平面向量线性运算

平面对量线性运算一、选择题在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为(A.3 B.22 C.5 D.设O为△ABC的外心，若OA+OB+OC=OM，则M是A.重心(三条中线交点) B.内心(三条角平分线交点)

C.垂心(三条高线交点) D.外心(三边中垂线交点)在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=267.若动点P满足AP=(1−λ)AB+2λ3AC，(λ∈R)A.5 B.10 C.26 D.如图，在矩形ABCD中，AO+OB+AD=(A.AB

B.AC

C.AD

D.BD

向量AB，CD，EF在正方形网格中的位置如图所示，则()

A.EF=13AB+23CD

B.EF=如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，A，B，C，D，则OP+OQ=()

A.OA

B.OB

C.CO

D.DO

若a，b是非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+bA.充足而不必要条件 B.必要不充足条件

C.充足必要条件 D.既不充足也不必要条件在三角形ABC中，BC=a,CA=bA.a−b B.b−a C.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN=λAB+μAC，则λ+μ的值为A.12 B.13 C.14点P是△ABC内一点，且PA+2PB+3PC=0，则△ABP与A.1：5 B.1：2 C.2：5 D.1：3已知单位向量a，b的夹角为π3，那么|a+2bA.23 B.7 C.27 二、填空题在△ABC中，已知∠ACB=90∘，CA=3，CB=4，点E是边AB的中点，则CE⋅AB=在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，AN=3NC，M为BC的中点，则MN=______已知a=(1,3)，b=(2+λ,1)，且a与b成锐角，则实数λ的取值范畴是______．在边长为1的正方形ABCD中，向量DE=12DC,BF=直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=16相交于两点M、N，若c2=a2+b若向量a，b满足：|a|=1，(a+b)⊥a，(2已知a=(1,2sinθ)，b=(cosθ,−1)，且a如图，在△ABC中，D是BC的中点，设AB=a，AC=b，则AD用a、b表达为______．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM=xAB,AN=yAC，则xyx+y的值为若a=(2,3)，b=(−4,7)，则a在b方向上的投影为______．已知点P在线段AB上，且|AB|=4|AP|，设AP=λPB，则实数已知|a|=1，|b|=2，且a⊥(a−b设x∈R，向量a=(2,x)，b=(3,−2)，且a⊥b，则|a化简AC+DB+CD=已知向量a=(1,m)，b=(m,m−3)，若a⊥b，则m=如图：在梯形ABCD中，AD//BC且AD=12BC，AC与BD相交于O，设AB=a，DC=b，用a，b表达BO设向量a=(1,−2)，b=(3,4)，则向量a在向量b方向上的投影为______．已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且对一切实数x，|a+xb|≥|已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα=13，向量a=3e1−2e2已知A，B，C为圆O上的三点，若AO=12(AB+AC)，则三、解答题如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P.设存在λ和μ使AP=λAE，PD=μCD，AB=a，BC=b．

(1)求λ及μ；

(2)用a，b表达BP

已知向量a=(1,2)，b=(2,λ)，c=(−3,2)．

(1)若a//b，求实数λ的值；

(2)若ka+c与a−2c垂直，求实数k已知平面对量a=(4sin(π−α),32)，a=(cosπ3,cosα)，a⊥b．

(Ⅰ)求tanα的值；在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2−12x+32=0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．

(Ⅰ)求k的取值范畴；

(Ⅱ)与否存在常数k，使得向量OA+OB与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请阐明理由．

设函数f(x)=3sin2x+2sin2x−1．

(Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期．

(Ⅱ)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(C)=2，CA⋅CB=3，a+b=112，求边已知a=(1,2)，b=(−3,1)．

(Ⅰ)求a−2b；

(Ⅱ)设a,b的夹角为θ，求cosθ的值；

(Ⅲ)若向量a+kb与a−kb互相垂直，求已知向量a=(2sinθ,1)，b=(2cosθ,−1)，其中θ∈(0,π2)．

(1)若a⊥b，求角θ的大小；

(2)若|a已知a=(1,2)，b=(1,−1)．

(1)若θ为a与b的夹角，求cosθ的值；

(2)若2a+b与ka−b垂直，求k的值．已知向量m=(1,1)，向量n与向量m的夹角为3π4，且m⋅n=−1．

(1)求向量n；

(2)设向量a=(1,0)，向量b=(cosx,sinx)，其中x∈R，若n⋅a答案和解析【答案】1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.B

8.D 9.A 10.B 11.B 12.7213.1414.{λ|λ>−5，且λ≠−515.π416.[−6,10]

17.2

18.1219.a+20.1321.65522.1323.π424.26

25.AB

26.0或2

27.−428.−1

29.3π430.2231.90∘32.解：(1)由于AB=a，BC=b，则AE=a+23b，

DC=13a+b，AP=λAE=λ(a+23b)，DP=μDC=μ(13a+b)，AP=AD+DP=23AB+DP，

23a+μ(1333.解：(1)∵向量a=(1,2)，b=(2,λ)，c=(−3,2)．

a//b，

∴12=2λ，

解得实数λ=4．

(2)ka+c=(k−3,2k+2)，a34.解：平面对量a=(4sin(π−α),32)=(4sinα,32)，a=(12,35.解：(Ⅰ)圆的方程可写成(x−6)2+y2=4，因此圆心为Q(6,0)，过P(0,2)

且斜率为k的直线方程为y=kx+2．

代入圆方程得x2+(kx+2)2−12x+32=0，

整顿得(1+k2)x2+4(k−3)x+36=0.①

直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4(k−3)2]−4×36(1+k2)=42(−8k2−6k)>0，

解得−34<k<0，即k的取值范畴为(−34,0)．

(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x36.解：(Ⅰ)函数f(x)=3sin2x+2sin2x−1

=3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，

∴函数f(x)的最大值是2，

最小正周期为T=2πω=π；

(Ⅱ)△ABC中，由f(C)=2，得2sin(2C−π6)=2，

∴sin(2C−π6)=1，

∴2C−π6=π2+2kπ，k∈Z37.解：(Ⅰ)a−2b=(1，2)−2(−3，1)=(1+6，2−2)=(7，0)．

(Ⅱ)cosθ=a⋅b|a|⋅|b|=1×(−3)+2×11+(−3)222+1=−210．38.(本小题满分14分)

解：(1)∵向量a=(2sinθ,1)，b=(2cosθ,−1)，其中θ∈(0,π2)．

∴由a⊥b，得a⋅b=0，即4cosθsinθ−1=0，

即sin2θ=12，由于θ∈(0,π2)，因此2θ∈(0,π)，

因此2θ=π6或2θ=5π6，解得θ=π12或θ=5π12.(6分)

(2)a−b=(2sinθ−239.解：(1)已知a=(1,2)，b=(1,−1)，

若θ为a与b的夹角，则cosθ=a⋅b|a|⋅|b|=1−21+4⋅2=−1040.解：(1)设n=(x,y)，则x+y=−12x2+y2cos3π4=−1，解得x=−1y=0或x=0y=−1

因此n=(−1,0)或(0,−1)

(2)由于向量a=(1,0)，n⋅【解析】1.解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，

则A(0,0)，B(1,0)，D(0,2)，C(1,2)，

∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

设圆的半径为r，

∵BC=2，CD=1，

∴BD=22+12=5

∴12BC⋅CD=12BD⋅r，

∴r=25，

∴圆的方程为(x−1)2+(y−2)2=45，

设点P的坐标为(255cosθ+1,255sinθ+2)，

∵AP=λAB+μAD，

∴(255cosθ+1,255sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ)，

∴2552.解：在△ABC中，O为外心，可得OA=OB=OC，

∵OA+OB+OC=OM，

∴OA+OB=OM−OC

设AB的中点为D，则OD⊥AB，CM=2OD，

∴CM⊥AB，可得CM在AB边的高线上．

同理可证，AM在BC边的高线上，

故M是三角形ABC两高线的交点，可得M是三角形ABC的垂心，

故选：C

设AB的中点为D，根据题意可得OD⊥AB.由题中向量的等式化简得CM⊥AB，即CM在AB边的高线上.3.解：设AD=23AC，

∵AP=(1−λ)AB+2λ3AC=(1−λ)AB+λAD

∴B，D，P三点共线．

∴P点轨迹为直线BC．

在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=267，

∴sinC=4.解：在矩形ABCD中，

AD=BC，

则AO+OB+AD=AO5.解：设EF=(0,2)，则AB=(1,1)，CD=(−1,2)，

故EF=23AB+26.解：设方格的边长为1，则：O(0,0)，A((3,−3)，B(1,−3)，C(−2,3)，

D(−2,2)，P(−2,−2)，Q(4,−1)；

∴OP+OQ=(2,−3)=CO．

故选C．

可设一种小方格的边长为1，从而能够得出图中各点的坐标，进而得出向量OP7.解：f(x)=(xa+b)⋅(xb−a)  =a⋅bx2+(|b|2−|a|2)x−a⋅b，

如a⊥b，则有a⋅b=0，

如果同时有|a|=|b|8.解：AB=CB−CA=−BC−CA=−9.解：设BM=tBC

则AN=12AM=12(AB+BM)=12AB+12BM

=12AB+12×tBC=12AB+10.解：如图，延长PB至，使，延长PC至，使，并连接AB′，B′C′，C′A，则：PA+PB′+PC′=0

∴P是△AB′C′的重心；

∴△PAB′，△PB′C′，△PC′A三个三角形的面积相等，记为S；

∴S△APB=S2，S△APC=S3，S△BPC=S6，

∴S△ABC=S，

∴S△ABP：S△ABC=1：2．

故选B．

可延长PB到B′，延长PC到C′，并分别使PB′=2PB，PC′=3PC，从而根据条件便得到PA+PB′11.解：∵已知单位向量a，b的夹角为π3，那么|a|=|b|=1，a⋅b=1×1×cosπ3=12，

∴|a12.【分析】本题考察平面对量的运算及平面对量的数量积，根据向量加法的平行四边形法则CE→=12CA→+【解答】解：如图：

CE⋅AB=12(CA+CB)⋅(CB13.解：∵AN=3NC，M为BC的中点，

则MN=MC+CN=114.解：由题意可得a⋅b>0，且a、b不共线，∴2+λ+3>02+λ1≠13，求得λ>−5，且λ≠−53，

故答案为：{λ|λ>−5，且λ≠−53

}．

15.解：建立平面直角坐标系如图所示，

∵边长AB=1，向量DE=12DC,BF=13BC，

∴A(0,0)，E(12,1)，F(1,13)；

∴AE=(12,1)，AF=(1,13)，

AE⋅AF=12×1+1×116.解：取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，

∵c2=a2+b2，

∴O点到直线MN的距离OA=|c|a2+b2=1，

x2+y2=16的半径r=4，

∴Rt△AON中，设∠AON=θ，得cosθ=OAON=14，

cos∠MON=cos2θ=2cos2θ−1=18−1=−78，

由此可得，OM⋅ON=|OM|⋅|ON|cos∠MON

=4×4×(−78)=−14，

则PM⋅PN=(OM−OP)⋅(ON−17.解：设向量a，b的夹角为θ，

∵|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，

∴(a+b)⋅a=a2+a⋅b=1+|b18.解：由题意可知：a=(1,2sinθ)，b=(cosθ,−1)，

∵a⊥b，∴1×cosθ+2sinθ×(−1)=0，

化简得19.解：如图：

由平行四边形法则可得AE=a+b，

由平行四边形的性质可知AE=2AD，

∴2AD→20.解：根据题意G为三角形的重心，

∴AG=13(AB+AC)，

MG=AG−AM=13(AB+AC)−xAB=(13−x)AB+13AC，

GN=AN−AG=yAC−AG=yAC−13(AB+AC)=(y−1321.解：∵a=(2,3)，b=(−4,7)，

∴a在b方向上的投影|a|cosθ=a22.解：如图所示，

点P在线段AB上，且|AB|=4|AP|，

∴AP=14AB=13PB；

又AP23.解：设向量a与向量b的夹角是θ，则由题意可得a⋅(a−b)=a2−a⋅b=1−1×2×cosθ=0，

求得cosθ=2224.解：∵a⊥b，∴a⋅b=0，即2×3−2x=0，解得x=3，

∴a−b=(2,3)−(3,−2)=(−1,5)，

则|a−25.解：AC+DB+CD=AC+CD+26.解：∵a⊥b，

∴a⋅b=m+m(m−3)=0，解得m=0或2．

故答案为：0或2．27.解：由于在梯形ABCD中，AD//BC且AD=12BC，AC与BD相交于O，设AB=a，DC=b，过D作DE//AB，

则E是BC的中点，DE=a，BO=23BD

因此−2a=BD−b，−2a=32BO−b，

因此BO=−43a+23b28.解：向量a=(1,−2)，b=(3,4)，根据投影的定义可得：

向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a，b>=a⋅b|b|=3−89+16=−1．29.解：由|a+xb|≥|a+b|得a2+2xa⋅b+x2b2≥a2+2a⋅b+b2，化为x2b2+2xa⋅b−2a⋅b−b2≥0，

∵|b|=1，|a|=2．

∴x230.解：单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα=13，不妨e1=(1,0)，e2=(13,223)，31.解：在圆中若AO=12(AB+AC)，

即2AO=AB+AC，

即AB+AC的和向量是过A，O的直径，

则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，

则AB⊥32.(1)根据AP=λAE=λ