高等数学上册总复习

./高等数学上册知识点函数与极限函数函数定义及性质〔有界性、单调性、奇偶性、周期性；反函数、复合函数、函数的运算；初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；函数的连续性与间断点；函数在连续第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.极限定义数列极限函数极限左极限：右极限：极限存在准则夹逼准则：12单调有界准则：单调有界数列必有极限.无穷小〔大量定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量.无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小Th1;Th2〔无穷小代换求极限的方法单调有界准则；夹逼准则；极限运算准则及函数连续性；两个重要极限：b>无穷小代换：〔〔〔导数与微分导数定义：左导数：右导数：函数在点可导几何意义：为曲线在点处的切线的斜率.可导与连续的关系：求导的方法导数定义；基本公式；四则运算；复合函数求导〔链式法则；隐函数求导数；参数方程求导；对数求导法.高阶导数定义：Leibniz公式：微分定义：,其中与无关.可微与可导的关系：可微可导,且微分中值定理与导数的应用中值定理Rolle定理：若函数满足：1；2；3；则.Lagrange中值定理：若函数满足：1；2；则.Cauchy中值定理：若函数满足：1；2；3则洛必达法则Taylor公式单调性及极值单调性判别法：,,则若,则单调增加；则若,则单调减少.极值及其判定定理：必要条件：在可导,若为的极值点,则.第一充分条件：在的邻域可导,且,则①若当时,,当时,,则为极大值点；②若当时,,当时,,则为极小值点；③若在的两侧不变号,则不是极值点.第二充分条件：在处二阶可导,且,,则①若,则为极大值点；②若,则为极小值点.凹凸性及其判断,拐点1在区间I上连续,若,则称在区间I上的图形是凹的；若,则称在区间I上的图形是凸的.2判定定理：在上连续,在上有一阶、二阶导数,则a>若,则在上的图形是凹的；b>若,则在上的图形是凸的.3拐点：设在区间I上连续,是的点,如果曲线经过点时,曲线的凹凸性改变了,则称点为曲线的拐点.不等式证明利用微分中值定理；利用函数单调性；利用极值〔最值.方程根的讨论连续函数的介值定理；Rolle定理；函数的单调性；极值、最值；凹凸性.渐近线铅直渐近线：,则为一条铅直渐近线；水平渐近线：,则为一条水平渐近线；斜渐近线：存在,则为一条斜渐近线.图形描绘不定积分概念和性质原函数：在区间I上,若函数可导,且,则称为的一个原函数.不定积分：在区间I上,函数的带有任意常数的原函数称为在区间I上的不定积分.基本积分表〔P188,13个公式；性质〔线性性.换元积分法第一类换元法〔凑微分：第二类换元法〔变量代换：分部积分法：有理函数积分1、"拆"；2、变量代换〔三角代换、倒代换、根式代换等.定积分概念与性质：定义：性质：〔7条性质7〔积分中值定理函数在区间上连续,则,使〔平均值：微积分基本公式〔N—L公式变上限积分：设,则推广：N—L公式：若为的一个原函数,则换元法和分部积分换元法：分部积分法：反常积分无穷积分：瑕积分：〔a为瑕点〔b为瑕点两个重要的反常积分：1>2>定积分的应用平面图形的面积直角坐标：极坐标：体积旋转体体积：a>曲边梯形轴,绕轴旋转而成的旋转体的体积：b>曲边梯形轴,绕轴旋转而成的旋转体的体积：〔柱壳法平行截面面积已知的立体：弧长直角坐标：参数方程：极坐标：微分方程概念微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.变量可分离的方程,两边积分齐次型方程,设,则；或,设,则一阶线性微分方程用常数变易法或用公式：可降阶的高阶微分方程1、,两边积分次；2、〔不显含有,令,则；3、〔不显含有,令,则线性微分方程解的结构1、是齐次线性方程的解,则也是；2、是齐次线性方程的线性无关的特解,则是方程的通解；3、为非齐次方程的通解,其中为