二面角及其度量

3.2.4二面角及其度量一、 两个平面的位置关系1、 平面与平面平行如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行，a//卩，读作：平面a和平面卩互相平行①和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离。2、 相交平面如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交。这条公共直线叫做这两个平面的交线。平面a与平面卩相交，记作an卩=l，读作：平面a和平面卩的交线是a①两个平面互相垂直一般地，两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。平面a与平面P垂直，记作a丄卩，读作：平面a和平面P互相垂直二、 二面角及其度量1、 二面角平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。棱为l，两个面分别为a，P的二面角，记作a-1一卩，如果Aea，B ，二面角也可以记作A—1—B。2、 二面角的平面角(二面角的度量方法)在二面角a-1-卩的棱上任取一点0，在两半平面内分别作射线OA丄1，0B丄1，则ZAOB叫做二面角a-1—卩的平面角。注意：这个平面角与点0在1上的位置无关，因为：等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。二面角的大小可以用它的平面角来度量。二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。二面角的大小，也就是二面角的平面角的范围是［0。,180。］平面角是直角的二面角叫做直二面角。互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面。三、 二面角的平面角的计算公式cos<u,v〉平面a,卩的法向量分别为u,v，二面角a-cos<u,v〉二面角a-1-卩的大小为0(°兄兀)，C0S0F必须记住这个公式 b- h-特例、n,n分别是平面a,卩的法向量12一_a//P或a与B重合on//n12 卜 1> ba丄Bon丄non-n=01212

例题1、已知在一个二面角的棱上有两个点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB,且AB=4cm,AC=660604•已知两平面的法向量分别为加=(0,1,0),“=(0,1,1),则两平面所成的二面角为A.45°B.135°A.45°B.135°C.45。或135°D.90°mn1解析：cos〈m，n〉=miln|—1•翻即〈m，n〉=45°.mn1•••两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.答案：C13、(2011辽宁理科)如图，四边形ABCD为正方形，PD丄平面ABCD,PD〃QA,QA=AB=PD。证明：平面PQC证明：平面PQC丄平面DCQ求二面角Q-BP-C的余弦值。4、(2012辽宁理科)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC-A/B/C/,ZBAC=90,AB—AC—九AA/,点M,N分别为A/B和B/C/的中点。证明：MN〃平面AACC/；若二面角A-MN-C为直二面角，求九的值。5、(2013辽宁理科)(本小题满分12分)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平