复变函数论第三版第二章

一、复变函数的导数与微分1.导数:第一节解析函数的概念与柯西-黎曼方程在定义中应注意:第一页10/16/20231第二页，共48页。例1

解即例2

解第二页10/16/20232第三页，共48页。例3

解第三页10/16/20233第四页，共48页。例4

解第四页10/16/20234第五页，共48页。2.可导与连续:函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.证第五页10/16/20235第六页，共48页。3.求导法则:第六页10/16/20236第七页，共48页。4.微分:特别地,第七页10/16/20237第八页，共48页。二、解析函数的概念1.解析函数的定义2.奇点的定义根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.第八页10/16/20238第九页，共48页。例1解例2解课后思考题：答案处处不可导,处处不解析.第九页10/16/20239第十页，共48页。第十页10/16/202310第十一页，共48页。定理以上定理的证明,可利用求导法则.根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.第十一页10/16/202311第十二页，共48页。定理一三、函数解析的充要条件

证(1)必要性.第十二页10/16/202312第十三页，共48页。

从而,(2)充分性.由于第十三页10/16/202313第十四页，共48页。第十四页10/16/202314第十五页，共48页。[证毕]例1解第十五页10/16/202315第十六页，共48页。解析函数的判定方法:注1解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的。注2解析函数的导数形式更简洁。第十六页10/16/202316第十七页，共48页。四、典型例题解不满足柯西－黎曼方程,例1判断下列函数在何处可导，在何处解析：四个偏导数均连续,但是第十七页10/16/202317第十八页，共48页。例2解第十八页10/16/202318第十九页，共48页。例3证:因为类似可进一步证明:第十九页10/16/202319第二十页，共48页。例4证第二十页10/16/202320第二十一页，共48页。一、指数函数1.指数函数的定义:第二节初等解析函数指数函数的定义等价于关系式:2.加法定理第二十一页10/16/202321第二十二页，共48页。例1解例2

解第二十二页10/16/202322第二十三页，共48页。二、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义将两式相加与相减,得现在把它们定义推广到自变数取复值的情况：正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.第二十三页10/16/202323第二十四页，共48页。有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式(注意：这是与实变函数完全不同的)事实上，第二十四页10/16/202324第二十五页，共48页。例1解其它三角函数第二十五页10/16/202325第二十六页，共48页。2.双曲函数的定义它们的导数分别为它们都是以为周期的周期函数,显然这些函数都是解析函数，各有其解析区域，且都是相应的实双曲函数在复数域内的推广。第二十六页10/16/202326第二十七页，共48页。思考题:实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,3.初等复变函数：基本初等复变函数经过加、减、乘、除、乘方和开方等基本运算，或经历有限次复合运算，所形成的复变函数称为初等复变函数,简称为复变函数.第二十七页10/16/202327第二十八页，共48页。定义2.8(单叶函数） 设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域. 显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D到G的一一变换.

f(z)=z2不是C上的单叶函数.

f(z)=z3是C上的单叶函数第三节初等多值函数第二十八页10/16/202328第二十九页，共48页。定义2.9若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：,根式函数为幂函数z=wn的反函数.

(1)根式函数的多值性.1.根式函数第二十九页10/16/202329第三十页，共48页。

(2)分出根式函数的单值解析分支.从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，

argz<2

，从而可将其转化为单值函数来研究。第三十页10/16/202330第三十一页，共48页。

wk在其定义域上解析,且分成如下的n个单值函数：

(3)的支点及支割线定义1设为多值函数，为一定点，作小圆周，若变点沿转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则称为的支点，如就是其一个支点，这时绕转一周也可看作绕点转一周，故点也是其一个支点.常用方法：从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:第三十一页10/16/202331第三十二页，共48页。定义2设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线.如可以以负实轴为支割线.注a)支割线可以有两岸.b)单值解析分支可连续延拓到岸上.c)支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.d)对，当以负实轴为支割线时，当时取正值的那个分支称为主值支.上岸下岸第三十二页10/16/202332第三十三页，共48页。二、对数函数1.定义2.计算公式：第三十三页10/16/202333第三十四页，共48页。说明：w=Lnz是指数函数ew=z的反函数，Lnz一般不能写成lnz,其余各值为例1

解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.第三十四页10/16/202334第三十五页，共48页。例2解3.对数函数的性质第三十五页10/16/202335第三十六页，共48页。4.分出w=Lnz的单值解析分支从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将对数函数w=Lnz分成如下无穷多个单值解析分支：

wk在定义域上解析,且例1设定义在沿负实轴割破的平面上，且

以

为支点，连接的任一（广义）简单曲线可作为其支割线.解：求值：

（是下岸相应点的函数值）求的值.第三十六页10/16/202336第三十七页，共48页。三、乘幂与幂函数1.乘幂:第三十七页10/16/202337第三十八页，共48页。3.幂函数的解析性原点和负实轴的复平面内是解析的,第三十八页10/16/202338第三十九页，共48页。第三十九页10/16/202339第四十页，共48页。例1解它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。第四十页10/16/202340第四十一页，共48页。1.反三角函数的定义两端取对数得同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:四、反三角函数和反双曲函数第四十一页10/16/202341第四十二页，共48页。2.反双曲函数的定义例1解第四十二页10/16/202342第四十三页，共48页。五、具有有限个支点的情形设有任意N次多项式：分别为P(z)的一切相异零点，对应重数为且有则函数的支点有以下结论：(1)的可能支点为和；(2)当且仅当不能整除时，是的支点；(3)当且仅当不能整除时，是的支点；(4)若能整除中若干个之和，则中对应的几个就可以联结成割线，即变点z沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变.第四十三页10/16/202343第四十四页，共48页。例1作出一个含i的区域,使得函数在此区域内可分解成单值解析分支,求一个分支在i点解可能的支点为易知函数因0,1,2与无穷，具体分析见下图结论：0、1、2与无穷都是支点。的值,使其满足第四十四页10/16/202344第四十五页，共48页。支点确定后，我们作区域，将函数分解成单值解析分支。首先，在复平面内作一条连接0,1,2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线,在所得区域内,可以把w分解成连续分支。例如,可取作为割线,得到区域D。其次,也可以取线段[0,1]及从2出发且不与[0,1]相交