◇辅助线-对称和平移变换√

./对称变换、平移变换一、对称变换：对称变换是几何变换中的基本变换之一,利用轴对称变换作对称点,是我们研究"最短路线"的常用方法。有利于把折线转化到同一直线上研究。典型例题：例1.如图,在△ABC中,∠C＝90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC＝6,NC＝,则四边形MABN的面积是[]A．B．C．D．例2.如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．例3.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为[] A． 1 B． C．2 D．＋1例4.如图,四边形ABCD中,∠BAD＝120°,∠B＝∠D＝90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN＋∠ANM的度数为[]A．130°B．120°C．110°D．100°例5.如图,正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点,点P是对角线AC上一动点,则PE+PB的最小值为．二、平移变换：平移变换是几何变换中的基本变换之一,平移变换是使图形上的点沿同一方向平移同一距离得到新的图形。平移变换前后的图形具有如下性质：〔1对应线段平行且相等；〔2对应角的两边平行且方向一致。典型例题：例1.如图,∠APB=300,圆心在边PB上的⊙O半径为1cm,OP=3cm,若⊙O沿BP方向移动,当⊙O与PA相切时,圆心O移动的距离为cm.例2.如图,有a、b、c三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列,则三户所用电线[] A． a户最长B．b户最长 C．c户最长 D． 三户一样长例3.如图：矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为．例4.如图,在等腰梯形ABCD中,ABDC,AB=3,DC=,高CE=2,对角线AC、BD交于H,平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移,分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q,分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时,两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2,若直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x秒．〔1填空：∠AHB=；AC=；〔2若S2=3S1,求x；〔3设S2=mS1,求m的变化围．对称变换、平移变换一、对称变换：对称变换是几何变换中的基本变换之一,利用轴对称变换作对称点,是我们研究"最短路线"的常用方法。有利于把折线转化到同一直线上研究。典型例题：例1.如图,在△ABC中,∠C＝90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC＝6,NC＝,则四边形MABN的面积是[]A．B．C．D．[分析]连接CD,交MN于E,∵将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,∴MN⊥CD,且CE=DE。∴CD=2CE。∵MN∥AB,∴CD⊥AB。∴△CMN∽△CAB。∴。∵在△CMN中,∠C=90°,MC=6,NC=,∴∴。∴。故选C。例2.如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为▲cm．[分析]如图,圆柱形玻璃杯展开〔沿点A竖直剖开后侧面是一个长18宽12的矩形,作点A关于杯上沿MN的对称点B,连接BC交MN于点P,连接BM,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,且AP=BP。由已知和矩形的性质,得DC=9,BD=12。在Rt△BCD中,由勾股定理得。∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。例3.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为[] A． 1 B． C．2 D．＋1[分析]分两步分析：〔1若点P,Q固定,此时点K的位置：如图,作点P关于BD的对称点P1,连接P1Q,交BD于点K1。由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质,得P1K1=PK1,P1K=PK。由三角形两边之和大于第三边的性质,得P1K＋QK＞P1Q=P1K1＋QK1=PK1＋QK1。∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。〔2点P,Q变动,根据菱形的性质,点P关于BD的对称点P1在AB上,即不论点P在BC上任一点,点P1总在AB上。因此,根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质,得,当P1Q⊥AB时P1Q最短。过点A作AQ1⊥DC于点Q1。∵∠A=120°,∴∠DAQ1=30°。又∵AD=AB=2,∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。综上所述,PK+QK的最小值为。故选B。例4.如图,四边形ABCD中,∠BAD＝120°,∠B＝∠D＝90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN＋∠ANM的度数为[]A．130°B．120°C．110°D．100°例5.如图,正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点,点P是对角线AC上一动点,则PE+PB的最小值为．[分析]连接DE,交BD于点P,连接BD。∵点B与点D关于AC对称,∴DE的长即为PE+PB的最小值。∵AB=4,E是BC的中点,∴CE=2。在Rt△CDE中,。二、平移变换：平移变换是几何变换中的基本变换之一,平移变换是使图形上的点沿同一方向平移同一距离得到新的图形。平移变换前后的图形具有如下性质：〔1对应线段平行且相等；〔2对应角的两边平行且方向一致。典型例题：例1.如图,∠APB=300,圆心在边PB上的⊙O半径为1cm,OP=3cm,若⊙O沿BP方向移动,当⊙O与PA相切时,圆心O移动的距离为cm.[分析]如图,设⊙O移动到⊙O1,⊙O2位置时与PA相切。当⊙O移动到⊙O1时,∠O1DP=900。∵∠APB=300,O1D=1,∴PO1=2。∵OP=3,∴OO1=1。当⊙O移动到⊙O2时,∠O2EP=900。∵∠APB=300,O2D=1,∴∠O2PE=300,PO2=2。∵OP=3,∴OO1=5。综上所述,当⊙O与PA相切时,圆心O移动的距离为1cm或5cm。例2.如图,有a、b、c三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列,则三户所用电线[] A． a户最长B．b户最长 C．c户最长 D． 三户一样长[分析]根据平移的性质,对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行平移,便可直观观察到都是相等的。因此abc三线长度相等。故选D。例3.如图：矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为．[分析]由勾股定理,得AB=,将五个小矩形的所有上边平移至AD,所有下边平移至BC,所有左边平移至AB,所有右边平移至CD,∴五个小矩形的周长之和=2〔AB+CD=2×〔6+8=28。例4.如图,在等腰梯形ABCD中,ABDC,AB=3,DC=,高CE=2,对角线AC、BD交于H,平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移,分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q,分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时,两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2,若直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x秒．〔1填空：∠AHB=；AC=；〔2若S2=3S1,求x；〔3设S2=mS1,求m的变化围．解：〔190°；4。〔2直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2。①当0＜x＜时,∵MN∥BD,∴△AMN∽△ARQ。∵直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,∴△AMN和△ARQ的相似比为1：2。∴。∴S2=4S1,与题设S2=3S1矛盾。∴当0＜x＜时,不存在x使S2=3S1。②当≤x≤2时,∵AB∥CD,∴△ABH∽△CDH。∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。∴CH=DH=AC=1,AH═BH=4﹣1=3。∵CG=4﹣2x,AC⊥BD,∴S△BCD=×4×1=2∵RQ∥BD,∴△CRQ∽△CDB。∴。又,∵MN∥BD,∴△AMN∽△ADB。∴,∴S1=x2,S2=8﹣8〔2﹣x2。∵S2=3S1,∴8﹣8〔2﹣x2=3·x2,解得：x1=〔舍去,x2=2。∴x的值为2。〔3由〔2得：当0＜x＜时,m=4,当≤x≤2时,∵S2=mS1,∴。∴m是的二次函数,当≤x≤2时,即当时,m随的增大而增大,∴当x=时,m最大,最大值为4；当x=2时,m最小,最小值为3。∴m的变化围为：3≤m≤4。配套练习练习题：1.点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点,Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点,则＝．2.如图,MN为⊙O的直径,A、B是O上的两点,过A作AC⊥MN于点C,过B作BD⊥MN于点D,P为DC上的任意一点,若MN＝20,AC＝8,BD＝6,则PA＋PB的最小值是。3.在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题。如图〔1,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试,能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线〔图〔2,问题就转化为,要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P,则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边的中点,BC=6,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使△PDE得周长最小．〔1在图中作出点P〔保留作图痕迹,不写作法．〔2请直接写出△PDE周长的最小值：．4.如图,在平面直角坐标系中,有A<1,2>,B<3,3>两点,现另取一点C<a,1>,当a＝时,AC＋BC的值最小．5.去冬今春,市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧村A和村B送水。经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大桥O为坐标原点,以河道所在的直线为轴建立直角坐标系〔如图。两村的坐标分别为A〔2,3,B〔12,7。<1>若从节约经费考虑,水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？<2>水泵站建在距离大桥O多远的地方,可使它到村、村的距离相等？练习题：1.如图：矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为[]A、14B、16C、20D、282.等腰梯形的上底是2cm,腰长是4cm,一个底角是60°,则等腰梯形的下底是[] A、5cm B、6cm C、7cm D、8cm3.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC⊥BD于点O,过点A作AE⊥BC于点E,若BC=2AD=8,则tan∠ABE=。4.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD∶BC＝1∶2,AE⊥BC,垂足为E,连结BD交