人教版八年级数学上册 （提公因式法）整式的乘法与因式分解 教学课件

提公因式法

学习目标1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.（重点）2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.（难点）回顾旧知2.填空：1.说一说单项式乘以多项式的计算法则？

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.针对训练在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有

，不是的，请说明为什么？

①

②

③④

⑤

⑥

③⑥am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x·8xyx2-1=(x+1)(x-1)(2x+1)2=4x2+4x+1x2+x=x2(1+)2x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是积的运算因式分解的对象是多项式，是整式乘法每个因式必须是整式合作探究pa+pb+pc

多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.相同因式p思考1：

观察下列多项式，它们有什么共同特点？合作探究一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

(a+b+c)可得pa+pb+pcp=

由于

(a+b+c)=pa+pb+pcp合作探究

找3x2–6xy

的公因式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x

公因式是3x指数：相同字母的最低次数1思考2：如何确定一个多项式的公因式？一看系数二看字母三看指数最大公约数相同字母最低指数针对训练下列各多项式的公因式是什么？2aa22(m+n)3mn-2xy(1)2x+6y(2)ab-2ac(3)a2-a3(4)4(m+n)2+2(m+n)(5)9m2n-6mn

(6)-6x2y-8xy2

公因式既可以是一个数、一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.典例精析(1)8a3b2+12ab3c；例1

把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.(2)2a(b+c)-3(b+c).典例精析解：（1）8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc)；如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式是b.（2）2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).做整式乘法运算.提公因式要尽量提，提彻底。整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.如何检查因式分解是否正确？小试牛刀1、将下列各式因式分解：(1)4a3c2＋12ab3c；(2)5a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋c)(a－b)－a－c.(3)原式＝(a＋c)(a－b－1)．解：(1)原式＝4ac(a2c＋3b3)；(2)原式＝(5a－3)(b＋c)；小试牛刀把6x2y+18xy2分解因式.解：原式=3xy(2x+6y).错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2注意：公因式要提尽.正解：原式=6xy(x+3y).2、小明的解法有误吗？小试牛刀当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误注意：某项提出莫漏项.解：原式=x(3x-6y).把3x2-6xy+x分解因式.正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x=x(3x-6y+1)3、小亮的解法有误吗？小试牛刀提出负号时括号里的项没变号错误把-x2+xy-xz分解因式.解：原式=-x(x+y-z).注意：首项有负常提负.正确解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z)4、小华的解法有误吗？小试牛刀5.先分解因式，再求值.课堂小结今天我们收获了哪些知识？

1.什么是因式分解？因式分解与整式乘法之间有什么联系？2.如何确定公因式？提公因式法的一般步骤是什么？am+bm+mc=m(a+b+c)三定，即定系数；定字母；定指数互为逆运算第一步找公因式；第二步提公因式综合演练1、

下列从左到右的变形中是因式分解的有(

)①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)．A．1个B．2个C．3个D．4个B知识点拨：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．综合演练2．观察下列各组式子：①2a＋b和a＋b；②5m(a－b)和－a＋b；

③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.其中有公因式的是()A.①②B.②③C.③④D.①④B知识点拨：公因式除了可以为一个数、单项式，还可以是多项式。3.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（）A．x+1B．2xC．x+2D．x+3

D综合演练4．下列多项式分解因式，正确的是()A．8abx－12a2x2＝2ax(4b－6ax)B．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y)C．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2)D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)C知识点拨：一、公因式要提尽；二、某项提出莫漏项；三首项有负常提负.综合演练6.分解因式：(1)－7ab－14a2bx＋49ab2y；(2)6x(a－b)＋4y(b－a)．解：（1）原式＝－7ab(1＋2ax－7by)（2）原式＝

6x(a－b)－4y(a－b)＝(a－b)(6x－4y)＝2(a－b)(3x－2y)5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于___________.3a(x－y)2

综合演练解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.(2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).7.(1)已知:2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=.将x=代入上式，得原式=4.课后作业教材119页练习题第1、4（1）题．第十四章整式的乘法与因式分解14.3.1提公因式法人教版数学八年级上册

活动一;新课导入如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？abcm方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc整式乘法?活动二：新课导入1.运用整式乘法法则或公式填空：(1)m(a+b+c)=

；(2)(x+1)(x-1)=

；(3)(a+b)2=

.ma+mb+mcx2-1a2+2ab+b2合作探究2.根据等式的性质填空：(1)ma+mb+mc=()()(2)x2-1=()()

(3)a2+2ab+b2=()2ma+b+cx+1x-1a+b都是将多项式化为几个整式的积的形式.比一比，这些式子有什么共同点？一、因式分解活动二：新课导入定义：

把一个多项式化为几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.活动三：新知探究x2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法x2-1=(x+1)(x-1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即例1

下列从左到右的变形中是因式分解的有(

)①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个B方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．活动三：新知探究pa+pb+pc多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.相同因式p问题1

观察下列多项式，它们有什么共同特点？合作探究x2＋x相同因式x二、用提公因式法分解因式活动三：新知探究一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

(a+b+c)pa+pb+pcp=活动三：新知探究

找3x2–6xy

的公因式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x

所以公因式是3x指数：相同字母的最低次数1问题2

如何确定一个多项式的公因式？活动三：新知探究活动四：新知运用(1)8a3b2+12ab3c；例2

把下列各式分解因式分析：提公因式法的步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.(2)2a(b+c)-3(b+c).公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.例3

计算：(1)39×37－13×91；