初中数学：《图形的相似》大单元教学设计

图形的相似大单元教学设计初中数学1对接课标单元架构2知识梳理整合提升3典题自测提高能力对接课标单元架构1图形的相似

1.比例线段：比例线段的意义，比例性质及平行线分线段成比例。2.相似三角形：判定，性质（中位线，重心及性质）3.相似多边形：判定和性质

4.位似多边形：

概念，性质和作法5.图形变换和坐标：

平移，对称和位似①了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。②通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。④了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。了解相似三角形判定定理的证明。⑤了解相似三角形的性质定理

：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。⑥了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。⑦会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。新课标教学目标2知识梳理整合提升一、成比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．“平行出比例”定理及逆定理：

平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.

几何表达式举例：(1)∵DE∥BC∴

(2)∵DE∥BC∴

比例的性质①基本性质：

②合比性质：③等比性质：(1)形状相同的图形(2)相似多边形(3)相似比：相似多边形对应边的比二.图形的相似①表象：大小不等，形状相同.②实质：各对应角相等、各对应边成比例.1.各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫相似多边形。2.三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫相似三角形.两个相似三角形用“∽”表示，读做“相似于”。3.相似三角形对应边的比，叫做相似比相似图形如△A１B１C１与△ABC相似,注意：对应顶点写在对应位置上记作“△A１B１C１∽△ABC”相似比=对应边的比值=方法2：

平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;方法5：

三边对应成比例的,两三角形相似.三、相似三角形的判定方法方法4：

两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.方法1：通过定义（不常用）方法3：

两对应角相等的,两三角形相似.相似三角形的基本图形相似三角形的基本图形1．定理：“平行”出相似平行于三角形一边的直线截其它两边（或其他两边的延长线），所构成的三角形与原三角形相似.几何表达式举例：∵DE∥BC∴ΔADE∽ΔABC2．定理：“AA”出相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：∵∠A=∠A又∵∠AED=∠ACB∴ΔADE∽ΔABC3．定理：“SAS”出相似如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：∵又∵∠A=∠A∴ΔADE∽ΔABC4．定理：“SSS”出相似如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.∽∵∴ABC◑对应角相等、对应边成比例◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比◑周长比等于相似比◑面积比等于相似比的平方四.

相似三角形的性质1.如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，求AC的长．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴又∵AD=3，DB=6，AE=2，∴解得EC=4．∴AC=AE+EC=6.

2:如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点.AE=1.5，AC=2，BC=3，且AD：AB=3：4，求DE的长。AEDCB

测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.五.

相似三角形的应用1.如图，身高为1.6m的某同学想测量一棵大树的高度，她沿树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树高为（）

A、4.8mB、6.4mC、8mD、10mDACBE解：依题意知：ＥＣ⊥ＡB，于点Ｃ，ＤＢ⊥ＡB于点Ｂ，∴ＣＥ∥ＤＢ∴△ＡCE∽△ＡBD∴ＡC：ＡB＝CE：BD∵AC=0.8m，BC=3.2m∴AB=AC+CB=4mCE=1.6m∴0.8：4=1.6：BD解得：ＢD=8（m）∴树高BD为8m。六、图形的位似如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形.★这个点叫做位似中心.★这两个相似图形的相似比又称为位似比.★位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

位似多边形的性质（1）位似多边形是相似多边形，（2）各对应点所在的直线交于位似中心（3）位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.（4）位似多边形中的对应线段平行（或在一条直线上）.2．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝2：3，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为为

．3．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝2：5，则△ABC与△DEF的面积比为

．

3典题自测1.如果，那么

＝___；如果ad＝bc(a、b、c、d都不为0)，那么

.

2．

三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．3．相似三角形对应角

，对应边

．4．

的两个三角形相似．5．相似三角形面积的比等于相似比的

；周长的比等于

；对应高、对应中线、对应角平分线的比等于

．adbc平行于相等成比例两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例平方相似比相似比6.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，BE:

EC=1:2，连接AE交BD于点F，则△BFE的面积与△DFA的面积之比为

.

7．如图，已知∠ACD＝∠B，BD＝5，AD＝4，求AC的长．

8.如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD＝60°．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若PC＝2，求CD的长．

9.如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．

10．如图，△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD、CE，∠EAC＝∠DAB．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求证：△BAD∽△CAE.11.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为t（s）．当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？

12．如图，矩形ABCD中，E为DC上一点，把△ADE沿AE翻折，点D恰好落在BC边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2

，AD＝4，求DE的长．

13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．求证：（1）△PAB∽△PBC；

（2）PC＝

PA．

14．如图，在等边△ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），以CD为边作等边△EDC，AC与DE交于点F，连接AE．（1）求证：△ADF∽△BCD；（2）若AB：BD＝3：1，且AB＝12，求△ADF的面积．

15.如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．

16.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为AC上的高，BE⊥AB交AC延长线于E．（1）求证：AC2＝AD•AE；（2）点F为BC中点，延长AF交BE于G，求证：△BCD∽△AGB．（3）在（2）的条件