高中数学空间几何体的表面积与体积知识总结+练习

./空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积知识框架知识框架高考要求高考要求空间几何体的表面积与体积要求层次重难点球、棱柱、棱锥的表面积和体积A了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式〔不要求记忆公式．例题精讲例题精讲板块一：空间几何体的表面积板块一：空间几何体的表面积〔一知识容1．直棱柱与圆柱的侧面积等于它的底面周长和高〔母线的乘积．,其中为底面的周长,为直棱柱〔圆柱的高,也即侧棱〔母线长；2．正棱锥〔圆锥的侧面积等于它的底面周长和斜高〔母线乘积的一半．,其中为底面边长,为斜高；,其中为底面周长,为圆锥的底面半径,为母线长；3．正棱台〔圆台的侧面积等于它的上下底面周长之和与斜高〔母线乘积的一半．,其中分别是正棱台上下底面的边长,为斜高；,其中分别是圆台上下底面的半径,为母线长；4．球面面积等于它的大圆面积的四倍,,为球的半径．1．除了球面,这里提到的其它几何体的表面都可以展开,侧面积公式和表面积公式可以直接推导出来．2．要提醒学生注意空间与平面问题的转化,对这几种几何体的侧面展开图,轴截面的图等有个比较清晰的印象,在计算时能灵活转化．5．柱体〔棱柱,圆柱体积公式：,其中为底面积,为高；6．棱体〔棱锥,圆锥的体积公式：,其中为底面积,为高；7．台体〔棱台,圆台的体积公式：,其中分别是台体上,下底面的面积,为台体的高；8．球的体积：,为球的半径．对柱体与锥体体积公式的推导,课本上是以长方体的体积公式为基础的,根据祖暅原理得到的．祖暅原理：幂势相同,则积不容异．即夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体体积相等．祖暅提出的"幂势既同,则积不容异",及"体积之比等于对应截面积之比",在这里是当作公理使用．提法"幂势既同,则积不容异",在西方通常叫做"卡瓦列利原理"．卡瓦列利在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理,这本书出版于1635年．课本对柱体和锥体体积公式的推导过程：⑴长方体的体积；⑵利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等,故柱体的体积为：；⑶利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；⑷三棱柱可以分割成三个体积相等的锥,故锥体的体积为；⑸利用两个锥体做差可得台体的体积公式．〔二典例分析：轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱．已知：等边圆柱的底面半径为r,求全面积．轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥．已知：等边圆锥底面半径为r,求全面积．已知圆台的上下底面半径分别是、,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长．底面是菱形的直棱柱,它的对角线的长分别是9和15,高是5,求这个棱柱的侧面积．侧面都是直角三角形的正三棱锥,若底面边长为,则三棱锥的全面积是多少？侧面都是直角三角形的正三棱锥,若底面边长为,则三棱锥的全面积是多少？平面截球得到半径是的圆面,球心到这个平面的距离是,则该球的表面积是〔A．B．C．D．正方体全面积为,求它的外接球和切球的表面积．将一个边长为和的矩形纸片卷成一个圆柱,则圆柱的底面半径为．正四棱台的斜高为4,侧棱长为5,侧面积为64,求棱台上、下底的边长．正四棱台的斜高为,侧棱长为,侧面积为,求棱台上、下底的边长．正三棱台中,已知,棱台的侧面积为,分别为上、下底面正三角形的中心,为棱台的斜高,,求上底面的边长．过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为〔A．B．C．D．棱长为的正方体的个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为〔A．B．C．D．如图所示,半径为的半圆的阴影部分以直径所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积〔其中．圆锥的侧面展开图是半径为的半圆面,求圆锥的母线与轴的夹角的大小,轴截面的面积．圆台的上下底面半径分别是、,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长．圆台的切球半径为,且圆台的全面积和球面积之比为,求圆台的上,下底面半径〔．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,且这个圆锥的体积为．求圆锥的表面积．有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则的取值围是．若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是．正四面体棱长为,求其外接球和切球的表面积．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为．直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,则此球的表面积等于．若,两点在半径为2的球面上,且以线段为直径的小圆周长为,则此球的表面积为___________,,两点间的球面距离为__________．已知球的表面积为,球面上有、、三点．如果,,则球心到平面的距离为〔A．B．C．D．球面上有三点,,组成这个球的一个截面的接三角形三个顶点,已知球的半径为,且,两点的球面距离为,,两点及,两点的球面距离均为,球心到这个截面的距离为,求球的表面积．设圆锥的底面半径为,高为,求：⑴接正方体的棱长；⑵切球的表面积．如图,正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上,点在球面上,如果,则球的表面积是〔A．B．C．D．一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：=1\*GB3①单向倾斜；=2\*GB3②双向倾斜；=3\*GB3③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为、、．若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则〔A． B． C． D．右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是〔A．B．C．D．已知正四面体的表面积为,其四个面的中心分别为、、、,设四面体的表面积为,则等于〔A． B． C． D．已知球的表面积为,球面上有、、三点．如果,则球心到平面的距离为〔A．1 B． C． D．2已知球的表面积为,球面上有、、三点．如果,则球心到平面的距离为〔A．1 B． C． D．2棱长为1的正方体被以为球心,为半径的球相截,则被截形体的表面积为〔A．B．C．D．棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正三角形,俯视图是直径为的圆,如图,则此几何体的外接球的表面积为．右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是________．若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为〔A． B．C． D．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为．如图,在四面体中,截面经过四面体的切球〔与四个面都相切的球球心,且与,分别截于、,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥与三棱锥的表面积分别是,,则必有〔A．B．C．D．的大小关系不能确定如图,在四面体中,截面经过四面体的切球〔与四个面都相切的球球心,且与,分别截于、,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥与三棱锥的表面积分别是,,则必有〔A．B．C．D．,的大小关系不能确定板块二：空间几何体的体积板块二：空间几何体的体积〔一知识容1．柱体〔棱柱,圆柱体积公式：,其中为底面积,为高；2．棱体〔棱锥,圆锥的体积公式：,其中为底面积,为高；3．台体〔棱台,圆台的体积公式：,其中分别是台体上,下底面的面积,为台体的高；4．球的体积：,为球的半径．对柱体与锥体体积公式的推导,课本上是以长方体的体积公式为基础的,根据祖暅原理得到的．祖暅原理：幂势相同,则积不容异．即夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体体积相等．祖暅提出的"幂势既同,则积不容异",及"体积之比等于对应截面积之比",在这里是当作公理使用．提法"幂势既同,则积不容异",在西方通常叫做"卡瓦列利原理"．卡瓦列利在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理,这本书出版于1635年．课本对柱体和锥体体积公式的推导过程：⑴长方体的体积；⑵利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等,故柱体的体积为：；⑶利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；⑷三棱柱可以分割成三个体积相等的锥,故锥体的体积为；⑸利用两个锥体做差可得台体的体积公式．〔二典例分析：侧棱长与底面边长相等的正三棱锥称为正四面体,则棱长为的正四面体的体积是________；已知正六棱台的上,下底面边长分别为和,高为,则其体积为_______．半球有一个接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆,若正方体棱长为,则球的表面积和体积的比为______．直三棱柱各侧棱和底面边长均为,点是上任意一点,连结,,,,则三棱锥的体积〔A． B． C． D．已知正四棱柱的对角线的长为,且对角线与底面所成角的余弦值为,则该正四棱柱的体积等于．已知三棱台中,,高．⑴求三棱锥的体积⑵求三棱锥的体积⑶求三棱锥的体积正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与底边的夹角为角,则此三棱柱的体积为 〔 A． B． C． D．在体积为的斜三棱柱中,是上的一点,的体积为3,则三棱锥的体积为〔A．1B．C．2D．3直三棱柱各侧棱和底面边长均为,点是上任意一点,连结,,,,则三棱锥的体积〔A．B．C．D．正三棱柱接于半径为的球,若两点的球面距离为,则正三棱柱的体积为．在体积为的球的表面上有三点,,,,两点的球面距离为,则球心到平面的距离为．若三棱柱的一个侧面是边长为的正方形,另外两个侧面都是有一个角为的菱形,则该棱柱的体积等于〔A．B．C．D．平行六面体中,在从点出发的三条棱上分别取其中点,则棱锥的体积与平行六面体体积的比值为________．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径,该正三棱锥的高等于这个球的直径,则球的体积与正三棱锥体积的比值为〔A． B． C．D．如图,在三棱柱中,若,分别为,的中点,平面将三棱柱分成体积为,的两部分,那么．求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．〔等边圆锥是指轴截面是等边三角形的圆锥如图,在四边形中,,,,,,求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积．如图所示,已知等腰梯形的上底,下底,底角,现绕腰旋转一周,求所得的旋转体的体积．在中,,,〔如图所示,若将绕直线旋转一周,则所形成的旋转体的体积是〔A．B．C．D．在体积为的球的表面上有,,三点,,,,两点的球面距离为,则球心到平面的距离为．图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球,求证：在圆柱容球中,球的体积是圆柱体积的,球的表面积也是圆柱全面积的．正四棱锥的底面边长与各侧棱长都为,点、、、、都在同一球面上,则该球的体积为_______．如图,圆锥形封闭容器,高为h,圆锥水面高为若将圆锥倒置后,圆锥水面高为一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器注入水,并放入一个半径为的铁球,这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥取出后,圆锥水平面的高是多少？如图,在四面体中,截面经过四面体的切球〔与四个面都相切的球球心,且与,分别截于、,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥与三棱锥的表面积分别是,,则必有〔A．B．C．D．的大小关系不能确定如图,在长方体中,,,,分别过,的两个平行截面将长方体分成三部分,其体积分别记为,,,若,则截面的面积为．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图〔或称主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图〔或称左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．⑴求该几何体的体积；⑵求该几何体的侧面积．一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,那么这个球的体积为______．如图,将边长为的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器〔如图．当这个正六棱柱容器的底面边长为时,其容积最大．设、、、是球面上的四个点,且在同一平面,,球心到该平面的距离是球半径的一半,则球的体积是〔A．B．C．D．如图所示,正四面体的外接球的体积为,求四面体的体积．已知正三棱锥,一个正三棱柱的上底面三顶点在棱锥的三条侧棱上,下底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为,底面边长为,接正三棱柱的侧面积为．⑴求正三棱柱的高；⑵求正三棱柱的体积；⑶求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比．一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,那么这个球的体积为_________．将半径都为的个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为〔A． B． C． D．如图1,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块,容器盛有升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置,水面也恰好过点〔图2．有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点C．任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点D．若往容器再注入升水,则容器恰好能装满其中真命题的代号是：〔写出所有真命题的代号．⑴给出两块相同的正三角形纸片〔如图1,图2,要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明；⑵试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；⑶如果给出的是一块任意三角形的纸片〔如图3,要求剪拼成一个直三棱柱,使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明．两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长为的正方体,使正四棱锥的底面与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有〔A．个B．个C．个D．无穷多个已知一个全面积为24的正方体,有一个与每条棱都相切的球,此球的体积为．已知正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于〔A．B．C．D．球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于〔A． B．1 C．2 D．3将一个边长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了 〔 A．B．12a2C．18a2 D．直径为10cm的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为2cm的小球,如果不计损耗,可铸成这样的小球的个数为〔A．5 B．15 C．25 D．125一平面截一球得到直径是的圆面,球心到这个平面的距离,求该球的表面积与体积．已知一个球的直径为,一个正方体的棱长为,如果它们的表面积相等,则〔A．且B．且C．且D．且已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是_______．一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为则此球的表面积．已知正三棱锥的侧面积为18cm,高为3cm．求它的体积．如图,在等腰梯形中,,为的中点,将与分别沿向上折起,使重合于点,则三棱锥的外接球的体积〔A． B．C． D．已知正四棱锥底面正方形的边长为,高与斜高的夹角为,求正四棱锥的全面积与体积．将圆心角为,面积为的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积．正三棱柱侧面的一条对角线长为,且与底面成角,求此三棱柱的体积．一平面截一球得到直径是的圆面,球心到这个平面的距离,求该球的表面积与体积．如图,在等腰梯形中,,为的中点,将与分别沿向上折起,使重合于点,则三棱锥的外接球的体积〔A． B．C． D．正六棱锥中,为的中点,则三棱锥与三棱锥体积之比为〔A． B．C． D．如图,体积为的大球有个小球,每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点,个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的个顶点．为小球相交部分〔图中阴影部分的体积,为大球、小球外的图中黑色部分的体积,则下列关系中正确的是〔A．B．C．D．一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为,那么这个球的体积为_________．若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为〔A． B． C． D．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐〔供融化高速公路上的积雪之用,已建的仓库的底面直径为,高．养路处拟建