第二章 控制系统的数学模型

材料成型控制工程基础主讲教师：王睿鹏1.引言（关于模型的概念）2.系统部件的微分方程建立3.控制系统的数学模型4.传递函数与动态结构图5、信号流图第二章控制系统的数学模型

模型种类：形象模型、物理模型、数学模型数学模型：定量描述系统变量之间关系的数学表达式。系统分析和设计的基础：模型。研究系统运动共同规律的工具：数学模型。2.1数学模型及其重要性

静态模型不含时间变量t的代数方程平衡状态下各变量间对应关系变量不随时间而变化静态和动态数学模型

动态模型表达式是含时间变量t的微分方程描述了系统的非平衡过程变量随时间而变化静态模型包含在动态模型之中1.2线性系统概念

线性系统(linearsystem)：系统的数学模型可以用线性微分方程来描述.线性系统的特性：（齐次性）和叠加性齐次性(比例性)：若x（t）→y（t）

则Kx（t）→Ky（t）叠加性：若x1（t）→y1（t），x2（t）→y2（t）则x1（t）＋x2（t）→y1（t）＋y2（t）满足叠加性和齐次性的系统为线性系统。1.2线性系统概念

非线性系统(nonlinearsystem)：系统的数学模型是非线性微分方程凡是系统中有一个以上元件的特性是非线性的系统称为非线性系统。Controlengineeringisbasedonthefoundationsoffeedbacktheoryandlinearsystemanalysis,anditintegratesofconceptofnetworktheoryandcommunicationtheory.1.3建立数学模型方法

机理分析法通过对系统内部运动机理的分析，根据系统所遵循的物理或化学规律，在忽略一些次要因素或作出一些近似处理后进而得出系统特性方程，往往表现为微分方程或代数方程形式，称为机理模型。1.3建立数学模型方法

系统辨识法假定数学模型的结构；对实际系统加入某典型测试信号，得到实际系统的输出数据；按照一定的原则，由输入输出数据来确定模型参数。2系统部件微分方程的建立

线性元件的微分方程非线性元件微分方程线性化控制系统微分方程的列写2.1元件和环节的概念

元件：组成系统的最基本单元。环节：系统中具有独立运动规律的那一部分。在研究系统运动规律时，环节是构成系统的基本单元。2.2建立数学模型的基础

机械运动：牛顿定理、能量守恒定理电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律热学： 传热定理、热平衡定律

微分方程（连续系统）机械运动系统的三要素机械运动的实质：牛顿定理、能量守恒定理阻尼B质量M弹簧K电气系统三元件电阻电容电感电学基本定理或定律：欧姆定理、基尔霍夫定律。2.3建立系统微分方程的一般步骤

划分环节写出每或一环节(元件)运动方程式消去中间变量写成标准形式划分环节将系统划分为单向环节，并确定各个环节的输入量、输出量。一般按功能划分环节（例如测量、放大、执行）。写出每或一环节(元件)运动方程式找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。写成标准形式例如微分方程中，

将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。必要时将各导数项系数整理成具有一定物理意义的系数（时间常数和传递系数）等

注意事项

列写方程时应考虑各物理量的单位；

只有相同量纲的物理量才能相加减

Example1

机械平移系统Example2Example3解：设输入量为输入电压ur(t)，输出量为输出电压uc(t)，中间变量为i：根据基尔霍夫定律，列出原始方程式：消去中间变量并整理得：相似系统概念电—力系统具有相同微分方程形式相似量：在微分方程中占据相同位置的物理量。如：意义：利用电路或其它简单系统研究复杂系统。机电系统机电系统机电系统3.0TheLaplaceTransform1.Laplacetransform若f（t）为实变量t的函数，且t＜0时f（t）＝0，则函数f（t）的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）定义如下：L为拉拉氏变换符号；s=σ+jω称为算子；F(s)为f（t）的变换函数或象函数；f（t）为F(s)的原函数。若函数f（t）满足(1)在t<0时，f（t）＝0(2)f（t）的不连续点是有限的，并且能够找到适当的s=σ+jω的值使拉氏变换的条件：高等函数

初等函数指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数3.2拉氏变换的计算指数函数的拉氏变换（欧拉公式）三角函数的拉氏变换幂函数的拉氏变换阶跃函数的拉氏变换斜坡函数单位速度函数的拉氏变换洛必达法则单位脉冲函数拉氏变换抛物线函数单位加速度函数拉氏变换3.3拉氏变换的定理(1)线性定理若α、β是任意两个复常数，且L[f（t）]=F1（s），L[f2（t）]=F2（s）则：

原函数和的拉氏变换等于原函数拉氏变换之和；若有常数乘以时间函数，则经拉氏变换后，常数可以提到拉氏变换符号外面。(2)微分定理若L[f（t）]=F（s），则：式中，f（0）,f’(0),……，f(n-1)（0）为函数f（t）及其各阶导数在t＝0时的值。(3)积分定理若L[f（t）]=F（s），则：f（0）,f(-1)(0),……，f(-n)（0）为函数f（t）的各重积分在t＝0时的值(4)终值定理若L[f（t）]=F（s），则终值定理用来确定系统或元件的稳态度，即在t→∞时，f（t）稳定在一定值的数值。(5)初值定理若L[f（t）]=F（s），则初值定理只有f(0)存在时才能应用，它用来确定系统或元件的初始值拉氏变换的主要运算定理线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理3.4InverseLaplacetransform(1)InverseLaplacetransform如果f（t）的拉氏变换F（s）可以分解成一些分式之和：F（s）＝F1（s）＋F2（s）＋……＋Fn（s）而F1（s）,F2（s）,…Fn（s）的拉氏反变换由拉氏变换表查得;f（t）＝L-1[F（s）]＝L-1[F1（s）]＋L-1[F2（s）]＋…]＝f1（t）＋f2（t）＋……＋fn（t）(2)部分分式展开法p1、p2、…pn称为B（s）的根，或F（s）的极点，它们可以是实数，也可能为复数。若分母B（s）无重根，则：ak（k＝1，2，…，n）是常数，称为在极点s＝－pk处的留数采用待定系数法求ak：即在等式两边同时乘以（s＋pk），并把s＝－pk代入的方法。即：Example1：Obtain

F（s）InverseLaplacetransform解：解：由于a2和a1共轭，所以：Example2：Obtain

F（s）InverseLaplacetransform3.5SolveddifferentialequationwithLaplasetransformationObtainthedifferentialequations;ObtaintheLaplacetransformationofthedifferentialequations;Solvetheresultingalgebraictransformofthevariableofinterest;ObtaintheinverseLaplacetransformationofalgebraicequations.列出微分方程将微分方程进行拉氏变换，求出以s为变量的变换方程，又称象方程（代数方程）。解象方程，求出输出量的象函数。对象函数进行反变换，求出微分方程解（时域解）。应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。微分方程式的解正弦函数Bsin(t+)指数函数Aeat微分方程式的各系数起始条件外部条件a、

A、B、

IntheLaplacetransformation:Example3：When:r(t)=0，y(0-)=y0,y’(0-)=0If:k/M=2,b/M=3solving:y(t)Solving：1）求象方程代入已知条件，r(t)=0，y(0-)=y0,y’(0-)=03）进行拉氏反变换求y(t)2）解象方程（代数方程）得：Example4：whenOutput:y(t)，Input:x(t)=δ(t)Solving:y(t)Solving:

1）求象方程代入已知条件，L[x(t)]=L[δ(t)]=12）解象方程（代数方程）得：3）进行拉氏反变换求y(t)4.0传递函数Transferfunctionoflinearsystem1.Transferfunctionoflinearsystem

TransferfunctionoflinearsystemisdefinedastheratioofLaplacetransformoftheoutputvariabletotheLaplacetransformoftheinputvariable,withallinitialconditionsassumedtobezero.Xr(s)Xc(s)G(s)Allinitialconditionsassumedtobezero：（1）输入在t＝0以后才作用于系统，即在t≤0时，系统的输入量及各阶导数均为零。（2）在输入作用加入前，系统是相对静止的。因此，系统的输出量及其各阶导数在t≤0时，也均为零。2.传递函数的求法直接法利用传递函数的定义求系统的传函设线性定常系统（或环节）微分方程的一般表达式为：系统的特征方程(characteristicequation)：特征方程的根又称为系统的极点(poles)。的根称为系统的零点(zeros)。零极点分布图：系统的零点、极点表示在复数平面上的图形。jωσ-1-2-30jωσ-1-2-302Example1：Thedifferentialequationis:Laplacetransform：Transferfunction:Example2：Thedifferentialequationis:Laplacetransform：Transferfunction:初始条件为零时微分方程拉氏变换系统的传递函数!传递函数的直接计算法系统传递函数的一般形式N(s)=0系统的特征方程，

特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K——系统处于静态时，输出与输入的比值。当s=0时系统的放大系数或增益特征方程M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点和极点传递函数的零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“O”表示极点用“×”表示零、极点分布图g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）系统输出单位脉冲函数脉冲响应函数传递函数系统动态特性单位脉冲响应传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入－输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定。结论适用于线性定常系统传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律无法描述系统内部中间变量的变化情况只适合于单输入单输出系统的描述注意变换法对于比较复杂的系统，首先将系统分成若干个环节，采用直接法求出各个环节的传递函数，然后利用方块图的等效变换，得出整个系统的传递函数。方框图的等效变换法则化简法方块图的化简方块图的运算规则串联、并联、反馈基于方块图的运算规则基于比较点的简化基于引出点的简化3.传递函数的性质传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的固有特性，分子代表输入与系统的关系。因此，传递函数表达了系统本身的动态性能而与输入量的大小及性质无关。传递函数不说明被描述系统的物理结构。只要动态性能相似，不同的系统可以用同一类型的传递函数来描述。传递函数是一种运算函数。若已知一个系统的传递函数G(s)，则对于任何一个输入量，根据即可以得到输出量。传递函数是复变数s的有理分式。对于实际的系统，分子多项式阶次m不高于分母多项式阶次n，即m＜n。设系统有b个实零点;d个实极点;c对复零点;e对复极点;v个零极点4.典型环节的传递函数b+2c=mv+d+2e=n

比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节！串联纯微分环节Table2.1typicallinksandTransferfunctionLinknameTransferfunctionCharacteristicsProportionG(s)＝K输出量立即复现输入量的变化Inertia输出的变化落后于输入的变化Integrating输出量为输入量对时间的积累Differentiating输出量与输入量的导数成正比Firstorderdifferentiating输出量不仅取决于输入量的变化，还取决于输入量的变化率Oscillating含有两种储能元件，所储能量相互转换Secondorderdifferentiating输出量与输入量、输入量的一二阶导数有关Delay输出量延迟τ时间后，复现输入量环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。（1）比例环节（放大环节）输出量与输入量成正比，不失真也不延时的环节。运动方程式：传递函数：K——环节的放大系数举例：（2）惯性环节

运动方程式：传递函数：K——环节的放大系数T——环节的时间常数

系统的输入量发生突变时，输出量不能突变，只能按指数规律逐渐变化的环节。!储能元件！输出落后于输入量，不立即复现突变的输入（3）微分环节系统的输出量与输入量的导数成比例的环节。理想微分实际微分惯性T0KT有限运动方程式：传递函数：传递函数：Τ：微分环节的时间常数。（4）积分环节！记忆！积分输入突然除去积分停止输出维持不变例1：电容充电例2：积分运算放大器系统的输入量为定值时，输出量于时间成正比。传递函数：运动方程式：K——环节的放大系数T——积分环节的时间常数。如当输入量为常值A时，输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。！改善系统的稳态性能具有明显的滞后作用（5）振荡环节运动方程式：传递函数：

——环节的阻尼比K——环节的放大系数T——环节的时间常数0<

<1产生振荡

1两个串联的惯性环节不同形式储能元件能量转换振荡系统的特征方程：传递函数：

——环节的阻尼比K——环节的放大系数T——环节的时间常数0<

<1产生振荡

1两个串联的惯性环节ωn——系统的无阻尼振荡的自然振荡频率；ωn＝1/T当输入信号为恒定值时，系统的输出往往产生衰减振荡。含有两种不同形式的储能元件，能够将储存的能量相互转换，在能量的储存和交换的过程中，可能出现振荡。其特征方程的根为：ξ的值与特征方程的根确定了振荡环节的特性当ξ＝0时，特征根是一对虚根，零阻尼状态，单位阶跃响应为持续的等幅振荡当0<ξ<1时，特征根是一对实部为负的共轭复根，欠阻尼状态，单位阶跃响应为衰减振荡曲线。当ξ>1时，特征根是两个不相等的负实根，过阻尼状态，单位阶跃响应不是振荡曲线当ξ＝1时，特征根是两个相等的实根，临界阻尼状态当ξ>1，特征方程有两个实根，则不产生振荡，该环节可以看成是由两个惯性环节串联（6）比例微分环节（一阶微分环节）微分方程：传递函数：

τ：比例环节的时间常数

环节输出量的变化取决于输入量、输入量的变化率。在工程实际中，往往采用比例加微分环节。由图可见，纯比例环节的斜波响应曲线是1，比例微分环节的斜波响应曲线是2。2较1提前了。这就是微分环节具有的“预见”作用。（7）二阶比例微分环节运动方程式：传递函数：1

两个串联的一阶微分环节

——环节的阻尼比K——环节的放大系数T——环节的时间常数只有当方程具有复根时，才称其为二阶微分环节

环节输出量不仅取决于输入量本身，还取决于它的一阶、二阶导数。（8）延时环节运动方程式：传递函数：

—环节的时间常数环节的输出和输入相同而仅延迟一时间τ。惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。延迟环节从输入开始之初，在0~τ时间内没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别2.6Blockdiagramofsystemandtransformations1.结构方块图！脱离了物理系统的模型!系统数学模型的图解形式形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。依据信号的流向，将各元件的方块连接起来组成整个系统的方块图。2.函数方块图任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方块图来表示。求和点函数方块引出线函数方块信号线函数方块具有运算功能3.Drawingtheblockdiagramofsystem(1)Basedupondifferentialequations

Example:(2)BaseduponphysicalsystemExample:工作原理：当给定电位器中指针的角度θr按一定规则变化时，输出电位器中指针的角度θc随之变化，因此称该系统为随动系统。1)根据工作原理，分出系统的各个环节，求出各环节的传递函数①旋转式电位器环节

②两级反向比例运算放大器构成的两个比例环节③功率放大环节

④电动机环节（假设电动机的时间常数为Tm，忽略电枢回路电感的影响）⑤测速发电机环节设测速发电机的比例系数为Kt

⑥输出电位器环节电动机带动旋转电位器旋转2）根据系统的工作