人教版 七年级上 第一章有理数 知识点总结及易错题

⑤若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负倒数.34.有理数的乘法运算律⑴乘法交换律：ab=ba⑵乘法结合律：(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律：a(b+c)=ab+ac35.有理数的除法法则（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。36..有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。37.有理数的乘方求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数。（1）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0,b=0；据规律底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位的结果：n为奇数时，=-1；n为偶数时，=1。38.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an,当n为正偶数时:(-a)n=an.（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。39.有理数的混合运算，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。40.科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中，n是正整数），这种记数法是科学记数法41.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.42.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.有理数运算中的常见错误示例一、概念不清例1计算:15+(-6)-|-5|.错解:原式=15-6+5=14.错解分析：错在没有弄清-(-5)与-|-5|的区别.-(-5)表示-5的相反数,为5;而-|-5|表示-5的绝对值的相反数,-5的绝对值为5,5的相反数是-5.正解:原式=15-6-5=4.例2计算:.错解:原式=.错解分析：此解错在混淆了乘方和有理数乘法的概念.需知表示,其结果为-8,因此,绝不是指数和底数相乘.正解:原式=.二、错用符号例3计算:-5-8×(-2).错解:原式=-5-16=-21.错解分析：错在先将8前面的“-”当成性质符号,后来又当成运算符号重复使用,切记不可这样重复用.正解1:若把-8中的“-”当成性质符号,则可得以下过程:原式=-5+(-8)×(-2)=-5+16=11.正解2:若把-8中的“-”当成运算符号,则可得以下过程:原式=-5-(-16)=-5+16=11.三、项动符号不动例4计算:.错解:原式====.错解分析：在解答本题时,应先观察数字的特点,将小数进行转化,并使分母相同的分数合并计算.在运用加法交换律时一定要记住,项动其符号也一定要随之而动.错解在移动一项时,漏掉了其符号.正解:原式===-12+11=-1.四、对负带分数理解不清例5计算:错解:原式====.错解分析：错在把负带分数理解为,而负带分数中的“-”是整个带分数的性质符号,把看成才是正确的.与之类似,也不等于.正解:原式====.五、考虑不全面例6已知|ɑ-1|=5,则ɑ的值为().A.6B.-4C.6或-4D.-6或4错解:由|ɑ-1|=5可得ɑ-1=5,解得ɑ=6.选A.错解分析：一个数的绝对值等于5,则这个数可能为正,也可能为负,所以ɑ-1=±5,解得ɑ=6或-4.正解:选C.六、错用运算律例7计算:.错解:原式====.错解分析：由于受乘法分配律ɑ(b+c)=ɑb+ɑc的影响,错误地认为ɑ÷(b+c)=ɑ÷b+ɑ÷c,这是不正确的.正解:原式===.七、违背运算顺序例8计算:.错解:原式=4÷(-2)=-2.错解分析：本题是乘除运算,应按从左到右的顺序进行,而错解是先计算,这样就违背了运算顺序.正解:原式=4×(-8)×16=-512.例9计算:.错解:原式=25-(-2)2=25-4=21.错解分析：在计算时,错误地先进行乘法运算.事实上应该先算乘方,再算乘除.正解:原式==25-64=-39.有理数典型错题示例一、例1计算：(1）-19.3＋0.7；(2)错解：（1）-19.3＋0.7＝-20；(2)＝．错解分析：（1）这是没有掌握有理数加法法则的常见错误．对于绝对值不同的异号两数相加，如何定符号和取和的绝对值，初学时要特别小心．(2）混合运算中，同级运算应从左往右依次进行．本题应先除后乘，这里先算了，是不按法则造成的计算错误．正解：(1)-19.3十0.7＝-18.6；(2)．二、例2计算：(1)；(2)．错解：（1）＝（-4)（-4)＝16；(2)＝-0.8．错解分析：（1），表示4的平方的相反数，即＝-（4×4），它与不同，两者不能混淆．(2)表示-0.2的三次方．小数乘方运算应注意运算结果的小数点位置．正解：（l）＝-16；(2)＝-0.008．三、例3计算：(1)；(2)．错解：（1)＝；(2)＝．错解分析：：带分数相乘（或乘方）必须先把带分数化成假分数后再计算．正解：（1）原式＝；(2）原式＝．四、例4已知：＝2，＝3，求．错解：因为＝2，＝3，所以＝±2，＝±3．所以＝±5．错解分析：本题错在最后一步，本题应有四个解．错解中只注意同号两数相加，忽略了还有异号两数相加的情况．正解：前两步同上，所以＝±5，或＝±1．五、例5下列说法正确的是（）(A)0是正整数（B)0是最小的整数(C)0是最小的有理数（D)0是绝对值最小的有理数错解：选A错解分析：0不是正数，也不是负数，0当然不在正整数之列；再则，在有理数范围之内，没有最小的数．正解：选D六、例6按括号中的要求，用四舍五入法取下列各数的近似值：(l)57.898（精确到O.01)；(2)0.057988（保留三个有效数字）．错解：（1)57.898≈57.9；(2)0.057988≈0.058错解分析：（1)57.898精确到0.01，在百分位应有数字0，不能认为这个小数部分末尾的O是无用的．正确的答案应为57.90．注意57.9和57.90是精确度不同的两个近似数．(2）发生错解的原因是对“有效数字”概念不清．有效数字是指一个由四舍五入得来的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止的所有数字，都叫这个数的有效数字．因此0.057988保留三个有效数字的近似值应为0.0580，而0.058只有两个有效数字．七、例7选择题：(l)绝对值大于10而小于50的整数共有（）(A)39个（B)40个（C)78个（D)80个(2)不大于10的非负整数共有（）(A)8个（B)9个（C)10个（D)11个错解：（1)D(2)C错解分析：(l)10到50之间的整数（不包括10和50在内）共39个，-50到-10之间的整数也有39个，故共有78个．本题错在考虑不周密．(2)这里有两个概念：一是“不大于”，二是“非负整数”．前一概念不清，会误以为是0至9十个数字；后一概念不清，会误解为是1至10十个数字，都会错选（C)．正解：(l)C(2)D八、例8计算：．错解：原式＝＝＝.错解分析：绝对值符号有括号的功能，但不是括号．绝对值符号的展开必须按绝对值意义进行；特别是绝对值号内是负值时，展开后应取它的相反数．这是一个难点，应格外小心．正解：因为，，，…，所以原式＝…＝…＝．有理数的乘方错解示例一、例1用乘方表示下列各式：（1）；（2）错解：（1）；（2）.错解分析：求n个相同因数的积的运算叫做乘方.（1）错在混淆了与所表示的意义.的底数是-5，表示4个-5相乘，即，而表示.（2）错在最后结果没有加上括号.实际上与的意义是不同的，表示，而表示.正解：（1）；（2）.二、例2计算：（1）；（2）.错解：（1）；（2）.错解分析：错解（1）（2）的原因都是没有真正理解乘方的意义，把指数与底数相乘了.实际上，表示2008个-1相乘，表示3个-2相乘.正解：（1）；（2）.三、例3计算：（1）；（2）；（3）；（4）.错解：（1）；（2）；（3）；（4）.错解分析：以上错误都是由于没有按照正确的运算顺序进行运算造成的.有理数的运算应先算乘方，再算乘除，最后算加减.正解：（1）；（2）；（3）；（4）.四、例4计算：.错解：.错解分析：错解中出现了以下错误：实际上，正解：科学记数法、近似数和有效数字的失误点示例.一、将一个数用科学记数法表示时出现错误例1.生物学家发现一种病毒的长度约为0.000043mm.用科学记数法表示这个数的结果为（）A.B.C.D.错解：选A或选D.错解分析：小于1的很小的数用科学记数法来表示成时，的范围仍是.n的值等于从左到右第一个不是零的数字前所有零的个数,正确答案应该选B.二、与近似数有关的错误1.近似数精确度的确定例2.精确到位.错解：精确到百分位.错解分析：这种应用科学记数法表示的数在确定其精确到哪一位时,应看其最后一位有效数字在原数中的位置.由，知原数中6在十位上，故精确到十位.错误的原因主要是忽略了所表示的数位,其实,表示的是千位,所以整数2在千位上,8在百位上,6在十位上.2.近似数的取舍例3.用四舍五入法求精确到千分位的近似数.错解：.错解分析：错误的原因是两次使用四舍五入法求近似数,即将先四舍五入得,精确到万分位,然后再四舍五入得0.852,精确到千分位，实际上正确结果应为0.851.四、科学记数法ɑ×10n中ɑ和n值的确定例4据统计，全球每分钟约有84800