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第一节

可测函数及其性质第四章可测函数新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yiyi-1用mEi表示Ei的“长度”问题：怎样的函数可使Ei都有“长度”(测度)?1可测函数定义例(1)零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取)，若

可测，则称f(x)是E上的可测函数。Th1.可测函数的等价描述证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则f(x)在E上可测

对前面等式的说明([a-1/na([aa+1/n推论

设f(x)在E上可测，则E[f=a]总可测，不论a是有限实数或±∞.证明：

E[f=a]=E[f≥a]-E[f>a]（2）连续函数

对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，()()()f(x)在处连续(对闭区间端点则用左或右连续)设f(x)为E上有限实函数，称f(x)在处连续注：一个函数在其定义域的每一个孤立点都是连续的。Th2可测集E上的连续函数定为可测函数证明：任取x∈E[f>a],则f(x)>a,由连续性假设知，则G为开集，当然为可测集，Th3（1）设f(x)是可测集E上的可测函数，而E1为E上的可测子集，则f(x)看作是定义在E1上的函数时，它是E1上的可测函数。（2）设f(x)定义在有限个可测集Ei(i=1,2,…,s)的并集上，且f(x)在每个Ei上都可测，则f(x)在E上也可测。证明：E1[f>a]=E1∩E[f>a](3)简单函数是可测函数可测函数注：Dirichlet函数是简单函数任何简单函数都是可测函数。01若(Ei可测且两两不交），f(x)在每个Ei上取常值ci，则称f(x)是E上的简单函数；⑷R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。aIax1x2由f单调增知下面的集合为可测集证明：不妨设f单调增，对任意a∈R2.可测函数的四则运算

引理设f(x),g(x)是E上的可测函数，则E[f>g]和E[f≥g]都是可测函数。证明：

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