基于弹性力学板壳理论的压电泵极限输出压力计算

基于弹性力学板壳理论的压电泵极限输出压力计算

压缩式泵广泛应用于生物、化工、精细分析、医疗和精密机械领域。这是近年来小型泵中最受欢迎的研究对象。以往的研究主要集中在泵的结构以及对泵性能的影响上。目前,压电泵的研究已经趋于成熟,要实现应用,需要针对不同的使用条件对泵进行选择与设计,泵的流量与压力的研究是压电泵设计的首要环节。压电振子是压电泵的动力元件,对压电泵输出流量和压力具有决定性作用。目前,对压电振子的研究主要集中在其变形及动态特性方面,针对压电泵流量的计算公式在很多文献中被讨论或分析,但是同样重要的压电泵输出压力的计算并没有确定的理论方法。本文以压电泵压力输出的计算为切入,对边缘夹支压电单晶片振子的等效集中力的理论计算方法进行研究,并进一步对其影响因素进行分析,最终得出压电振子作为驱动元件时,在压电材料耐压值一定的条件下,其结构参数对压电泵极限输出压力的影响规律。陶瓷失效主要由于其受应力作用引起,在电压一定条件下对掏瓷的优化可以保证在最大应力恒定的条件下进行,其寿命不会受到影响。因此,通过结构设计进一步对振子的整体输出性能进行优化,具有很强的实际意义。1等效集中力f0的计算压电泵极限输出压力是指压电泵在出口和入口之间所能提供的最大压差。为了对其进行计算,引入等效集中力的概念,若压电振子在电压U驱动下产生的最大挠度为ωU,在无电压作用的压电振子中心作用一合适的集中力F0,不考虑压电效应,若F0引起的挠度ωF与电压U引起的ωU相等,即ωF=ωU(1)这时可认为F0为电压U驱动时压电振子产生的等效集中力。在压电泵工作的任意时刻,振子对外所输出的力可用Fd表示,则Fd=F0+Fk式中:Fk是由于振子变形产生的弹性回复力。用(Fk)max表示振子的最大弹性回复力,在单个周期足够长可以保证振子充分变形时,有(Fk)max=F0则振子对外输出力的最大值为(Fd)max=2F0假设压电泵振子的有效工作直径为2a,则其极限输出压力为Ρlim=(Fd)maxπa2=2F0πa2(2)2基于真轴等效集中力和泵压的计算2.1中性面的直线将压电振子视为小挠度的弹性薄板,且满足以下3点假设:假设1,变形前后垂直于中性面的直线仍为直线,并始终垂直于中性面,且长度保持不变,即挠度函数与z坐标无关,z平面的切应变为0;假设2,垂直于中性面方向的挤压应力较小,产生的形变可以忽略不计;假设3,中性面上的点没有平行于x、y方向的位移。2.2薄膜应力分析通过建立振子的几何方程和物理方程,得到薄板单位宽度上的弯矩和扭矩,再结合振子薄板的内力与外力平衡条件,得到小挠度薄板在横向载荷作用下的弹性曲面微分方程。根据振子在泵中的实际工作条件,在理想情况下,压电振子所受的横向载荷均关于z轴对称,可以得到简化为轴对称条件下的非齐次双调和方程的极坐标形式(d2dr2+1rddr)(d2ωdr2+1rdωdr)=q(r)/Dc(3)式中:ω为厚度方向的位移;q(r)为厚度方向的应力;Dc为薄板的弯曲刚度。将式(3)等号左侧展开为四阶欧拉型常微分方程,并进行指数变换,变换后可得到齐次微分方程,求出齐次方程的通解后对变量进行逆变换,得到特解,若特解用ω*表示,则方程的一般解ω=C1lnlnr+C2r2lnlnr+C3r2+C4+ω*(4)振子实际的安装方式如图1所示,可以等效地认为其支撑方式为如图2所示的边缘夹支,其半径为a,若中心有等效集中力F0的作用,则式(3)中q(r)/Dc为0,即ω*为0。又因薄板的中心挠度为有限值,故C1=0,则式(4)可简化为ω=C2r2lnlnr+C3r2+C4(5)取半径r<a的有效工作区域,根据平衡条件∑Fz=0,可得2πrQr+F=0则厚度方向的应力为Qr=-F/2πr(6)从薄板内取一小单元,受力分析如图3所示。通过薄板问题的基本假设及边界条件可得Qr=-Dc∂∂r∇2ω(7)将式(5)代入式(7),得到Qr=-4DcC2r(8)根据式(6)和式(8),可求出C2=F8πDc当坐标原点为薄板中心时,设薄板在γ=a处夹支,则该处的挠度ω和薄板的弹性曲面斜率∂ω/∂r为0,即(ω)r=a=0;(∂ω∂r)r=a=0(9)将式(9)代入式(5),可得C3=-12-lnlna;C4=12a2式(5)可进一步简化为ω=F8πDc[12(a2-r2)+r2lnlnra]则压电振子中心点的最大挠度ωF=Fa216πDc等效集中力F=16πDcωFa2(10)2.3陶瓷制作材料b根据薄板变形理论,复合板的位移为ω(r)=Μ2Dc(1+γc)(a2-r2)式中:γc为复合板的泊松比;M为压电陶瓷层在电压U作用下所产生的弯矩。r=0处振子中心的最大挠度为ωU=a2Μ2Dc(1+γc)(11)振子结构及受力如图4所示。根据薄板变形假设及多层板理论,计算Μ=ηud31(2h′+2hb+hpzt)(h′3+h3)/2(h′3(1-α)+h3+(α-β)(h′+hb)3+β(h′+hb+hpzt)3)(12)式中:α=1-γp1-γbEbEp;β=1-γp1-γpztEpztEp;η=Epzt1-γpzt;hb为胶层厚度;hpzt为陶瓷厚度;d31为陶瓷的压电常数;γp为基板的泊松比;γb为胶层的泊松比;γpzt为陶瓷的泊松比;Eb为胶层的杨氏模量;Ep为基板的杨氏模量;Epzt为压电陶瓷的杨氏模量;h′=hp-h,h是中性面相对底面的高度h=(Eph2p1-γ2p+Eb[(hb+hp)2-h2p]1-γ2b+Epzt[(hb+hp+hpzt)2-(hp+hb)2]1-γ2pzt)/2(Ephp1-γ2p+Ebhb1-γ2b+Epzthpzt1-γ2pzt)根据Christensen的研究,可计算E′=A1Epzt+A2Eb+A1A2EpztEb(γpzt-γb)2A1Epzt(1-γ2b)+A2Eb(1-γ2pzt)γ′=A1γpztEpzt(1-γ2b)+A2γbEb(1-γ2pzt)A1Epzt(1-γ2b)+A2Eb(1-γ2pzt)式中:A1=hpzth″;A2=hbh″。令hall=hpzt+hb+hp,则γc=A′1γpEp(1-γ′2)+A′2γ′E′(1-γp2)A′1Ep(1-γ′2)+A′2E′(1-γp2)(13)式中:A′1=hphall;A′2=h″hall。2.4驱动电压的输出力利用等效集中力假设关系式(1),由式(10)和式(11)可得到等效集中力F0的表达式F0=8πΜ1+γc(14)由式(12)～式(14)可知,本文所用压电振子的输出力特性与压电陶瓷的厚度及材料特性有关,取G=8πΜ(1+γc)U(15)为与驱动电压U无关、只受振子结构参数影响的量。在振子结构确定时,G是表示驱动电压和等效集中力关系的参数,称之为振子输出力系数。式(14)可表示为F0=UG(16)3振子等效集中力与低压泵的输出压力3.1压电泵控制参数将式(16)代入式(2),可得单腔压电泵极限输出压力Ρlim=2UG/πa2(17)极限输出压力Plim与驱动电压U成正比,在实际应用中,驱动电压可以作为压电泵控制参数;极限输出压力Plim与其实际工作半径a的平方成反比。在压电泵的设计过程中,电压最大值受到压电振子耐压值的影响,一般低于150V,压电振子的有效工作半径一般大于8mm。要进一步提高压电泵的输出压力,只有优化增加振子参数G值。计算结果表明,G在0.03～0.3之间对振子性能影响显著。根据式(17)可知,G是关于Eb、Ep、Epzt、hb、hp、hpzt、λb、λp、λpzt等参数的函数,常用参数的取值如表1所示。3.2胶层材料的选用压电振子胶层厚度hb受到胶水类型的限制,在振子输出力优化过程中一般不作为调整参数,根据经验一般取0.02mm。当胶层厚度较小时,在理论计算中可以假设胶层内的应力呈线性分布。如图5中胶层厚度hb与G的关系曲线所示,胶层厚度对振子性能的影响在该范围内可以达到10%,其尺寸精度对振子性能影响明显。胶层材料要有较高的刚度、黏接强度及抗疲劳性,因此多选用环氧树脂类或UV厌氧胶水,这类胶水的杨氏模量一般在2～16GPa之间,泊松比在0.3左右。数值计算结果显示,胶层材料的种类对G值的影响小于1%,因此在选择时主要考虑其黏接性及抗疲劳强度等特性。3.3陶瓷、带模型的弹性模量对输出力的影响图6为陶瓷及基板厚度对振子输出力系数G的影响。随着基板厚度hp的增加,输出力系数随之增加,基本呈线性关系,且调整范围较大。陶瓷厚度hpzt在0.05～0.3mm之间对输出力系数影响比较明显,且随着基板厚度hp的增加影响更加明显。在设计过程中对输出力有特别要求时,可考虑在基板厚度大于0.4mm、陶瓷厚度小于0.3mm的范围内进行优化。如果同时考虑到厚度对变形的影响,hp一般选在0.4mm以下,因为在该范围内,hpzt对输出力性能影响不大,因此可以将其作为次要因素进行考虑。如图7所示,随着陶瓷及基板杨氏模量E的增加,振子的输出力系数G增加,在陶瓷杨氏模量较小的情况下,基板杨氏模量对输出力系数影响较小,随着陶瓷杨氏模量的增加,基板杨氏模量的影响逐渐增强。计算结果表明,在常用的陶瓷和基板材料选择过程中,二者的弹性模量参数都是影响较大的因素。陶瓷材料及基板的泊松比λpzt和λp对振子输出力特性影响较小,不足1%,在设计过程中可以忽略。另外,根据式(12)可知,压电常数d31与输出力参数G成线性关系,可以作为设计中的主要因素。4等效集中力模型和极限压力实测值对比如图8所示,将振子按与图1相同方式装卡,使用测力计测试振子中心出力,与所计算的等效集中力进行对比。综合考虑振子参数的影响及调整的可行性,选择基板厚度参数作为变量,其余参数按表1选取。将式(15)计算结果代入式(16),取电压值为130V,得到等效集中力数值解,与实测值的对比见图9。等效集中力实测值低于计算值,主要是由于测力计在振子测试时侧头发生微小变形,以及被测件与侧头间存在间隙,导致振子力部分被振子变形抵消,且该影响随着振子整体厚度及刚度的增加而增大,在误差最小的hp=0.1mm处,实测值与计算值误差小于10%。图9中振子输出力的变化趋势与理论分析完全吻合,可以作为指导振子优化的方法进行使用。如图10所示,极限压力实测值小于理论值,主要是因为实际工作中系统存在流阻及阀的泄露。实测值随着基板厚度hp的增加与计算值相差变大,是因为随着基板厚度的增加,振子的变形量减小,当腔体体积变化量减小到一定程度时阀的效率会大幅下降,输出压力出现拐点。通过曲线对比,压电泵的极限压力实测值与计算值在振子总体刚度较小、变形量可以保证泵工作的条件下趋势相同。在目前压电泵的结构条件下,振子总厚度小于1mm时,式(17)可以有效地评估单腔压电泵的输出压力,同时可以通过增加泵的流体效率来增加公式的适用范围。5振子输出力系数的影响因素(1)振子等效集中力可以用式(16)进行计算,压电泵的极限输出压力在振子总体刚度较小(泵可连续出流)时可用式(17)计算,实际值比计算值偏小。(2)压电泵的极限输出压力与有效工作半径的平方成反比,与振子的驱动电压成正比,与振子输出力系