基于多项式拟合的emd插值方法

基于多项式拟合的emd插值方法

1数据序列的延拓算法在提取信号的瞬时特征特征时，hilbert变换可以运用分析方程中实体和虚拟部分之间的关系来确定任何时间的瞬时包络、瞬时相位和瞬时频率。但是对于一个非平稳的数据序列来讲，Hilbert变换得到的结果很大程度上失去了原有的物理意义。Huang等人提出了一种新的信号处理方法--经验模态分解方法（EmpiricalModeDecomposition,EMD）。该方法从本质上讲是对一个信号进行平稳化处理，产生一系列本征模函数分量（IntrinsicModeFunction,IMF）。因为经EMD分解得到的各IMF分量都是平稳的，所以基于这些IMF分量进行Hilbert变换后得到的Hilbert谱能够准确地反映出该物理过程中能量在空间（或时间）各种尺度上的分布规律。因此EMD方法为非平稳数据序列进行Hilbert变换奠定了基础。但是在求每一个IMF分量的过程中，需要对数据序列的极大值和极小值点进行三次样条插值以得到上下包络。样条插值函数需要数据序列两端数据的一阶和二阶导数，而由数据曲线得不到所需要的端点处信息，所以包络线在端点会发生大的摆动，形成非常棘手的端点问题。针对这一问题，邓拥军等人提出了用神经网络技术对数据序列进行延拓的算法。该算法使用的是一种单层、单神经元和线性神经网络。先由学习过程确定网络模型的权重向量和偏移量，再由此模型对原数据进行左右延拓。对于大多数信号数据，神经网络延拓算法都可以很好地抑制端点效应，该算法最大的不足就是速度太慢。赵进平等人提出了镜像延拓算法。该算法把原数据序列对称地延拓成一个环形数据，再对环形数据进行平稳化处理，输出各IMF分量。镜像延拓算法是一种理想的算法，但是较占存储空间，而且如赵进平所说，镜像延拓一般要求把镜面放在极值点处，当无法确定一个数据序列的端点数据是否是极值点时，最好截去一部分数据以便把镜面放在极值点处。如果处理一个短数据，不适合截去时，处理效果就会欠佳。如图1所示。图1(a）图中实线是信号z=cos(0.04πt)+cos(0.08πt)+0.5觹sin(0.01πt）其中t∈[1:99]，该文取t∈[12:88]这段信号作为原信号。对原信号利用镜像延拓算法进行延拓所得的数据为“o”线所示。“+”线是原信号的上包络，虚线是延拓信号的上包络。从图1(a）可以看出延拓信号的包络线与原信号的包络线在t=12与t=88处有较大差别，而各IMF分量是由上下包络线决定的，所以镜像延拓算法对原信号的分析不太合理。图1(b）是分解结果。该信号应分解出两个幅值为1的余弦信号和一个幅值为0.5的正弦信号，由于端点非极值点，两个余弦信号没有被分离开来。基于这两种算法，该文提出了多项式拟合算法。它和前两种算法在抑制端点效应上同样有效，而且比较简单，容易实现，是一种好的算法。2经过处理的方法和端点问题2.1原数据的平稳化EMD方法的基本思想是：假如一个原始数据序列X(t）的极值点数目比零点数目多2个（或2个以上），或者由极大值点决定的上包络与由极小值点决定的下包络的均值不为零，该数据序列就需要进行平稳化处理。具体处理方法是：找出X(t）的所有极大值点，用三次样条函数对极大值点序列插值构成X(t）的上包络线；同理利用极小值点得到X(t）的下包络线；上下包络线的均值为平均包络线m1(t）；将原数据序列X(t）减去该平均包络m1(t）后得到一个新数据序列h1(t），即：一般来讲，h1(t）仍然不是一个平稳数据序列，为此需要对它重复上述处理过程，即：重复进行上述处理过程k次，直到所得到的h1k(t）是一个IMF为止。这样就得到了第一个IMF分量C1(t），即：第一个IMF分量代表原始数据序列中最高频的组成成分。将原始数据序列X(t）减去第一个分量C1(t），可以得到一个去掉高频组成成分的差值数据序列r1(t）。由于r1(t）仍然包含具有较长周期组成成分的信息，所以把r1(t）当作新的数据对它进行上述平稳化处理过程，得到第二个IMF分量C2(t）。如此重复下去直到最后一个差值序列rn(t）不可再被分解为止，此时rn(t）代表原始数据序列的均值或趋势：原始数据序列可由这些IMF分量以及一个均值或趋势表示：由于每一个IMF分量是代表一组特征尺度的数据序列，因此“筛”过程实际上将原始数据序列分解为各种不同特征波形的叠加。2.2包络失真度风险EMD方法自推出以来已经成功地应用到许多非线性研究领域。但是，在应用EMD方法时存在着端点问题，即“筛”过程中构成上下包络的三次样条函数在数据序列的两端会出现发散现象，并且这种发散的结果会随着“筛”过程的不断进行逐渐向内“污染”整个数据序列而使所得结果严重失真。对于一个较长的数据序列来讲，可以根据极值点的情况不断抛弃两端的数据来保证所得包络的失真度达到最小。对于一个短数据序列来讲，这样的操作就变得完全不可行。3基于多项式匹配算法的emd端点处理3.1使用最小二乘法求解拟合优化对于离散数据点，可以用一个近似函数去反映出这些离散数据点的变化趋势，而不是经过所有的数据点，这样的方法称为数据拟合。数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法。所谓最小二乘法是设f(x）为原函数，φ（x）为近似函数，（xi,f(xi))(i=0,1，…，n）为数据点，要求选择φ（x），使为最小。当φ（x）选择为多项式时，称为多项式拟合。求解拟合多项式的一般方法可以归纳为：(1）根据具体问题，确定拟合多项式的次数；计算出Sr和tr;(3）写出正规方程组：(4）解正规方程组求出a0,a1，…an;3.2基于拟合的已发挥优势的检测在筛选过程中出现端点问题，是由EMD算法决定的。对于原始数据序列X(t），先找出它的所有极大值点和极小值点，然后利用三次样条函数对极大值点序列插值形成X(t）的上包络线，同理利用极小值点得到X(t）的下包络线。数据序列X(t）两端点中任一点，只能是极小值点或极大值点。以左端点为例，如果该点为极大值点，那么上包络线可以把它作为左端终点，不会发生大幅度的摆动；对于下包络线由于左端点不是极小值点，而无法确定它的左端终点，产生大幅度的摆动，给筛选过程引入了误差。基于这种情况，当由于端点非极大（或小）值点上（或下）包络线在端点处无法确定它的终点值时，如果能够根据极值点序列中端点以内数据的规律得出该序列在端点处的近似取值，则可以防止对极值点进行样条插值得到的包络线出现较大的摆动。取出原极值点序列（例如极大值点序列）最左端的三个极值点（如果极大值点序列的个数小于三个则取序列中所有元素）。对所取的极值点利用3.1中算法求出拟合多项式，计算出多项式对应数据序列左端点处的函数值，把此函数值作为极值点序列在该端点处的近似取值，同理求出极值点序列在右端点处的近似取值。最后利用三次样条函数对新极值点序列进行插值得到上包络线，同理可以求出下包络线。三次样条函数在端点处有值可依，避免了上下包络线的摆动。虽然多项式拟合只能求出极值点序列在端点处（左、右端点）的近似取值，对极值点序列进行了近似延拓，但是如赵进平等人所认为的，延拓的目的不是为了给出准确的原序列以外的数据，而是提供一种条件，使得包络完全由端点以内的数据确定。所以该方法对原数据序列的处理，不但抑制了端点效应，而且把其中的主要信息也完整地提取出来。多项式拟和算法对图1(a）中信号的处理结果见图2。从图2可以看出原信号包含的三个组成成分被完整地提取出来了，第一行是频率为0.08π的余弦信号，第二行是频率为0.04π的余弦信号，第三行是正弦信号。4已生成的数据进行延拓神经网络延拓算法的最大不足就是运算速度太慢。EMD方法筛出每一个IMF分量都要循环若干次才能满足结束条件，在每次循环中要利用该方法对原数据序列的两端进行延拓。每一端若延拓N个点就要循环N次，循环次数太多造成速度太慢。其次，对于不同类型的数据序列，最适合的神经网络模型也会有所不同，在实际应用过程中需根据需要设定不同类型的模型，给编程带来了较大的麻烦。镜像延拓算法首先把原始数据序列延拓成一环形数据，求各IMF分量时，对环形数据进行一次次筛选，并把镜面以上的数据作为输出，而不必每次对原始数据进行延拓，所以运算速度大大提高。但是该方法使用了原始数据二倍的存储空间，而且在求各IMF分量的每次循环过程中都要求出整个环形数据的上下包络，所需时间是求原数据包络时间的二倍。该文所提出的多项式拟和算法，在求原数据序列各IMF分量的若干次循环过程中，先利用极值点数据序列最左端和最右端的三个极值点求出拟和多项式，以得到极值点序列在两端点处的近似值，再求出数据序列的上下包络。虽然比镜像延拓多了求两端极值点的时间，但是在求数据序列上下包络时比镜像延拓少用了二分之一的时间，所以在时间方面，多项式拟合并不比镜像延拓慢；而在空间方面，多项式拟和比镜像延拓节约了二分之一的空间。二者的处理效果异曲同工，所以多项式拟和算法是一种有效的抑制端点效应的算法。以上三种算法对由调幅、调频和二进制相移键控叠加的信号进行处理的结果如图3和表1所示。图3中（a）是原信号，（b）至（e）中的第一行到第三行是IMF分量，最后一行是趋势。其中（b）图是在对端点处数据未做任何处理情况下对信号分解的结果，（c）至（e）依次为神经网络延拓、镜像延拓、多项式拟合的处理结果。从图3可以看出三种算法都很好地抑制了端点效应，都是有效地解决端点问题的算法。但从表1可以看出神经网络延拓算法在时间上明显比其他两种方法逊色。镜像延拓与多项式拟合算法在时间上差不多，但在空间上拟合算法表现了一定的优势。而且多项式拟合算法对像图1(a）中一类信号的分析结果十分理想。所以不论从理论分析，还是从实验结果都可以看出该算法是一种好的方法。5拟合函数的选取及次数从对三种方法的比较中，可以看出多项式拟合是一种有效方法。不仅体现在时间和空间上，而且体现在处理结果上。利用多项式拟合算法时，首先用来作为拟合根据的点数不能太多。因为拟合函数是利用最小二乘法