①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβba

aa

b

b

第十一页第十二页，共68页。3、投影面垂直线ABa(b)a’b’a”b”HVW0XYZa(b)a’b’a”b”XYWYHZ0（1）正面投影⊥OX

；平行于Z轴（2）侧面投影⊥OYW;平行于Z轴（3）水平投影积聚成一点。（1）铅垂线第十二页第十三页，共68页。（2）正垂线ABa’(b’)aba”b”HVW0YZXabb”a”a’(b’)XYHYW0Z（1）水平投影⊥OX,平行于YH轴;（2）侧面投影⊥OZ,平行于YW轴;（3）正面投影积聚成一点。第十三页第十四页，共68页。ABaba’b’a”(b”)HVW0XYZaba’b’a”(b”)XYHYW0（1）正面投影⊥OZ,平行于X轴;（2）水平投影⊥OYH，平行于X轴;（3）侧面投影积聚成一点。（3）侧垂线第十四页第十五页，共68页。

投影面垂直线的投影特性归纳为：①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。②另外两个投影，反映线段实长；且同时平行于一个投影轴或分别垂直于相应的投影轴。（a）铅垂线（b）正垂线（c）侧垂线第十五页第十六页，共68页。判断下列直线是什么直线？正平线水平线水平线侧平线正垂线侧垂线铅垂线yW0XZyHaba”b”yW0XZyHaba”b”倾斜直线aba’b’aba’b’aba’b’0Xaba’b’0Xaba”b”yW0XZyHa’b’a”b”0Z第十六页第十七页，共68页。2.2.2直线上的点的投影特性点与直线的关系：点在直线上；点在直线外。ABCa(b)EFDedf直线上点的投影特性:1、从属性：直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。2、定比性：直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，即：(c)ED:DF=ed:df=e′d′:d′f′=e″d″:d″f″第十七页第十八页，共68页。检验点C、F、I、L是否在直线AB、DE、GH、JK上XOk’a’b’c’e’f’g’

(h’)i’l’j’kabcghiljd’dfe点C在直线AB上点F在直线DE上点I不在直线GH上点L不在直线JK上第十八页第十九页，共68页。a′b′abk′kk″a″b″XZYHYWOK点在直线AB上【例题】判定下题中，点K是否在直线AB上？方法一：从属性第十九页第二十页，共68页。方法二：定比性a′b′abk′kXOb0k0K点在直线AB上第二十页第二十一页，共68页。XYHYWZa′b′abd′da″b″k″D点不在直线AB上O【例题】判断点C、D是否在直线AB上。方法一：从属性cc′c″C点在直线AB上第二十一页第二十二页，共68页。方法二：定比性Xa′b′abd′dOcc′c0d0b0D点不在直线AB上C点在直线AB上第二十二页第二十三页，共68页。【例题】试在直线AB上确定一点C，使

AC:CB=2:3，求C点的两面投影。aba′b′C

′cXO第二十三页第二十四页，共68页。【例题】如图所示，已知直线AB上的点C距离侧面W10mm，求C点的两面投影。ZOb′a′b〞a〞10c′b0c0c〞第二十四页第二十五页，共68页。【例题】如图，三棱锥的棱线点K和M的正面投影，求其余投影。已知方法一，利用从属性方法二，利用定比性s’b’b”s”sk’k”km’m”m()bm’s’k’b’b”s”sbk第二十五页第二十六页，共68页。【例题】已知点C在线段AB上，求点C

的正面投影。ccabc0c〞a〞b〞BAabc

ca

aa

bb

b

VHXXOc

第二十六页第二十七页，共68页。求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，也是工程上遇到的问题。而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。求实长或可采用辅助平面法。2.2.3求直线的真长及其对投影面的倾角2.2.3.1求直线的真长及其对投影面的倾角第二十七页第二十八页，共68页。直角三角形法AB真长αAB真长βaba′b′ABabαβγb″a′b′ZXYa″△ZAB量取△ZAB△YAB量取△YAB第二十八页第二十九页，共68页。在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。真长（TL)坐标差△Z、△Y、△XH、V、W投影长α、β、γ

第二十九页第三十页，共68页。1．求直线的实长及对水平投影面的夹角

角

OABabca′b′X

|zA-zB

|AB|zA-zB|

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|abXaba′b′第三十页第三十一页，共68页。2．求直线的实长及对正面投影面的夹角

角AB

a

b

|yA-yB|

OABabca′b′X|yA-yB|a

Xab

ba

b

AB

|yA-yB|AB

|yA-yB|

第三十一页第三十二页，共68页。3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角|xA-xB|

aa′b′bXOZXOZYYHYWa〞b〞ABbb

a

b

aa

|xA-xB|第三十二页第三十三页，共68页。【例题】如图所示，求直线AB的真长及其对投影面H、V的倾角

、

Xa′b′abOa0AB真长△y=ab△z

方法一：第三十三页第三十四页，共68页。Xa′b′abOa″b″AB真长

ZYHYW方法二：第三十四页第三十五页，共68页。aba′b′XOΔZAB=ΔZABC在AB上量取AC=25mmcc′BA【例题】试在直线AB上其一点C，使AC=25mm，求点C的投影。第三十五页第三十六页，共68页。【例题】已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。LABzA-zBcc

abBC=Laba

b

X第三十六页第三十七页，共68页。量取△YABR=40mm△YABa′b′ab【例题】已知直线AB的V面投影，且AB=40mm，

求AB的H面投影。第三十七页第三十八页，共68页。a′b′ab△YAB量取△YABβ【例题】已知直线AB的V投影，且β=30°

求AB的H投影。第三十八页第三十九页，共68页。a′b′abαΔzAB直线的H投影长以直线的H投影长为半径，作圆弧直线AB真长【例题】已知直线AB的V投影，且α=30°，

求AB的H投影。60°第三十九页第四十页，共68页。2.2.3.2已知直线的真长和倾角求解有关的定位和度量问题【例题】如图所示：已知直线CD的两面投影，求CD对投影面V、W的倾角，并在CD上取点T，T与C的真实距离为10mm，作点T的两面投影。d′c′Od″Zc″△y△x△y△xβ

c0c1CD真长10CD真长t′t″t0第四十页第四十一页，共68页。【例题】如图所示：已知直线EF的水平投影ef和端点E的正面投影e′，并知EF的真长为20mm，补全EF的正面投影e′f′,同时，请回答这个题目有几解。efXOe

△z△z△zR20f′f′有两解第四十一页第四十二页，共68页。2.2.4两直线的相对位置两直线的相对位置两直线交叉（交错）—异面两直线相交两直线平行共面第四十二页第四十三页，共68页。(1)两直线平行

两直线平行的投影特性：(1)两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即AB∥CD，则：ab∥cd；a′b′∥c′d′；a″b″∥c″d″。(2)平行两线段之比等于其投影之比。AB:CD=ab:cd=a′b′:c′d′=a″b″∥c″d″xob´aa´d´bbcc´xob´a´abdc´d´cABCD第四十三页第四十四页，共68页。一般根据两面投影便能判断两直线是否平行：b’aba’d’cdc’a”b”c”d”两面投影均平行的直线空间不一定平行两直线平行的判定：若直线的三面投影均平行，则空间两直线平行。当两直线为投影面平行线时，需判断两直线在其平行的投影面上的投影是否平行，若平行则两直线平行，否则交错。两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影平行则两直线空间也平行第四十四页第四十五页，共68页。判断两直线是否平行的方法s’s3、同面投影对角连线的交点是否符合点的投影规律？2、同面投影长度之比是否相等，且方向是否一致？1、第三面投影是否平行？s’第四十五页第四十六页，共68页。(2)两直线相交ob’xa’abk’c’d’dckxoBDACKbb’aa’c’cdd’k’k两直线相交的投影特性：两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。第四十六页第四十七页，共68页。当其中有一条直线为投影面平行线时，则需要作出该直线在所平行的投影面上的投影来判断；也可根据其两面投影中的交点将直线分成的两段是否成比例来判断。一般根据直线的两面投影即可判断是否相交两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影相交且交点符合点的投影规律，则两直线空间也相交。abcdkb

a

c

d

k

第四十七页第四十八页，共68页。(3)两直线交叉Ob’Xa’abc’d’dc11’(2’)2XOBDACbb’aa’c’cdd’211’(2’)21

两直线交叉的投影特性：

既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉.第四十八页第四十九页，共68页。（3）两直线为投影面平行线时，若在平行的投影面内的投影相交，则两直线交错。（2）两直线的一面投影平行，其余两面投影均相交，则两直线交错;（1）两直线的三面投影相交，但交点不符合空间点的投影规律；判定条件：c′a′b′d′cabd第四十九页第五十页，共68页。123456判断下面形体的轮廓线为交错直线第五十页第五十一页，共68页。判断两根管子的可见性d′abcda′b′c′4’(3’)341’2’1(2)X0d′a′b′c′abcd第五十一页第五十二页，共68页。判断两直线的位置关系a’b’c’d’e’a（f）bcde0XAB与CDAB与AECD与AE交错相交交错0Xa’b’c’d’abcdAB与CD平行g’gf’AB与FG交错第五十二页第五十三页，共68页。dcbad′c′b′a′d′c′a′(b′)d′c′b′a′d′c′b′a′c′b′a′d′c′b′a′d′c′b′a′d′c′b′a′d′dcbadcbadcbadcbadcbadcbadcba判断两直线的位置关系相交交错交错平行交错相交垂直交错交错垂直第五十三页第五十四页，共68页。相交相交垂直交错垂直相交第五十四页第五十五页，共68页。【例题】判断两直线的相对位置（方法一）Xa′ac′d′dcbb′od″c″a″b″YWYHZ两直线交叉第五十五页第五十六页，共68页。【例题】判断两直线的相对位置(方法二）cboa′ac′d′db′x1′1=1′d′=1′c′两直线交叉第五十六页第五十七页，共68页。【例题】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。d′e′

f′fec′a′abcd(b′)(k′)l′lk作kˊlˊ∥eˊfˊ作kl∥ef第五十七页第五十八页，共68页。【例题】已知水平线AB的两面投影及点C的两面投影，求作直线CD，使其与直线AB相交且与H面成30º夹角。Cˊaˊbˊcab△ZCDCD水平投影长CD真长α以CD水平投影长为半径作弧d有两解dˊ第五十八页第五十九页，共68页。2.2.5两直线垂直(直角投影定理)AHBCacbcOXb′a′c′ba垂直相交(交错）的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。