高等代数专插本试卷总汇

./试题一考核课程：《高等代数》〔上考核类型：考试考核形式：闭卷学生院系：年级：试卷：题号一二三四五六七总分得分得分得分一、判断题〔在括号里打"√"或"×",每小题2分,共20分若整系数多项式在有理数域可约,则一定有有理根．〔若、均为不可约多项式,且,则存在非零常数,使得．〔对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变．〔若矩阵的所有级的子式全为零,则的秩为．〔若行列式中所有元素都是整数,且有一行中元素全为偶数,则行列式的值一定是偶数．〔若向量组〔线性相关,则存在某个向量是其余向量的线性组合．〔若两个向量组等价,则它们所包含的向量的个数相同．〔若矩阵、满足,且,则．〔称为对称矩阵是指．若与都是对称矩阵,则也是对称矩阵．〔10．设级方阵、、满足,为单位矩阵,则．〔得分得分二、填空题：〔每小题2分,共20分设,则与的最大公因式为．设,用除所得的余式是函数值．多项式、互素的充要条件是存在多项式、使得．4．一个级矩阵的行〔或列向量组线性无关,则的秩为．5．线性方程组有解的充分必要条件是．6．设矩阵可逆,且,则的伴随矩阵的逆矩阵为．7．设、为阶方阵,则的充要条件是．8．设、都是可逆矩阵,若,则．9．若,则向量组必线性．10．一个齐次线性方程组中共有个线性方程、个未知量,其系数矩阵的秩为,若它有非零解,则它的基础解系所含解的个数为．得分得分三、计算题〔每小题5分,共20分1．求多项式与的最大公因式．2．〔级3．设,给出可逆的充分必要条件,并在可逆时求其逆．4．求向量组、、的一个极大线性无关组,并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．得分得分四、设向量组线性无关,而向量组线性相关,证明：可以由线性表出,且表示法唯一．〔本大题10分得分五、设是一个秩为的矩阵,证明：存在一个秩为的得分矩阵,使．〔本大题10分得分六、〔10分设,．得分〔1计算及；〔2证明：可逆的充分必要条件是；〔3证明：当时,不可逆．〔本大题10分得分七、设线性方程组为得分讨论为何值时,下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解〔要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解．〔本大题10分试题一参考答案及评分标准课程名称：高等代数〔下执笔人：胡付高一、判断题〔每小题2分,共20分〔1×；〔2√；〔3√；〔4×；〔5√；〔6√；〔7×；〔8×；〔9×；〔10√．二、填空题〔每小题2分,共20分〔1；〔2；〔3；〔4；〔5系数矩阵与增广矩阵的秩相等；〔6；〔7；〔8；〔9相关；〔10三、计算题〔每小题5分,共20分1．．注：本题一般用辗转相除法求出最大公因式,如果分解因式,得到最大公因式,也给满分．2．解：原式．3．解：因为,所以可逆的充分必要条件是．…〔2分的伴随矩阵…〔4分故…〔5分注：本题在得到可逆时,求其逆矩阵可以采用初等变换法．院系负责人签字4．由,可知为向量组的一个极大线性无关组,…〔3分且有．…〔5分注：本题也可以先说明其秩为2,故任意两个向量都是极大线性无关组〔容易看出任意两个向量线性无关,或其它方法均可．四、证明〔1由线性相关,存在不全为零的数,使…〔2分又由线性无关,得〔否则,线性相关,矛盾,于是有；…〔5分〔2设,,则,即,…〔8分由于线性无关,故,即〔．…〔10分五、证明考虑齐次线性方程组,因为秩,故存在基础解系,作矩阵,则,…〔6分由于的个列向量线性无关,故有秩．…〔10分注：本题的另一证法是：由秩,存在可逆矩阵使,即,取,则．〔的取法不唯一．六、〔1,．…〔4分〔2由于,故可逆的充分必要条件是,即．…〔7分〔3当时,由于,故不可逆．…〔10分注：对〔3直接证明的,只要方确,也给满分．七、解由于系数行列式…〔2分〔1由克莱姆法则知,当且时,方程组有唯一解；…〔4分〔2当时,,方程组无解；…〔6分〔3当时,方程组有无穷多解：…〔8分．…〔10分注：直接作初等变换,然后讨论方程组解的情况亦可,根据相应步骤给分．试题二一、判断题：〔在括号里打"√"或"×",每小题2分,共20分1．任一排列施行一次对换后,其逆序数必增加1或减少1．〔×2．．〔×3．若行列式中所有元素都是整数,则行列式的值一定是整数．〔√4．若矩阵的秩是,则的所有级的子式全不等于零．〔×5．若矩阵经过初等变换化为矩阵,则．〔×6．若一组向量的和为零向量,则它们必线性相关．〔√7．任一线性方程组有解它的导出组有解．〔×8．若两个向量组等价,则它们所包含的向量的个数相同．〔×9．若向量组〔线性相关,则每个向量都是其余向量的线性组合．〔×10．一个非齐次线性方程组的两个解〔向量之差一定是它的导出组的解．〔√二、填空题〔每小题2分,共20分1．排列的逆序数为．2．五级行列式中的一项在中的符号为负．3．级行列式按第列展开公式是．4．已知非零向量组、、两两线性相关,则该向量组的秩为1．5．线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩．6．若矩阵中有一个级子式不为零,则秩．7．一个齐次线性方程组中共有个线性方程、个未知量,其系数矩阵的秩为,若它有非零解,则它的基础解系所含解的个数等于．8．一个非齐次线性方程组记为〔Ⅰ,它的导出组记为〔Ⅱ,则〔Ⅰ的一个解与〔Ⅱ的一个解的差是〔Ⅰ的解．9．一个级矩阵的行〔或列向量组线性相关,则的行列式等于0．10．两个向量组等价是指它们可以相互线性表出．三、计算下列行列式〔每小题5分,共20分．〔1解原式．注：其它方法计算出结果的给满分,方确而计算错误的,酌情给分．〔2解将所有列加到第1列上,则第1列与第4列成比例,故原式．注：本题也可以从第4行提取公因子,然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行,把第4行化为元素全为零,故原式．〔3；解将所有列全加到第1列并提起公因子,得原式．〔4〔解将所有行减去第1行,化为爪形行列式,得原式．注：本题也可以用加边法化为爪形行列式计算．四、设线性方程组为：,试讨论下列问题：〔1当取什么值时,线性方程组有唯一解？〔2当取什么值时,线性方程组无解？〔3当取什么值时,线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解．〔要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解〔共15分解线性方程组的系数行列式为〔1当,即且时,线性方程组有唯一解；〔2当时,线性方程组无解；〔3当时线性方程组有无穷多解,且其通解为．五、〔1设向量线性无关,证明：向量线性无关；〔2证明：对任意4个向量,向量组都线性相关．〔共15分证明〔1设,即,由于线性无关,故有解之得,故也线性无关．…………〔8〔2由得,线性相关．六、设向量组线性无关,而线性相关,但不能由线性表出,证明：可以由线性表出,且表示法唯一．〔10分证明〔1先证可以由线性表出：因为线性相关,所以存在不全为零的数,使得．由于不能由线性表出,故必有,下证．用反证法：若,则,由于不全为零,故不全为零,与线性无关的假设矛盾,于是,得到．〔2次证表示法唯一：设,,则,即,由于线性无关,故,即〔,于是表示法唯一．七、〔附加题证明或否定下面命题：若三个向量两两线性无关,则线性无关．并说明在三维矢量空间中的几何意义．〔10分解本结论的几何描述是：三个矢量〔向量两两不共线,则它们不共面．很明显该结论是错误的,例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量,但它们共面.注否定上述结论时,也可构造反例,如等,或构造三个二维向量,使它们两两线性无关．试题四题号一二三四五六七八总分得分一、判断题〔每小题2分,共20分集合｛︱为整数｝是一个数域；〔设在数域上,则一定有；〔若整系数多项式无有理根,则在有理数域上一定不可约；〔设是级矩阵,是任意常数,则或；〔设是一个4级排列,则与的奇偶性相同；〔设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0,则该线性方程组无解；〔任意等价向量组中所含向量的个数相等；〔任何齐次线性方程组都存在基础解系；〔设都是维列向量,则；〔10．设都是级对称矩阵,且,则与在复数域上合同．〔二、填空题：〔每小题2分,共14分1．设是多项式的三个根,则．2．四阶行列式中,项的符号为．3．设矩阵可逆,且,则．4．设、为阶方阵,则的充要条件是．5．设为矩阵,则齐次线性方程组有非零解的充要条件是：秩〔A．6．设是互异常数,则线性方程组的解向量中分量．7．二次型是正定的充分必要条件是与满足．三、计算〔每小题6分,共12分1．〔级2．设,给出可逆的充分必要条件,并在可逆时求其逆．得分得分四、〔共10分化二次型为标准形,写出所作的非退化的线性替换．并回答下列问题：〔1该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？〔2该二次型在复数域、实数域上的规形分别是什么？得分五、〔14分当为何值时,下面线性方程组有解？并求解．得分得分六、〔10分设向量可以由线性表出,但不能由线性表出．证明：〔1可由向量组得分线性表出；〔2不能由线性表出．得分七、〔10分设是一个秩为的矩阵,证明：存在一个秩为的矩阵,使．得分得分八、〔10分证明：如果,,则．得分参考答案及评分标准〔试题四一．判断题〔每小题2分1．×；2．√；3．×；4．×；5．√；6．×；7．×；8．×；9．√；10．√．二．填空题〔每小题2分,共14分1．；2．负号；3．；4．；5．；6．；7．．三．计算〔每小题6分,共12分原式………〔2分………〔4分………〔6分2．因为,所以可逆的充分必要条件是,………〔3分且………〔6分四．,令,则………〔2分再令,则………〔4分且所作的非退化的线性替换为．………〔6分〔1该二次型的正、负惯性指数及符号差分别是2,1,1．………〔8分〔2该二次型在复数域、实数域上的规形分别是与………〔10分五．解………〔2分〔1当且时,方程组有唯一解………〔4分,,,；………〔7分〔2当时,方程组无解；………〔9分〔3当时,方程组有无穷多解：………〔11分………〔14分六．证明〔1因为可以由线性表出,所以存在不全为零的数,使,………〔2分若,则可以由线性表出,矛盾．故,………〔4分从而有．………〔5分〔2〔反证法若可由线性表出,又由于可以由线性表出,得可以由线性表出,矛盾．故不能由线性表出．……〔10分七．证明考虑齐次线性方程组,因为秩,故存在基础解系,作矩阵,则,且秩．………〔10分注1在构造矩阵时,的后面列未必一定要取零向量,事实上,只要说明中每列都是线性方程组的解,且中含个线性无关的列向量即可．注2本题的另一证法是：由秩,存在可逆矩阵使,即,取,则八．证明由及,存在多项式〔,使,,………〔4分两式相乘得,………〔8分所以有．………〔10分试题六班级：班级：姓名：学号：…………密……封………………线…………题号一二三四五六七八九十总分得分得分得分一、填空题〔每小题一、填空题〔每小题2分,共20分1．如果,,,则．2．两个有限维线性空间、同构的充分必要条件是．3．用表示维线性空间的所有线性变换构成的线性空间,则．4．若,且,则的特征值为．5．设欧氏空间的正交变换A在一组标准正交基下的矩阵是,则．6．设是一个维欧氏空间,是中非零向量,,则．7．矩阵的最小多项式为．8．已知线性变换A在基下的矩阵为,则A在基下的矩阵为．9．在中,线性变换D<>,则D在基下的矩阵为．10．设6级矩阵的不变因子是,则的若尔当标准形是．二、选择题〔每小题3分,共15分得分二、选择题〔每小题3分,共15分得分1．下列集合构成的子空间的是〔．；．；．．2．维线性空间的线性变换A可以对角化的充要条件是〔．A有个互不相同的特征向量；．A有个互不相同的特征根；．A有个线性无关的特征向量．3．对子空间,为直和的充要条件是〔．；．；．,．4．下列类型的矩阵一定相似于对角矩阵〔．正交矩阵；．特征值皆为实数的矩阵；．主对角元两两互异的上三角矩阵．5．的充要条件是〔三、〔共15分设为的基,且线性变换A在此基下的矩阵为〔1求A的特征值与特征向量；〔2是否可以对角化？如果可以,求正交矩阵使得为对角形．．、三、〔共15分设为的基,且线性变换A在此基下的矩阵为〔1求A的特征值与特征向量；〔2是否可以对角化？如果可以,求正交矩阵使得为对角形．得分得分四、〔10分设表示数域四、〔10分设表示数域上次数小于的多项式及零多项式作成的线性空间．〔1证明：是的一组基；〔2求上述的一组基到基的过渡矩阵．得分五、五、〔12分设A,且A2A．证明〔1A的特征值为０或１；〔2AA-1．得分得分六、〔8分设是欧氏空间六、〔8分设是欧氏空间的两两正交的非零向量组,证明它们线性无关．得分七、〔10分设是一个固定的七、〔10分设是一个固定的级矩阵,证明：〔1是的一个子空间；〔2当为主对角元两两互异的对角矩阵时,写出的维数及一组基．得分八、〔10分设八、〔10分设是欧氏空间的一组向量,记,证明：〔1如果使,,那么；〔2记,,那么．得分得分试题六参考答案及评分标准一、填空题〔每小题2分,共20分〔1；〔2；〔3；〔4或；〔5；〔6；〔7；〔8；〔9；〔10．二、选择题〔每小题3分,共15分〔1；〔2；〔3；〔4；〔5．三、〔1解,因此A的特征值为与．…〔4分对,可求出的一个线性无关的特征向量为,故得A的所有特征向量为,这里不为零．…〔6分对,求出的两个线性无关的特征向量,,故A的所有特征向量为,或,这里、不全为零．…〔8分院系负责人签字〔2由于有三个线性无关的特征向量,故可以对角化．…〔3分取,则…〔7分注：也可以指出是实对称阵,故可以对角化．另外注意正交矩阵的取法不唯一．四、〔1证明〔方法1由于,只需证明线性无关：设,令,得,又对等式两边求导后令,得,再求二阶导数,…,求阶导数,分别得到,于是是的一组基；…〔5分〔方法2已知是的一组基,求出中的矩阵,只需说明可逆,便得结论；〔方法3由数学分析中的泰勒定理可知,对于,都有又已知,故是的一组基．〔2所求过渡矩阵为．…〔10分五、证明〔1设A〔,则由A2A推出A２,从而,即得,于是或１；…〔6分〔2对,由AA,注意到AA,因此AA-1,于是AA-1,即得AA-1；…〔3分设AA-1,则,A,且A,推出A２,即得A,于是AA-1,故AA-1．…〔6分六、证明设,由于,,故由,得,…〔5分而,所以,于是,．因此线性无关．…〔8分七、证明〔1因为,所以．…〔1分设,由,得．…〔3分又设,,由,得,因此是的一个子空间；…〔5分〔2当为主对角元两两互异的对角矩阵时,与可换的矩阵也一定是对角矩阵,即是由所有对角矩阵作成的子空间,因此的一组基可取为,故．…〔10分八、证明〔1若,则有,于是,则；…〔5分〔2设,则,从而,即,,因此有．…〔2分设,则,对,设,则,于是有,即．故．…〔5分试题八〔共12分叙述下列概念或命题：〔1线性相关；〔2极大线性无关组；〔3行列式按一行〔列展开定理.答：〔1向量组称为线性相关,如果有数域中不全为零的数,使.注对如下定义也视为正确：如果向量组〔中有一个向量可由其余的向量线性表出,那么向量组称为线性相关的.〔2一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添加一个向量〔如果还有的话,所得的部分向量组都线性相关.注对如下定义也视为正确：向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,是指：〔ⅰ线性无关；〔ⅱ可由线性表出.〔3行列式等于某一行〔列的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.注用公式写出按行〔或列展开定理亦可.判断题：〔在括号里打"√"或"×",共20分1．．〔×2．若向量组〔线性相关,则其中每个向量都是其余向量的线性组合．〔×3．在全部〔级排列中,奇排列的个数为．〔√4．若排列为奇排列,则排列为偶排列．〔×5．若矩阵的秩是,则的所有高于级的子式〔如果有的话全为零．〔√6．若一组向量线性相关,则至少有两个向量的分量成比例．〔×7．当线性方程组无解时,它的导出组也无解．〔×8．对个未知量个方程的线性方程组,当它的系数行列式等于0时,方程组一定无解．〔×9．等价向量组的秩相等．〔√10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的解．〔√三、〔共18分计算行列式〔1解原式．注用其它方法计算出结果的给满分,方确而计算错误的,酌情给分．〔2解将所有列加到第1列上,则第1列与第4列成比例,故原式．注本题也可以从第4行提取公因子,然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行,把第4行化为元素全为零,故原式．〔3〔．解原式．注本题也可按最后一列〔或行展开,得递推式：,答案正确给满分,有正确的递推式但结果有误,给3分．另外对按第一行〔或列展开者类似给分．四、设向量组,,,,．试求向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出．〔10分解…………〔5分故向量组的秩为3,是一个极大线性无关组,并且…………〔8分,．…………〔10分注本题关于极大线性无关组答案中,除不能构成极大线性无关组外,任何三个向量都是极大线性无关组,对其它方法求出极大线性无关组,但未得到线性表出式的给5分．五、讨论取什么值时下列线性方程组有解,并求解．〔10分解方程组的增广矩阵为,系数行列式为……〔2分当且时,方程有唯一解,此时…………〔3分,故得解为；…………〔5分〔2当时,增广矩阵,无解；…………〔7分〔3当时,增广矩阵,有无穷多组解,通解为〔为自由未知量,或表成．……〔10分注本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论．对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者,各扣2分．六、证明题：〔每小题10分,共30分1．证明：如果向量组线性无关,而线性相关,则向量可以由线性表示,且表示法唯一．〔10分．证明〔1由线性相关,存在不全为零的数,使…………〔2分又由线性无关,得〔否则,线性相关,矛盾…………〔4分于是,；…………〔5分〔2设,,则,即,由于线性无关,故,即〔．…………〔10分2．证明：若向量线性无关,则也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．证明设,即,…………〔2分由于线性无关,故有解之得,…………〔5分故也线性无关．…………〔6分对4个向量的情形其相应结论不成立,因为,由4个向量线性无关,并不能得到向量线性无关的结论．注1由知,是线性相关的,对该问题未说明原因的,只要结论正确给满分；注2如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的,必须说明是指如下结论:若4个向量线性无关,则向量也线性无关．该答案也给满分,但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分．3．设是数域中个互不相同的数,是数域中任一组给定的数．求证：〔1存在唯一的数域上的次数不超过的多项式,使,；〔2特别的,求出使,成立的次的多项式．证明〔1将,,代入,得…………〔2分由于系数行列式,…………〔4分故线性方程组有且仅有唯一解,即存在唯一的数域上的次数不超过的多项式,使,；…………〔5分〔2由克莱姆定理,,,,故使,成立的次的多项式为．…………〔10分注对〔2不用克莱姆定理,而直接观察出的也给满分．七、〔附加题证明或否定如下结论：若三个向量两两线性无关,则线性无关．并说明在三维几何空间中的意义．〔10分解本结论的几何描述是：三个矢量〔向量两两不共线,则它们不共面．………〔5分很明显该结论是错误的,例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量,但它们共面．………〔10分注否定上述结论时,也可构造反例,如等,或构造三个二维向量,使它们两两线性无关．试题十及答案判断题：〔每小题2分,共30分,在括号里打"√"或"×"零多项式的次数为零．〔×零多项式与的最大公因式为．〔√设且,使得,则为与的一个最大公因式．〔×４．零次多项式能整除任一多项式．〔√5．若,但不整除,则不整除．〔√6．设,但,则．〔×７．若是的导数的重根,则为的重根．〔×８．设,、为数域,如果在中与互素,则在中与也互素．〔√９．若,且,则．〔×10．若在数域上不可约,则在上没有根．〔×11．设,如果无有理根,则在上不可约．〔×12．若,则或．〔×13．设是不可约多项式,如果,则与有且仅有一个为零次多项式．〔√14．设,且,则．〔√15．次实系数多项式的实根个数的奇偶性与的奇偶性相同．〔√二、填空题：〔每小题2分,共10分１．若,则-3,3,-1．２．若,均为上的不可约多项式,且,则与的关系是．３．若是的重根,则-5．４．用除所得的余数-18．5．已知为的一个根,那么的其余根是1,1-2i．三、计算题：〔8分求的根和标准分解式．解2．〔10分为何值时,有重根．解因为,作辗转相除法,要使有重根,则必须,,若,则；,由于,当,即时．故当或时,有重根．3．〔12分设,．〔1用辗转相除法求．〔2求,使．答案〔1；〔2回代得：,故取,,使．四、证明题：〔每小题10分,共30分1．设,证明：〔1在上不可约；〔2至少有一个实根,但不是有理根．证明〔1令,则,取,由Eisenstein判别法知,在上不可约,从而在上不可约；注也可利用反证法证之：若可约,则能分解成两个次数低的整系数多项式之积,或为1次与4次多项式之积,或为2次与3次多项式之积,都能推出矛盾,这里从略．〔2因为是奇次的,则必有一个实根,此根若是有理根,则在上可约,矛盾．注奇次多项式有实根可由数学分析中连续函数的介值定理证得,或将在实数域上作标准分解,由于实数域上的不可约因式只有一次因式与二次不可约因式,故奇次多项式一定有一次因式,因此必有一个实根．另外,对没有有理根的结论,可以对其所有可能的有理根进行直接检验得知．2．设不全为零,证明．证明设,,由,又为与的最大公因式,故；反之,由,,又为与的最大公因式,故．又、均为首1多项式,从而．3．若整系数多项式有根,这里,则,．证明因为的根,则,为整系数多项式．由,即,,又,故有；由,得,同理可得．注可以由,得,,由于是本原多项式,故为整系数多项式,,,因此有,．试题十一及答案一、判断题〔在括号里打"√"或"×",每小题2分,共20分１．若向量组与向量组都线性无关,则,也线性无关；〔×2．维线性空间中任何个线性无关的向量都是的一组基；〔√3．对维线性空间中任何非零向量,在中一定存在个向量,使得作成的一组基；〔√4．三个子空间的和为直和的充要条件是；〔×5．把复数域看成实数域上的线性空间,它与是同构的；〔√6．线性空间的两组基到的过渡矩阵是可逆的；〔√7．的任意两个子空间的交与并都是的子空间；〔×8．集合作成的子空间；〔×9．实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负；〔×10．设元实二次型的正负惯性指数分别为,则必有．〔√二、填空题〔每小题2分,共20分1．如果,,,则．2．两个有限维线性空间、同构的充分必要条件是．3．两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等．4．设实二次型的秩为,负惯性指数为,符号差为,则、、的关系是．5．级实对称矩阵的所有可能的规型是：.6．设基到基的过渡矩阵是,而基到基的过渡矩阵是,则到的过渡矩阵是．7．已知为线性空间的三个线性无关的向量,则子空间的维数为3．8．若,则．9．设三维线性空间的基到的过渡矩阵为,向量在基下的坐标为,在在基下的坐标为．10．元实二次型正定的充分必要条件是常数满足．三、简述下列定义〔共12分1．级矩阵、合同：如果存在可逆矩阵,使得2．子空间的和3．生成子空间4．子空间的直和：中每个向量的分解式〔是唯一的．四、〔10分设可由线性表出,但不能由线性表出,证明：．证明只需证明向量组与等价：易知可由与线性表示,另一方面,由于可由线性表出,故有,且,〔否则可线性表出,矛盾,于是,因而可由线性表出,故向量组与等价,最后不难得到结论．五、〔1讨论：取什么值时,二次型是正定的．〔2证明当时,上述二次型是半正定的．〔共14分解〔1二次型可化为,它对应的矩阵是由二次型是正定的它的矩阵的所有顺序主子式全大于零,可得到,,,它等价于,即二次型是正定的．〔2当时,二次型可化为,故二次型是半正定的．注对〔2还可以用求二次型标准型的方法得到结论,求得它的正惯性指数为2,负正惯性指数为0．六、设、是两个固定的级矩阵,证明：〔1是的一个子空间；〔2当是主对角元两两互异的对角矩阵时,是什么样的子空间,并求的维数及一组基〔可以只写结果,不必说明理由．〔共14分解〔1因为,故,对,即,,得,于是,设,又由,得到,因此的一个子空间；〔2是所有级对角矩阵作成的子空间,它的一组基可取为,．七、设,,,〔1分别写出生成子空间与的基和维数；〔2求的一组基和维数；〔3求的维数．〔共15分解〔1为的一组基,为的一组基,它们的维数都为2；〔2由,的一组基可取为,故它的维数为3；〔3注意到,由维数公式即得的维数．八、补充题〔共15分,本题得分可以计入总分设表示数域上次数小于的多项式及零多项式作成的线性空间,．〔1验证是的一个子空间；〔2求的一组基及维数；〔3记,则也是数域上的一个子空间,试证明：．证明〔1因为,所以,设,,则,且,因此,,故,,即是的一个子空间；〔2对,一定可以表成形式〔若,则,即得,注意到都属于,且线性无关,它们构成了的一组基,；〔3是一个一维子空间,1为它的一组基,由〔式即得,故,又,故．注对〔2式也可以用数学分析中Taylor公式得到〔；对〔3也可以设,则,比较两端次数得,即,从而,即为直和．试题十二试题十二题号一二三四五六七八九十总分得分一．〔24分计算下列一．〔24分计算下列阶行列式：1．；2．〔．3．二．〔10分试讨论二．〔10分试讨论取什么值时,元二次型是正定的？三．〔10分设．〔1证明：；〔2求．四．〔16分设的线性变换在标准基下的矩阵为．〔1求的特征值和特征向量；〔2求的一组标准正交基,使在此基下的矩阵为对角矩阵．五．〔15分证明：若向量线性无关,则也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．六．〔15分设六．〔15分设,证明：〔1在上不可约；〔2至少有一个实根,但不是有理根．七．〔10分设是两个给定的级矩阵,记证明：〔1是线性空间的一个子空间；〔2若,且,则．试题十二评分标准一．1．解将所有列加到第1列上,则第1列与第4列成比例,故原式．…………〔8分注本题也可以从第4行提取公因子,然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行,把第4行化为元素全为零,故原式．2．解原式．…………〔8分注本题也可按最后一列〔或行展开,得递推式：,答案正确给满分,有正确的递推式但结果有误,给3分．另外对按第一行〔或列展开者类似给分．3．解行列式按第1行展开,然后接着对其中一个阶行列式再次展开,得,因此,．…………〔8分注对一般二阶线性递推数列,可考虑特征方程的两个根,则递推数列化为,就能求出的通项,更一般的结论参考《组合数学》中方法．二．解〔方法1此二次型对应的矩阵为,当且仅当它的阶顺序主子式,即时二次型正定。…………〔10分〔方法2配方法：二次型化为,当且仅当时,二次型是正定的。〔方法3,,,当且仅当时,二次型是正定的。三．解〔1当可以直接验证,对作归纳,用数学归纳法即得〔略；…………〔5分〔2．…………〔5分注由于矩阵的特征多项式,由凯莱-哈密尔顿定理,得到,即,故知时成立；另外注意到,作带余除法：在上式中分别令,,以及对上式求导并令,得到,解之得,,故．四．解,所以的特征值,．…………〔4分对,齐次线性方程组的基础解系为,故对应的特征向量,〔；…………〔6分对,齐次线性方程组的基础解系为,故对应的特征向量为,〔、且不全为0．…………〔8分〔2用施密特方法将标准正交化后即为所求基〔略．…………〔8分五．证明设,即,…………〔3分由于线性无关,故有解之得,…………〔7分故也线性无关．…………〔8分对4个向量的情形其相应结论不成立,因为,由4个向量线性无关,并不能得到向量线性无关的结论．…………〔15分注1由知,是线性相关的,对该问题未说明原因的,只要结论正确给满分；注2如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的,必须说明是指如下结论:若4个向量线性无关,则向量也线性无关．该答案也给满分,但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分．六．证明〔1令,则,取,由Eisenstein判别法知,在上不可约,从而在上不可约；…………〔8分注也可利用反证法证之：若可约,则能分解成两个次数低的整系数多项式之积,或为1次与4次多项式之积,或为2次与3次多项式之积,都能推出矛盾,这里从略．〔2因为是奇次的,则必有一个实根,此根若是有理根,则在上可约,矛盾．…………〔7分注奇次多项式有实根可由数学分析中连续函数的介值定理证得,或将在实数域上作标准分解,由于实数域上的不可约因式只有一次因式与二次不可约因式,故奇次多项式一定有一次因式,因此必有一个实根．另外,对没有有理根的结论,可以对其所有可能的有理根进行直接检验得知．七．证明〔1…………〔1分对,,即,…………〔2分有,,所以,,故是线性空间的一个子空间…………〔5分〔2当时,,由于可逆,故得…………〔5分试题十三题号一二三四五六七八九十总分得分一、填空题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分。把答案填在横线上。设列向量与都是线性空间的一组基,记级矩阵,,则由基到的过渡矩阵是；2．设数域上三维线性空间的线性变换A在基下的矩阵是则A在基下的矩阵是；3．设是维线性空间的子空间,关于子空间的维数公式是4．数域上的一次多项式与互素的充要条件是；5．行列式；6．齐次线性方程组有非零解的充要条件是；7．设线性无关,则常数满足条件时,向量组线性无关；8．如果级矩阵、及级单位矩阵满足,则表成矩阵的多项式是；9．若,则分别为；10．设,且可逆．若,则．二、选择题：本大题共5个小题,每小题3分,共15分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号。1．设4级矩阵与相似,的特征值是1,2,3,4,则的行列式是〔〔A-24；〔B10；〔C24；〔D不能确定2．下列的子集中是的子空间的为〔〔A；〔B；〔C；〔D3．设是线性空间的三个线性无关的向量,记,,,则子空间〔〔A；〔B；〔C空集；〔D零子空间4．设矩阵～,～,则下列命题正确的是〔〔A～；〔B～；〔C～,～；〔D以上结论都不对5．设A是数域上偶数维线性空间上的线性变换,那么A与A具有相同的〔〔A特征值；〔B行列式；〔C特征多项式；〔D在同一基下的矩阵三、设是两个给定的级矩阵,记证明：〔1是线性空间的一个子空间；〔2若,且,则．〔8分四、试讨论取什么值时,元二次型是正定的？〔8分五、设表示实数域上的次数小于3的多项式,再添上零多项式构成的线性空间,而,,是的一组基,线性变换A满足A,A,A〔1求A在已知基下的矩阵；〔2设,求A．〔8分六、设是一个实二次型,若有实维列向量,使,证明：必存在实维列向量,使．〔7分七、设A是二维列向量空间的线性变换：设,定义A．〔1求值域A的基与维数；〔2求核A的基与维数；〔3求证：AA．〔8分八、设阶方阵和满足,证明：〔1不是的特征值；〔2若相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵,使得与都是对角矩阵．〔8分九、设A是维线性空间上的线性变换．若A,,则〔1存在个向量,使AAA线性无关；〔2存在的一个非恒等线性变换B,使得BAA．〔8分试题十四及参考答案一、判断题〔在括号里打"√"或"×",每小题1.5分,共30分1．维线性空间中任何个向量都线性相关；〔√2．同一组基下的不同线性变换的矩阵一定是相似的；〔×3．任意两个子空间、的并集仍是子空间；〔×4．子空间、的和为直和〔这里表示空集；〔×5．相似矩阵具有相同的特征值、相同