大物 上海交大课后答案 第七章

习题77-1.如图所示的弓形线框中通有电流I，求圆心O处的磁感应强度B。卩卩i解：圆弧在o点的磁感应强度：B1=盂R=橫，方向：口；□i>/3ui直导线在o点的磁感应强度：叮4KRcOs60o[Sin600-sin("600)]二孟’方向®□IJ31•••总场强：B=：牛(—)，方向$。2R兀37-2.如图所示，两个半径均为R的线圈平行共轴放置，其圆心O]、02相距为a,在两线圈中通以电流强度均为I的同方向电流。以0]02连线的中点0为原点，求轴线上坐标为x的任意点的磁感应强度大小；试证明：当a=R时，0点处的磁场最为均匀。TOC\o"1-5"\h\z解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：B二-2(R2+z2)32□IR2(1)左线圈在x处P点产生的磁感应强度：B=0:P12[R2+(a+x)2]322□IR2右线圈在X处P点产生的磁感应强度：B=1P22[R2+(a-X)2]322B和B方向一致，均沿轴线水平向右，P1P2□IR2fa3a31•P点磁感应强度：B-B+B-―0<[R2+(x+)2]-2+[R2+(x_三)2]-2f；pP1p22I22IdB(2)因为B随x变化，变化率为丁，若此变化率在x-0处的变化最缓慢，则0点处的Pdx磁场最为均匀，下面讨论0点附近磁感应强度随x变化情况，即对B的各阶导数进行讨论。P对B求一阶导数：dBdx/a、「n/a.J/a、「n/a.一dBdx(x+2)[R2+(x+2)2]2+(x_2)[R2+(x_2)2]2厶厶厶厶dB当x=0时，-0，可见在0点，磁感应强度B有极值。dx对B求二阶导数：ddx（dB）二

dx1[R2+(x+-)2]525(x+2)2[R2+(x+-)2]t2[R2+(x--)2]t2[R2+(x--)2]t2当当x=0时，学dx2a2-R2=3卩IR2一0a7[R2+(尹]2可见，当a>R时,d2Bdx2>0,O点的磁感应强度B有极小值,x=0当a<R时,d2Bdx2x=0<0，0点的磁感应强度B有极大值,当a=R时，d2Bdx2x=0=0，说明磁感应强度B在0点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀强磁场。【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】7-3.无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c部分是在xoy平面内半径为R的半圆，试求通以电流I时O点的磁感应强度。解:Ta段对O点的磁感应强度可用血B-dl=卩21求得，S0卩I-卩I-有：B=-^,・・・B=一一^ja4兀Ra4兀Rb段的延长线过0点，B=0,b卩I卩I亠卩I亠c段产生的磁感应强度为：B=匚七7•兀=~^-,・•・B=秸kc4兀R4Rc4RuI-uI-则：0点的总场强：Bo=-歳j+命，方向如图。7-4.在半径R=1cm的无限长半圆柱形金属片中，有电流I=5A自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点P处的磁感应强度的大小。解:将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl=Rd9的长直电流,有：dI==，利用B•dl=u工I。兀R兀s0

卩dI卩Id0在P点处的磁感应强度为：dB二丈R二孟RUIdB=dBsin0=0—sin0d0，而因为对称性，B=0x2兀2Ry那么，B=那么，B=B=JdBxx=諾f血0d0=SR=6.37x10-5T有：B・2兀r=p1(1)当0<r<R时,12)当R有：B・2兀r=p1(1)当0<r<R时,12)当R<r<R时，有：12B・2兀r=pI,.・B20pI=0—22兀r3)当R<r<R时,2有：B・2兀r=卩(I一30兀r2一兀R22I),兀R2一兀R232.B3pI=—0—2兀rR2一R2324)当r>R时，有3'pIr—0——2兀R21pI0—2兀r(0<r<R)1则：B=<(R<r<R)12pI0—2兀rR2一r23R2一R232(R<r<R)237-5.如图所示，长直电缆由半径为R］的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R2、R3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r处的磁感应强度大小(0<r5)。解：利用安培环路定理血B・dT=p工I分段讨论。0兀r210兀R21pIr0—2兀R21(r>R3)边长为l=0.15m的立方体如图放置在均匀磁场方体上阴影面积的磁通量；7-6・B=(6i+3j+1.5k)T中，计算(1)通过立(2)通过立方体六面的总磁通量。解：(1)通过立方体上(右侧)阴影面积的磁通量为①=JB・dS=J(6亍+3j+1.5k)・dSf=6xjdS=6x0.152=0.135Wbm1Syx（2）由于立方体左右两个面的外法线方向相反，通过这两个面的磁通量相互抵消，同理上下两面和前后两面各相互抵消，因此通过立方体六面的总磁通量为0。7-7.—根很长的直导线，载有电流10A，有一边长为lm的正方形平面与直导线共面，相距为lm，如图所示，试计算通过正方形平面的磁感应通量。解：将正方形平面分割成平行于直导线的窄条，对距离直导线为x宽度为dx的窄条，通过的磁通量为TOC\o"1-5"\h\zuIuId①=Bldx=0x1xdx=odxm2兀x2兀x通过整个正方形平面的磁通量为①=f2巴1dx=邛In2=1.4x10-6Wbm12兀x2兀7-8.如图所示，在长直导线旁有一矩形线圈，导线中通有电流I=20A，线1圈中通有电流1=10A，已知d=1cm,b=9cm,l=20cm,求矩形线圈上所受到的2合力是多少？解：矩形线圈上下两边所受的磁力相互抵消。uI矩形线圈左边所受的磁力为F=IIB=Il叮=8x10-4N方向向左12122nduI矩形线圈右边所受的磁力为F2=12叮12l云站=8X10-5N方向向右矩形线圈上所受到的合力为F=「◎=7.2x10-4N方向向左7-9.无限长直线电流I与直线电流I共面，几何位置如图所示,12试求直线电流I受到电流I磁场的作用力。21解：在直线电流I上任意取一个小电流元Idl，22此电流元到长直线的距离为x,无限长直线电流I1在小电流元处产生的磁感应强度为：uIB=-^-^0，2nx再利用dF=IBdl，考虑到dl=dxcos600有：dF=uIIdx0122nxcos600也ln匕。na...F=ibU也ln匕。naa2nxcos6007-10.—半径为R的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的长直导线的电流I等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长直导线单位长度所受的磁力。解：设半圆柱面导体的线电流分布为i=厶兀R如图，由安培环路定理，i电流在0点处产生的磁感应强度为:ui小dB二—-Rd6，2兀RUiR斤.门门UI可求得：B=JdB=―0Jsin6-d6=―；0y2兀R0兀2R又丁dF=IdlxB，UII故dF=BIdl=g2dl，O2兀2R有：dFUII=012dl兀2R1所以：dFUI2=—0dlnR7-11.有一根U形导线，质量为m，两端浸没在水银槽中，导线水平部分的长度为l，处在磁感应强度大小为B的均匀磁场中，如图所示。当接通电源时，U导线就会从水银槽中跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略，试由导线跳起所达到的高度h计算电流脉冲的电荷量q。解：接通电流时有F=BIlnm=BIl,而I=dtdtXX|XXXIXXXXXXXXX则：mdv=Bldq，积分有：q=Jv—dv=0Blmv~Bl又由机械能守恒：2mv2=mgh，有:v=v'2gh，mvBl7-12.截面积为S、密度为p的铜导线被弯成正方形的三边，可以绕水平轴00'转动，如图14-53所示。导线放在方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I时，导线离开原来的竖直位置偏转一个角度6而平衡，求磁感应强度。解：设正方形的边长为a，质量为m，m=paS。平衡时重力矩等于磁力矩：由M=pxB，磁力矩的大小：M=BIa2sin(900—6)=BIa2cos6；m重力矩为：M=mgasin6+2mg-asin6=2mgasin62

重力矩为：平衡时：BIa2cos°=2mgasin0B=平衡时：BIa2cos°=2mgasin0B=2mgtan0=2PgStan00IaI7-13.在电子显像管的电子束中，电子能量为12000eV,这个显像管的取向使电子水平地由南向北运动。该处地球磁场的竖直分量向下，大小为5.5x10-5T。问：（1）电子束受地磁场的影响将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显像管内在南北方向上通过20cm时将偏离多远？解：（1）根据f=qvxB可判断出电子束将偏向东1（2）利用E=—mv2，有：v=丫南3一...a=聖B=qB-'2E/=6.28x1014m-s-1mmF/m（3）y=1at2=1a（L）2=3mm。22v而f=qvB=ma,7-14.如图所示，一个带有电荷q（q>0）的粒子，以速度v平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为九（九〉0），并载有传导电流I。试问粒子要以多大的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为d的平行线上？_解：由安培环路定律血B-dl=卩I知：l0uI电流I在q处产生的磁感应强度为：B=-°-，方向&；2兀d运动电荷q受到的洛仑兹力方向向左，大小:F=qvB=qVU0I

洛2兀d电子束方向B同时由于导线带有线电荷密度为九，在q处产生的电场强度可用高斯定律求得为:九一、q九E=，q受到的静电场力方向向右，大小：F=—2k8d电2k8d00欲使粒子保持在一条与导线距离为d的平行线，需F=F，洛电qvuIq九九即：c0=——，可得v=。2兀d2k8dueI000思考题7-1.在图（a）和（b）中各有一半径相同的圆形回路L、L，圆周内有电流I、I，1212其分布相同，且均在真空中，但在（b）图中L回路外有电流13，P、P为两圆形回路2312上的对应点，则：（A）IJB-dl=IJB・dl,B=B；（B）tGB-dl丰IJB・dl,B=B；L1L2P1P2L1L2P1P21212

(C)山B-dl=山B・dl,BLi丰B；(D)山(C)山B-dl=山B・dl,BLiPP2£：⑴(b)7-2.哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系？(x坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心0)答：7-2.哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系？(x坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心0)卩卩IR202x3答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度B二叮2(R2+x2)32卩Ix=0时，B=—^(x>>R),2R根据上述两式可判断(C)图对。7-3.取一闭合积分回路L,使三根载流导线穿过它所围成的面.现改变三根导线之间的相回路L内的1不变，L上各点的B不变；回路L内的工1不变，L上各点的B改变；回路L内的工I改变，L上各点的B不变；回路L内的工I改变，L上各点的B改变.答：(B)对。7-4.—载有电流I的细导线分别均匀密绕在半径为R和r的长直圆筒上形成两个螺线管(R=2r)，两螺线管单位长度上的匝数相等.两螺线管中的磁感应强度大小B和B应满Rr足：(A)B=2B；(B)B=B；(C)2B=B；(D)B=4B.RrRrRrRr答：对于长直螺线管：B=rnI，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁感应强度相等。(B)对。

7-5.均匀磁场的磁感应强度B垂直于半径为r的圆面。今以该