华师版数学九年级上册 22.3实践与探索

第22章一元二次方程22.3

实践与探索第1课时

利用一元二次方程解决图形、数字问题华师版数学九年级上册

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．

问题2

解方程：

(80－2x)(60－2x)＝1500问题1

解一元二次方程有哪些方法？观察与思考解：(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式

x2－70x＋825＝0．(2)确认

a，b，c的值a＝1，b＝－70，c＝825(3)判断

b2－4ac的值

b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0，(4)代入求根公式，得

x1＝55，x2＝15.(80－2x)(60－2x)＝1500问题3

列一元一次方程解应用题的步骤：

①审题

②找等量关系③列方程④解方程⑤答那么列一元二次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.利用一元二次方程解决图形问题806060-2x80

-

2xxx(80

-

2x)(60

-

2x)＝1500得

x1＝55，x2＝15.解：设截去的小正方形的边长

xcm，则长和宽分别为(80-2x)cm、(60-2x)cm.检验：当

x1＝55时，长为80－2x＝－30cm，宽为60－2x＝－50cm．想想，这符合题意吗？不符合．舍去．当

x2＝15时，长为80－2x＝50cm，宽为60－2x＝30cm．符合题意所以只能取

x＝15．答：截取的小正方形的边长是15cm.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．方法归纳问题1：连续三个奇数，若第一个数为

x，则后2个数为_____________.x+2，x+4问题2：连续的五个整数，若中间一个数为

n，其余的为_______________________.n+2，n+1，n-1，n

-

2利用一元二次方程解决数字问题问题引导问题3：一个两位数，十位数字为

a，个位数字为

b，

则这个两位数是

.10a+b问题4：一个三位数，百位

x，十位

y，个位

z，表

示为

.100x+10y+z例

两个连续奇数的积为63，求这两个数.解：设两个奇数为

x和

x+2，x(x+2)=63解得x1

=

-9，x2

=7.x1

+2=

-7，x2

+2=9.答：这个两个数为7、9或者

-7、

-9.典例精析1.三个连续整数，两两之积的和为587，求这三个数.解：设这三个连续整数为

x

-

1，x，x

+

1，(x

-

1)x

+

(x

-

1)(x

+

1)

+

x(x

+

1)

=

587x1

-1=13x1

+1=15x2

-

1=-

15x2

+1=-

13

答：这三个数为13，14，15或

-13，-14，-15.即3x2

-

588

=

0解得：x1

=

14，x2

=

-

14.2.一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原来的两位数之积为736，求这个两位数.分析：设原来的两位数个位数字为

x，则十位数字为(5-

x)十位个位

两位数原两位数新两位数5

-

x5

-

xx

x10(5

-

x)+x10x+5

-

x解：由题意得[10(5

-

x)+x](10x+5

-

x)=736，整理得

x2

-

5x+6=0，解得

x1=2，x2=3.答：这个两位数是23或32.3.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手

21

次，求参加聚会的人数.解：设参加聚会的人数有

x人

解得x1=-6(舍去)，x2=7答：参加聚会的人数为7人.4.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，

然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽．解：设铁板的宽为

xcm，则有长为2xcm5(2x

-

10)(x

-

10)=3000解得

x1=-10（舍），x2=25.故铁板的长为2x=50（cm），所以铁板的长为50cm.，宽为25cm.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意：在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．第22章一元二次方程22.3

实践与探索第2课时

利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题华师版数学九年级上册回顾与思考问题1

列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？应该注意哪些？问题2

生活中还有哪类问题可以用一元二次方程解决？问题1

思考，并填空：

1.某农户的粮食产量年平均增长率为

x，第一年的产量为

60000kg，第二年的产量为_____________kg，第三年的产量为______________kg．60000(1+x)利用一元二次方程解决平均变化率问题问题引导60000(1+x)2

2.某糖厂

2021年食糖产量为

a

吨，如果在以后两年平均减产的百分率为

x，那么预计

2022年的产量将是_________．2023年的产量将是_________．a(1-

x)

问题2你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？

两年后：变化后的量=变化前的量a(1-

x)2×(1±

x)2

问题3

两年前生产

1t甲种药品的成本是

5000元，生产

1t乙种药品的成本是

6000元，随着生产技术的进步，现在生产

1t甲种药品的成本是

3000元，生产

1t乙种药品的成本是

3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？乙种药品成本的年平均下降额为

(6000

-

3600

)÷2=1200（元）．

甲种药品成本的年平均下降额为

(5000-3000)÷2=1000（元）.解：设甲种药品成本的年平均下降率为

x.解方程，得

x1

≈1.775(舍)，x2

≈0.225．

根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于

1的正数，应选

0.225．所以甲种药品成本的年平均下降率约为

22.5％．一年后甲种药品成本为5000(1

-

x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-

x)2元．列方程得

5000(1-

x)2

=3000．解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程

6000(1-

y)2=3600得乙种药品成本年平均下降率为

0.225.

两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．解方程，得

y1

≈1.775(舍)，y2

≈0.225．

问题4

你能概括一下“变化率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．归纳小结

例：山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100kg.后来经市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？利用一元二次方程解决利润问题典例精析【解析】(1)设每千克核桃降价

x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；(2)为了让利于顾客因此应降价最多，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售．解：（1）设每千克核桃应降价

x元，根据题意，得

化简，得

x2

-

10x+24=0，

解得

x1

=4，x2

=6.答：每千克核桃应降价4元或6元；（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时，售价为60-6=54(元)，54÷60=90％.答：该店应按原售价的九折出售.1.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价

x元(x为整数)．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含

x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？2x(50－x)解：(2)设每件商品降价

x元时，商场日盈利可达到2100元．根据题意，得(50－x)(30＋2x)＝2100，化简，得

x2－35x＋300＝0，解得

x1＝15，x2＝20.答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价15元或20元时，商场