第4章：理赔额和理赔次数的分布

第4章

理赔额和理赔次数的分布

【考试内容】

4.1

损失额分布理赔额与损失额常见的损失额分布

4.2

理赔额分布带有免赔额的理赔额分布带有保单限额的理赔额分布带有免赔额，保单限额和比例赔偿的理赔额分布通货膨胀对理赔额分布的影响

4.3

理赔次数的分布单个保单的理赔次数分布（a，b，0）分布类和（a，b，1）分布类保单组合的理赔次数分布相关性保单组合的理赔次数分布免赔额对理赔次数的影响

【要点详解】

§4.1

损失额分布

1．理赔额与损失额（1）相关概念：损失额：是指承保标的发生实际损失金额的大小。

理赔额：是指保险公司按照保单条款所实际支付的金额，也可称为“赔付额”。

理赔额通常小于实际损失额。

（2）理赔类型：

①完全理赔，其理赔额就是保险事故的实际损失额。

②部分理赔，其理赔额可能会低于实际损失额。部分理赔涉及的基本概念如下：

☞免赔额：是指保单规定的最低起赔额，当损失额低于这一额度时，保险公司不赔偿，保险公司只赔偿高出的部分。

☞保单限额：是指保单约定的最高赔偿金额。当损失金额超过保单限额时，被保险人将只获得最高赔偿额，超出部分由被保险人承担。

☞比例赔付：是指在保单中约定一个比例常数k，0<k<1，当保险事故的实际损失额为X时，保险公司支付赔偿金额kX，剩余的损失额(1-k)X由被保险人自己承担。当保单中同时设有免赔额d、保单限额D和赔付比例k时，被保险人最终得到的理赔额最高为k(D-d)。

【例题4.1】已知某险种的实际损失额X的分布函数为：

FX（x）=1－0.8e-0.02x－0.2e-0.001x，x≥0若保单规定：损失额低于1000元就全部赔偿，若损失额高于1000元则只赔偿1000元。则被保险人所获得的实际赔付额期望为（）。

A．40.0

B．126.4

C．166.4

D．206.8

E．246.8

【答案】C

【解析】解法①：记Y为实际赔付额随机变量，则

所以

解法②：fX（x）=0.016e-0.02x+0.0002e-0.001x由题意得保单限额l为1000，则保险人所获得的实际赔付额期望为：

2．常见的损失额分布（1）单个保单损失额的分布特征

①损失额是非负的，因此P(X≥0)=1；

②损失额应该是连续变化的，因此f(x)是连续的；

③损失额较小的保险事故发生的可能性较大，而损失额较大的保险事故发生的可能性较小，但不可以忽略。直观看来，损失额概率密度函数的尾部较厚。

（2）矩母函数及其性质随机变量X的分布函数为F(X)，其矩母函数为

矩母函数的性质为：

①在|t|<r内，X的分布函数由矩母函数唯一确定，比如有两个分布函数F1(X)和F2(X)，若它们对应的矩母函数相同，则有F1(X)=F2(X)；

②X的k（k=1，2，…）阶原点矩为，则有矩母函数可做Taylor展开

③若X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，S=X1+X2+…+Xn，则S的矩母函数为

④若Y=aX+b，a，b为常数，则随机变量Y的矩母函数为

【例题4.2】随机变量U的矩母函数为MU（t）=（1－2t）-9，t<0.5，则U的方差为（）。

A．33

B．34

C．35

D．36

E．37

【答案】D

【解析】解法①：由已知条件得：

E（U）=M

′U

（t）｜t=0=18（1－2t）-10｜t=0=18

E（U2）=

（t）｜t=0=360（1－2t）-11｜t=0=360故Var（U）=E（U2）－E2（U）=360－182=36。解法②：由随机变量U的矩母函数可知，U服从分布，所以

E（U）=9×2=18，Var（U）=9×22=36

（3）常见的损失额分布及其矩母函数

①正态分布

☞密度函数为

☞矩母函数为

☞显然，标准状态分布随机变量的矩母函数为

②指数分布

☞密度函数为

☞矩母函数为

③伽马分布

☞密度函数为其中，

☞矩母函数为

④帕累托分布

☞密度函数为

☞它的矩母函数无简单表达式，其k阶原点矩为

⑤对数正态分布

☞密度函数为

☞它的矩母函数无简单表达式，其k阶原点矩为

⑥韦伯分布

☞密度函数为

☞它的矩母函数无简单表达式，其k阶原点矩为

§4.2

理赔额分布

1．带有免赔额的理赔额分布记X为保险事故造成的损失额，其分布函数为；Y为保险公司根据条款约定对保单支付的理赔额，其分布函数为。

左截断：假设保单规定了免赔额d，理赔额Y可以看做对损失额X的截断：

Y=（X-d）︱(X>d)

则可得Y的分布函数，当y>0时，因此Y的密度函数为

【例题4.3】某医疗保险保单的免赔额为100元，其每次实际损失额X的分布如下表所示。则平均理赔额为（）。

A．30

B．100

C．150

D．200

E．250

【答案】D

【解析】令，并且

,,则，所以理赔额的期望为：

2．带有保单限额的理赔额分布（1）右删失

l为保单限额，若规定了保单限额为l，有：（2）有限期望函数设X是随机变量，给定实数l，有限期望函数定义为：其中X∧l含义为X与l中最小值。

对于非负随机变量X，显然，当d趋于无穷时，。（3）剩余期望函数设X是随机变量，给定实数d，剩余期望函数定义为：

3．带有免赔额，保单限额和比例赔偿的理赔额分布设X表示实际损失额，分布函数为F(X)。若保单规定了免赔额为d，保单限额为1以及赔付比例为，则平均理赔额为：

【例题4.4】一个风险标的损失额服从均值为3的泊松分布。一份保单为这个风险提供保险保障，约定免赔额为2；另一份保单的赔付比例为α。假设这两份保单的平均成本相同，则α为（

）。

A．0.22

B.0.32

C．0.42

D．0.52

E．0.72

【答案】B

【解析】设X是损失额，X~P（3）。第一份保单的理赔额第二份保单的理赔额X2=αX。则这两份保单的平均成本分别为由题意知：，可得α=0.42。

4．通货膨胀对理赔额分布的影响（1）通胀率是确定的实数

①设X表示某险种今年的每次实际损失额，分布函数为FX(x)，预计通胀率为r，Z为该险种明年的预计损失额，则Z=(1+r)X。

②分布函数为：

③密度函数为：

④预计理赔额的分布假设免赔额d，保单限额l以及赔付比例α在通胀前后保持不变，设X为损失额，定义Y*如下:则通胀后预计的每次理赔额为:。通胀后的平均理赔额为：

【例题4..5】已知损失服从参数为α=3和θ=2000的Pareto分布，如果考虑10％的通货膨胀且保单限额是3000时的平均赔付额与保单限额为3000时的平均赔付额之差为（）．

A．60

B．63

C．67

D．72

E．78

【答案】B

【解析】对于Pareto分布，保单限额为3000时的平均赔付额为通货膨胀调整后的平均赔付额为：则通胀下与仅有限额情况下的的平均赔付额之差为：903.11-840=63.11。

（2）通胀率是随机变量

①设X表示某险种今年的每次实际损失额，通货膨胀率随机变量为C，随机变量C和X独立，Y为该险种明年的预计损失额，则Y=CX。

②设X的分布函数为FX(x，θ)，θ为参数，C的分布函数为FC(c)，密度为fC(c)。假设对应任意实数c，X的分布满足FcX(x，θ)=FX(x，cθ)。则Y的分布函数为

③密度函数为

④第二年损失额Y的期望和方差为

【例题4.6】假设今年的实际损失额为X，X服从均值为10的指数分布。预测明年将会发生通货膨胀，且通货膨胀C的密度函数为：若明年的保单约定保单限额为20，则明年理赔额的期望为（）。

A．1.04

B．8.48

C．10.54

D．11.40

E．12.60

【答案】D

【解析】明年的损失额Y=CX的分布为：令，令，则，得：因此，从而明年的理赔额期望为：

§4.3

理赔次数的分布

概率母函数：离散随机变量N的概率分布函数为pk=P(N=k)，k=0，1，2，…，其概率母函数为PN(t)=E(tN)=。

概率母函数与矩母函数的关系：

1．单个保单的理赔次数分布（1）泊松分布与泊松过程：

①泊松分布的概率分布函数为

概率母函数、期望和方差为：

②可以假定它的损失次数过程N(t)具有如下特性(随机过程N(t)表示区间[0，t]内发生的损失次数)：

☞当t=0时，保单损失次数为0，即N(0)=0；

☞在[t，t+△t]内保单发生损失这一事件与时刻t以前的损失事件相互独立，而且发生的损失次数只与时间长度△t有关，与时间的起始位置无关。也就是说，N(t)是一个平稳独立增量过程；

☞在充分小的时间间隔△t中，至多有一次损失，且发生一次损失的概率与此时间区间的长度有关，而发生两次或两次以上的损失概率是△t的无穷小量。即满足上述三个条件的随机过程称为泊松过程。

③相关定理：

☞设N1，N2，…，Nn是独立的泊松随机变量，参数分别为λ1，λ2，…，λn，则N=N1+N2+…+Nn服从泊松分布，参数为λ=λ1+λ2+…+λn。

☞若N服从参数为λ的泊松分布，则N1，N2，…，Nm相互独立，且服从泊松分布，参数分别是λpi，i=1，2，…，m。

（2）负二项分布

①概率分布函数为

当r=1时，称N服从参数为p的几何分布。

②概率母函数为

③均值和方差为

【例题4.7】假设某风险的损失X服从Pareto分布，α＝3，θ＝1000，即若保单规定免赔额为d=250。假设损失次数N服从负二项分布，k＝2，p＝1/4。设N*表示理赔次数，则Var（N*）=（

）。

A．4.79

B．5.79

C．7.79

D．8.79

E．9.79

【答案】C

【解析】以N*表示免赔额为250时的理赔次数，则其概率母函数为所以理赔次数服从负二项分布，参数为2和p=125/371，

（3）二项分布

①概率分布函数为

②概率母函数为

③均值和方差为

（4）泊松分布与负二项分布的关系

①如果理赔次数N服从均值为λ的泊松分布，参数λ是随机的，记做Λ，设Λ的概率密度函数为u(λ)，λ>0，也就是说，当Λ取定为某个值λ后，N服从参数为λ的泊松分布，运用全概率法则，可得N的最终(无条件)分布：

②命题：设X和Y是任意的随机变量，而且数学期望和方差都存在，则有

③结合①与②，可得N的期望、方差和矩母函数为

④定理：若已知当Λ取定为某个值λ后，N服从参数为Λ的泊松分布，而且Λ服从伽玛分布，参数为(α，θ)，则N的无条件分布为奇异负二项分布，参数分别为：r=a，β=θ。

【例题4.8】一个保险人承保的保险标的索赔次数随机变量N服从参数为λ的泊松分布，假设λ服从参数为1的指数分布，那么P（N≤1）=（）。

A．1/4

B．2/5

C．2/4

D．3/5

E．3/4

【答案】E

【解析】已知索赔次数N服从参数为λ的泊松分布，且λ服从参数为1的指数分布，即服从α=1，θ＝1的Γ分布，所以N服从参数r=1，p＝=0.5的负二项分布。所以

因此，P（N=0）=0.5，P（N=1）=0.52=0.25，故

P（N≤1）=P（N=0）+P（N=1）=0.5+0.25=0.75

2．（a，b，0）分布类和（a，b，1）分布类（1）（a，b，0）分布类

①定义：计数随机变量N的概率分布函数为pk，若存在常数使得下式成立：

则称随机变量N属于（a，b，0）分布类。（a，b，0）分布类是一个两参数分布族，参数分别是a和b。

②泊松分布、负二项分布、二项分布和几何分布都是（a，b，0）分布类。

（2）（a，b，1）分布类

①定义：设计数随机变量N的概率分布函数为pk，k≥0。若存在常数使得下式成立；

则称随机变量N属于（a，b，1）分布类。

②（a，b，1）分布类与（a，b，0）分布类的区别：

☞（a，b，1）分布类与（a，b，0）分布类唯一的区别是递推从p1而非从p0开始，即（a，b，1）分布类只在从k=1到k=∞的概率值之间存在递推关系，而（a，b，0）分布类却在从k=0到k=∞的概率值之间存在递推关系。

☞从另一角度看，（a，b，1）分布类与（a，b，0）分布类的本质区别就是分布在零点的取值p0，这个值使得（a，b，1）分布类成为三参数的分布：a，b，p0，而（a，b，0）分布类只是含两个参数a和b。

☞当p0=0时，随机变量N的取值从k=1开始，从概率分布函数的图形上看，相当于在（a，b，0）分布类的基础上再截去零点的值，这一分布类称为“零点截断分布”其概率分布函数由表示；

当p0>0时，随机变量N在各店的取值是由（a，b，0）分布类修正得到的，因此称为“零点修正分布”，其概率分布函数由表示。

③定理：

☞任一零点修正分布是零点截断分布和恒为0的随机变量的混合。

☞任一零点修正分布是（a，b，0）分布和恒为O的随机变量的混合。

（3）（a，b，k）分布类

定义：设计数随机变量N，若存在常数使得下式成立则称N属于（a，b，k）分布类，（a，b，k）分布类具有2+k个参数。

【例题4.9】X是一个属于（a，b，0）分布类的离散随机变量。已知：（1）P（X=0）=P（X=1）=0.25；（2）P（X=2）=0.1875。则P（X=3）=（）。

A．0.125

B．0.187

C．0.253

D．0.754

E．0.812

【答案】A

【解析】根据（a，b，0）分布类的定义，可以得到如下两式：从而解得。所以

3．保单组合的理赔次数分布（1）对于保单组合，可以分为同质性和非同质性两种情况。同质性是指所有的保单相互独立，且都有相同的风险水平，即各保单的损失额分布相同，损失次数的分布也相同。但事实上没有任何两份保单具有相同的风险水平，对于完全非同质性的保单组合，可以考虑混合损失次数模型。（2）混合泊松分布

①定义：对于较大的保单组合，可以假设其中的泊松参数服从连续分布。以u(λ)表示Λ的密度函数，通常称为“结构函数”，则从保单组合中随机抽取一份保单的损失次数分布为：即称为混合泊松分布。

②条件期望与方差：

③混合泊松分布的特点是方差大于均值。因此，当保单组合损失次数观察值的样本方差大于其均值时，可以判断保单组合中存在某种程度的非同质性，而且，方差越大于均值，这种非同质性就越严重。

【例题4.10】某人在一年内感冒的概率服从混合泊松分布，参数λ服从（0，5）上的均匀分布，则他在一年内感冒的次数不少于2次的概率是（）。

A．0.21

B．0.41

C．0.61

D．0.81

E．0.91

【答案】C

【解析】λ服从（0，5）上的均匀分布，故感冒次数N的概率分布为：，k=0，1，2，…所以

故P（N≥2）=1－P（N=0）－P（N=1）=1－0.1987－0.1919=0.61。

（3）常见的结构函数

①离散结构函数

☞假设保单组合由n种不同的风险水平构成，泊松参数Λ取值于{λ1，…，λn}，λ1<…<λn，称为“n元结构模型”。

☞设P(Λ=λi)=ai，i=0，1，2，…，n，当Λ=λi时，保单的损失次数就服从参数为λi的泊松分布，则从保单组合中任一抽取一份保单，其理赔次数的概率分布函数为：

☞n=2时，即为常用的二元结构模型，设保单组合由两类风险水平组成，其中低风险的比例为a1，高风险的比例为a2=1-a1，于是其均值、方差和三阶中心距为

②伽玛结构函数假设个体保单的损失次数服从泊松分布，其中参数Λ随保单不同而不同；再假设Λ服从伽玛分布，参数为（α，θ）。则N服从负二项分布。

③逆高斯结构函数

☞概率密度函数为

☞保单组合中任意一份保单损失次数分布为泊松—逆高斯分布：

☞均值、方差和偏度系数r为

4．相关性保单组合的理赔次数分布（1）相关性保单：一次保险事故的发生可能导致多份保单同时发生损失。（2）复合随机变量

①S由随机变量Mi与N复合而成，称其为复合随机变量，即

S=M1+…+MN

其中，N表示保单组合在单位时间内发生事故的次数；Mi，i=1，2，…，N表示第i次事故中产生的索赔数，为独立同分布的随机变量，且与事故次数N独立。

②S的概率分布函数其中称为pm的n重卷积。

③S的概率母函数

④S的均值和方差

【例题4.11】一个四口之家，每人每年看病的次数服从均值为1.5的几何分布。每年每个家庭成员看病的次数相互独立。这个家庭购买了一份保险，从该家庭第4次看病起，这份保险每次可以支付100元。则这个家庭每年得到的平均赔付额为（

）。

A．300

B．319

C．329

D．420

E．600

【答案】C

【解析】设该家庭每年看病的次数为N，则N~NB（4，p），E（N）==1.5，可得p=0.4。该家庭每