医学高等数学课件-函数、极限与连续

医学高等数学§1、函数§2、函数的极限§3、函数的连续性第一章函数、极限与连续第一节：函数一、函数的概念二、复合函数与反函数三、函数的几种简单特性四、初等函数本节主要内容有：一、函数的概念引子：常量:在某一变化过程中始终保持同一个数值不变的量称为常量，一般用a，b，c表示。变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量称为变量，一般用x，y，z表示。1.常量与变量2.函数的定义定义：设x、y是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量x的每一个允许的取值，变量y按照一定的规律总有一个确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数.记为：因变量自变量3.定义域、值域定义域：自变量所有允许取值的集合称为函数的定义域。值域：所有函数值的集合称为值域。4.函数的两个要素函数的两个要素DRƒ定义域

对应关系值域函数相同的条件:(1)对应关系;(2)定义域.只有当上述两条件完全相同时,才认为是两个函数相同.6.区间

区间的定义:界于某两个实数a和b(a<b)之间的全体实数被称为一个区间.a,b称为区间的端点。7.邻域定义：以x0为中心,以（

>0）为半径的开区间称为x0的一个邻域,x0

叫做邻域的中心,

叫做邻域的半径.记为U(x0,

)或(x0),即U(x0,

)=(x0-,x0+)例8:(-1,1)是一个开区间,也是0的一个1邻域.|y-y0|<是y0的一个邻域分段函数：当自变量的取值范围不同时，其表达式也不同，这样的函数称为分段函数.如:8.分段函数(1)符号函数几个特殊的分段函数举例1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷(Dirichlet)函数(4)取最值函数yxoyxo1.复合函数注意函数复合后的定义域不能为空.二、复合函数与反函数例：

设

求解显然给出的函数符合复合的条件，因此例题例：

设

求的定义域

为是没有意义的.不满足复合函数定义的条件，从而复合函数有什么特性？?譬如，设函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，那么f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)]的奇偶性如何？（这里假定复合后都是有意义的）答案：f[f(x)]是奇函数，其余均为偶函数.结论：假设外函数和内函数都是奇（或偶）函数，如果至少有一个是偶函数，那么复合函数一定是偶函数，否则就是奇函数.2.反函数

说明：1.原函数的定义域（值域）恰是其反函数的值域（定义域）;2.原函数与反函数的图像是相同的，但由于互换了x和y的位置所以图像就不同了，即：在同一个直角坐标系中是关于y＝x对称的曲线.二、函数的四种简单特性1.函数的有界性；

2.函数的单调性；

3.函数的奇偶性；

4.函数的周期性主要内容1.函数的有界性定义:设函数ƒ(x)的定义域是D,如果存在一个正数M,使对D中某一个子区间I内任意一点x，恒有|ƒ(x)|

M,则称函数ƒ(x)在I上是有界的,如果不存在这样的正数M,则称ƒ(x)在I上是无界的.

注：函数是否有界需指明所考察的区间。命题:函数y=f(x)为有界函数的充要条件是存在两个实数

N

和M,使得对任意的xD,恒有N

f(x)M其中N称为函数的下界,M称为函数的上界,具有下界的函数被称为下方有界函数,具有上界的函数被称为上方有界函数。有界和无界是对立的,非此即彼的；如函数y=1/x在区间(1,+∞)上有界，但是在(0,1)上无界。有界性是相对于一定区间来讲的概念，函数在某一区间上有界，但是在另一区间上可能无界；注意2.函数的单调性若函数y=f(x)的定义域是D，如果在D的某个子区间I中内任取两个值x1和x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),则称该函数在区间I上是单调递增.单调递增函数的图形是沿x轴的正向上升的.如下图所示xyxy若函数y=f(x)的定义域是D，如果在D中的某个子区间I中任意取两个值x1和x2,当x1<x2时,有f(x1)>f(x2),则称该函数在区间I上是单调递减.单调递减函数的图形是沿x轴的正向下降的.如下图所示xyxy单调递增和单调递减函数统称为单调函数例：3.函数的奇偶性奇函数

:对于函数y=f(x)定义域D中的任意一点x(-x∈D),恒有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为D内的奇函数.定义域Ｄ就应该是对称于原点的数集,即当x∈D时,有-x∈D奇函数的图形是关于原点对称的.偶函数

:对于函数y=f(x)定义域D中的任意一点x(-x∈D),恒有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为D上的偶函数.定义域Ｄ就应该对称于原点的数集,即当x∈D时,有-x∈D偶函数的图形是关于y轴对称的.判别函数奇、偶性例：考察函数f(x)=0的奇偶性.结论：奇（偶）函数的定义域是关于原点对称的数集；并非所有函数都具有奇偶性，即存在非奇非偶函数；存在既是奇函数又是偶函数的函数；4.函数的周期性对于函数

y=f(x),xD,如果存在非零常数T,对任意的xD,x+TD,恒有f(x+T)=f(x),则我们称函数f(x)为D上的周期函数.T称为函数y=f(x),xD的周期.1.周期函数的定义域一定是一个无穷区域.2.周期函数的图形在每一个周期中都是相同的形状

.3.通常,周期函数的周期T都是指最小正周期;但是并不是每个函数都有最小正周期.命题：T是函数f(x)的周期,则T/a是f(ax)的一个周期.例子1.y=sinx,x

(-,)是一个以2的周期函数.2.y=tanx,xn±/2是一个以

的周期函数.并非所有的周期函数都有最小正周期！例如函数

(

为常数)及狄利克雷(Dirichlet)函数为有理数为无理数均为周期函数,但没有最小正周期.三、初等函数1.六类基本初等函数1、常数函数y=c（c为常数）2、幂函数y=xa(a≠

0)3、指数函数y=ax(a>0,a≠1)4、对数函数y=logax(a>0,a≠1)5、三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx6、反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,