三角函数与解三角形4.1

1．本章内容是高中函数的一个分支，涉及的公式很多，常与实际问题相结合，因此必须牢固掌握．2．“高端数据库”是教师组织本章复习的方向指南，对“考纲考点解读”要从考纲要求的层面上了解近年来考纲变化中的新问题，新动向，从而把握高考趋势，对“高考趋势交流”应从高考问题与相应的高考题型中把握本章的复习重点与主要题型．3．“高端数据库”需要专门安排时间讲解典型例题，在讲解过程中教师需要渗透三角函数公式的应用，切实弄清本章知识在高考中的地位与作用，弄清楚有哪些题型、试题如何综合有关知识点、第四章三角函数与解三角形第一页第二页，共60页。难度如何、近年来有哪些与实际问题相结合的试题等等，必须引导学生认真领会其中的指导意义．第二页第三页，共60页。考点考

纲

要

求考

点

解

读角的概念任意角的概念、弧度制1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.考查角的概念、角的集合表示方式、角度与弧度的互化．注意理解经过扩充之后，“第一象限角”、“小于90°的角”与“锐角”的概念，等式180°＝π≈3.14的含义．高考一般对角的概念不独立命题，而是作为基础穿插在其他三角问题之中考查．第三页第四页，共60页。三角函数的化简与求值三角函数1．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2．掌握

±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．3．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间

内的单调性．4．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，

＝tanx.5．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．6．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.考查单位圆中的三角函数线，考查同角基本关系、诱导公式，考查基本函数的图象与性质．利用同角基本关系式时，由角的范围确定开方后的三角函数的正负．高考试题常以求值题形式考查公式应用，以函数值的比较考查基本函数，三角函数线、基本三角函数的图象作为数形结合工具也应用于解题过程中，通常体现在解决函数y＝Asin(ωx＋φ)的相关问题中．一般以选择、填空题的形式出现，难度为中档偏容易题，预计2012年高考仍以小题目综合化的方式命题.第四页第五页，共60页。考点考

纲

要

求考

点

解

读和与差的三角函数公式1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).考查公式的综合应用，注意通过“角”的关系选择相应的公式．高考试题常以综合运用和差及倍角公式解决求值问题、函数的化简问题．一般为选择、填空题中的中档题，解答题中的容易题．第五页第六页，共60页。解三角形解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考查应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的边角互化，以及利用方程思想解决求值的问题．高考试题通常以三角形为背影，融汇三角函数公式、三角函数图象与性质、解三角形等知识，新课标增加了解三角形应用之后，近几年高考中相应出现了三角函数的实际应用题．一般为中档题．预计2012年高考仍以综合化题目的方式命题.第六页第七页，共60页。问题1三角函数中的求值问题，一般以选择、填空题的形式出现，试题涉及三角函数公式的综合运用．题(2010年·全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于(

)【解析】∵cos(－80°)＝cos80°＝k>0，【答案】

B第七页第八页，共60页。问题2三角函数图象：基本函数图象、图象变换、由图定参等问题，一般以选择、填空题的形式出现，试题涉及正弦、余弦、正切函数图象，y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)型函数图象的变换以及给定图象确定函数解析式．题1

(2010年·四川)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(

)第八页第九页，共60页。

【答案】

C题2

(2010年·重庆)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则(

)第九页第十页，共60页。第十页第十一页，共60页。问题3三角函数性质：对称性、周期性．三角函数性质的考查，一般以选择、填空题的形式考查对称性、周期性，以解答题的形式考查指定区间上的最值．题1

(2010年·陕西)对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是(

)(B)f(x)的图象关于原点对称．(C)f(x)的最小正周期为2π.(D)f(x)的最大值为2.【解析】

f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期为π的奇函数．第十一页第十二页，共60页。【答案】

B题2

(2010年·江西)已知函数f(x)＝(1＋cotx)·sin2x＋msin【解析】

(1)当m＝0时，第十二页第十三页，共60页。第十三页第十四页，共60页。问题4解三角形，一般以选择、填空题的形式考查正弦定理、余弦定理的直接应用，以解答题的形式综合考查解三角形问题，涉及三角函数公式、三角形面积公式等．题(2010年·天津)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A等于(

)(A)30°.

(B)60°.

(C)120°.

(D)150°.第十四页第十五页，共60页。【解析】由sinC＝2sinB结合正弦定理得：c＝2b，所以由余弦定理得：所以A＝30°，选A.【答案】

A第十五页第十六页，共60页。问题5三角函数与解三角形的综合应用，一般以选择、填空题的形式考查三角函数与其他函数的复合关系，以及与方程、不等式、几何的综合，以解答题的形式考查三角函数公式、三角函数图象与性质、解三角形的综合问题，以及实际问题．题1

(2010年·江西)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF等于(

)第十六页第十七页，共60页。题2

(2010年·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)求sinB＋sinC的最大值．第十七页第十八页，共60页。【解析】

(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，题3

(2010年·陕西)如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西第十八页第十九页，共60页。60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解析】由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，第十九页第二十页，共60页。又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20海里，在△DBC中，由余弦定理得第二十页第二十一页，共60页。1．三角函数、同角三角函数与诱导公式是本章学习的基础，也是高中数学的基础知识与必考内容．教学中要注意把握“高考问题导航”中所提出的两个高考问题，它们揭示了高考对本节知识的考查重点与方向，是本节复习的重点与主要题型．2．复习时要注意公式的正用、逆用与变形，掌握一些特殊的解题方法，如数形结合法，代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等．§4.1三角函数、同角三角函数与诱导公式第二十一页第二十二页，共60页。3．高考对本节的考查主要为客观题，因此复习这部分内容时，对一些题目在熟悉常规解法的前提下，重在灵、巧上下工夫，做到少时省力，以适应考场需要．4．本节的关键是要理解几种主要题型的解题模式，要多做一些练习，教师并不需要过多的讲解，因此应该对本节所列例题有所选择，不一定要全部讲完．第二十二页第二十三页，共60页。高考问题1：考查任意角的三角函数定义结合角的相关概念考查任意角的三角函数定义，涉及角度与弧度互化、半角、象限角以及根据定义求三角函数值，一般为选择、填空题中的容易题．高考问题2：考查同角基本关系式与诱导公式运用考查同角基本关系式sin2x＋cos2x＝1，＝tanx及其简单变形，和涉及±α，π±α的诱导公式运用，一般为选择、填空题中的中等偏容易题．

第二十三页第二十四页，共60页。1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角．如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．2．终边相同的角、象限角与非象限角(1)如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非第二十四页第二十五页，共60页。负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．要特别注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为非象限角．(2)终边相同的角是指与某个角α具有相同终边的所有角，可以表示为β∈{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．3．弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写)．角有正、负、零角之分，它的弧度数也有正、负、零之分．第二十五页第二十六页，共60页。第二十六页第二十七页，共60页。(2)三角函数线设α的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1,0)作单位圆的切线(x轴的垂线)，设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段MP，OM，AT分别是叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．第二十七页第二十八页，共60页。5．同角三角函数关系式6．诱导公式记忆口诀：“符号看象限，奇变偶不变”.－απ－απ＋α2π－α－αsin－sinαsinα－sinα－sinαcosαcoscosα－cosα－cosαcosαsinα第二十八页第二十九页，共60页。1．(2010年·山西康杰中学模拟)已知x∈[0,2π]，且集合M＝{x|sinx＞}，N＝{x|cosx＜}，则M∩N等于(

)【答案】

D第二十九页第三十页，共60页。2．(2010年·东北四市联考)已知函数f(x)＝sin(x＋)，g(x)＝cos(x－)，设h(x)＝f(x)g(x)，则下列说法不正确的是(

)【解析】因为h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝sin(－x＋)·cos(－x－)＝cos(－x)·sin(－x)＝－sinx·cosx.第三十页第三十一页，共60页。而h(x)＝f(x)·g(x)＝sin(x＋)·cos(x－)＝cosx·sinx.显然∀x∈R，h(－x)≠h(x)．【答案】

C3．(2010年·上海嘉定区模拟)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A(cosα，)，则cosα－sinα＝________.第三十一页第三十二页，共60页。4．(2010年·苏南六校模拟)已知cosA＋sinA＝－，A为第二象限角，则tanA＝________.【解析】由(cosA＋sinA)2＝1＋2sinAcosA，第三十二页第三十三页，共60页。第三十三页第三十四页，共60页。例1已知扇形的周长为10，面积为4，则扇形的中心角为________(弧度制)．【指点迷津】直接利用周长、面积公式可求出弧长和半径，从而求出中心角．第三十四页第三十五页，共60页。【点评】在弧度制下计算扇形面积和弧长比在角度制下更简便．从扇形面积出发，在弧度制下，转为关于r、l或α的方程、不等式、函数关系，再确定相应值．能力训练1若θ角的终边与168°角的终边相同，求在[0°，360°)内终边与角的终边相同的角是________．【解析】∵θ＝k·360°＋168°，∴＝k·120°＋56°(k∈Z)，第三十五页第三十六页，共60页。令0°≤k·120°＋56°<360°，当k＝0,1,2时所求角为56°，176°，296°.【答案】

56°，176°，296°(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2(－x)＋sin(π＋x)＋cos2(2π－x)的值．【指点迷津】已知sinx＋cosx的值可以通过平方求出sinx－cosx的值，再解方程组求出sinx，cosx，tanx的值，代入第二问即可．第三十六页第三十七页，共60页。第三十七页第三十八页，共60页。解出sinx，cosx即可(过程略)．【点评】在三角函数式的求值问题中，若已知其中一个式子的值可以求出其余两个式子的值，继而解决有关的问题，注意解题时要看清角度的范围，准确判断式子的符号．能力训练2已知第三十八页第三十九页，共60页。(1)化简f(α)；(3)若α＝－1860°，求f(α)的值．第三十九页第四十页，共60页。(3)∵α＝－1860°＝－6×360°＋300°，∴f(α)＝f(－1860°)＝－cos(－1860°)＝－cos(1860°)第四十页第四十一页，共60页。1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化小角”→“小角化锐角”→“求值”．2．角α与角的联系第四十一页第四十二页，共60页。如果用α1、α2、α3、α4表示第一、二、三、四象限角，则

分布如图所示，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图解有关此类型的题就方便多了．3．求值题型：已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个求其他两个，这里应特别注意开方运算时正、负号的选取，应根据题设条件是否指明所在的象限，确定最后结果是一组解还是两组解．4．在计算、化简或证明三角函数时常用的技巧有：(1)“1”的代换：为了解题的需要有时可以将“1”用“sin2α＋cos2α”代替．(2)切化弦：利用商数关系把正切化为正弦和余弦．(3)涉及sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosα的问题常采用平方法求解(给一求二)．第四十二页第四十三页，共60页。(4)涉及sinα，cosα的齐次分式(如)的问题常采用分子分母同时除以cosα或cos2α将弦化成切进行求解．第四十三页第四十四页，共60页。例1已知α＝.(1)写出所有与α终边相同的角；(2)写出在区间(－4π，2π)内与α终边相同的角；(3)若角β与α终边相同，则是第几象限的角？【解析】

(1)所有与α终边相同的角可表示为{θ|θ＝2kπ＋(k∈Z)}．(2)由(1)令－4π＜2kπ＋＜2π(k∈Z)，则有第四十四页第四十五页，共60页。例2在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．第四十五页第四十六页，共60页。第四十六页第四十七页，共60页。第四十七页第四十八页，共60页。第四十八页第四十九页，共60页。1．(2010年·广州高三训练)如果角2α的终边在x轴上方，那么α的范围是(

)(A)第一象限角的集合．(B)第一或第二象限角的集合．(C)第一或第三象限角的集合．(D)第一或第四象限角的集合．【解析】∵2kπ<2α<π＋2kπ，∴kπ<α<＋kπ.当k＝2m(m∈Z)时，α为第一象限角；基础过关第四十九页第五十页，共60页。当k＝2m＋1(m∈Z)时，α为第三象限角．【答案】

C第五十页第五十一页，共60页。3．(2010年·广东广州模拟)已知扇形的半径为10