变权重组合预测模型权系数估计的新算法

变权重组合预测模型权系数估计的新算法

1最优权重组合预测在预测实践中，由于建模机制和起点不同，同一性问题通常有不同的预测方法。将这些不同的预测方法进行适当组合,便可形成所谓组合预测方法。这将有利于综合利用各种方法提供的信息,有利于提高预测精度。近年来,组合预测是预测方法研究中最为活跃的领域之一,已取得了一系列重要的研究成果,但在变权重组合预测方面进展缓慢。文中提出了线形规划和非线形规划的最优权系数估计,但笔者认为在模型约束条件中丢失了x1(t)x2(t)=0(t=1,2,…,n),若加上该条件将使文中提出的优化模型极难求解,文中也有类似的问题,且文均未给出数值例子。文所提出的权重方法,其当前时刻权重大小取决于上一时刻的误差及误差变化率,有一定的主观性和局限性;文对此作了改进,其当前时刻的权重是根据近几个采样周期预测误差绝对平均值的相对指标和滚动的有限时域长度预测误差绝对累计值的相对指标来决定的,但其采样周期、有限时域以及正因子α的取值具有较大的主观性。笔者在文献研究的基础上,对变权组合预测模型的最优权系数进行了估计,并给出数值例子,得到了满意的结果。2改进的变权重系数或权重用文的记法:由m个预测模型f1,f2,…,fm组成的变权组合预测模型,可表示为f(t)=m∑i=1gi(t)fi(t)(1)式中:f(t)为t时刻的变权组合预测值;fi(t)为第i个模型t时刻的预测值;gi(t)为第i个模型t时刻的权系数(或权重)。它满足m∑i=1gi(t)=1t=1,2,⋯,n(2)其中n为已知观测的个数。假设gi(t)为t的连续函数,由于任一连续函数总可以用适当次数的多项式函数来逼近。所以,可以令gi(t)为如下形式的p次多项式,即gi(t)=gi0+gi1t+gi2t2+⋯+giptpi=1,2,⋯,m(3)把(3)式代入(1)式可得f(t)=m∑i=1gi(t)fi(t)=[f1(t),f2(t),⋯,fm(t)][g1(t)g2(t)⋯gm(t)]=[f1(t),f2(t),⋯,fm(t)][g10,g11,⋯,g1pg20,g21,⋯,g2p⋯gm0,gm1,⋯,gmp][t0t1⋯tp](4)≜F(t)GΤ(t)(5)其中,F(t)为m维行向量,G为m×(p+1)矩阵,T(t)为p+1维列向量。3算法3.1.2算法由(5)式F(t)GT(t)=f(t)可知,[F(1)F(2)⋯F(n)]G[Τ(1),Τ(2),⋯,Τ(n)]=[f(1)f(2)*⋱*f(n)]≜Fn×n(6)F的元素Fij表示第i时刻的各预测值与第j时刻对应权重相乘的结果。显然Fii=f(i)(i=1,2,…,n)。记A=[F(1)F(2)⋯F(n)]n×m,B=[Τ(1),Τ(2),⋯,Τ(n)](p+1)×n故(6)式可记为:AGB=F(7)由(7)式知,只要知道某一F矩阵,则由G=A+FB+即可求出G(其中A+表示矩阵A的Moore-Penrose逆),而且根据F的构造还可以得到迭代的解。不妨设A为行满秩阵(事实上,当A的某一行可由其余各行线性表出时,去掉它后不会影响组合结果的),故(7)式变形为:G=(AΤA)-1AΤFB+(8)下面算法3.1即为G矩阵估计的迭代算法:算法3.1Step1:给出初值F(0);给出算法终止阀值ε0;Step2:G(k)=A+F(k)B+;(9)计算W(k)=G(k)B;(10)Step3:由W(k)构造矩阵F(k+1)if|G(k+1)-G(k)|2≤ε0停止;elsegotostep2。算法3.1中,矩阵F(0)定义如下:F(0)ij={f(i)i=j[f1(i)+f2(i)+⋯+fm(i)]/mi≠j(11)F(k+1)的构造如下:F(k+1)ij={f(i)i=j[f1(i),f2(i),⋯,fm(i)]D[w(k)1jw(k)2j⋯w(k)mj]i≠j其中w(k)ij为(9)式确定的矩阵W(k)的元素;其中D矩阵具有以下特点:1)D=DT,dij≥0;2)D的每一行元素之和为1(体现(2)式);3)我们知道,每种预测方法得到的某时刻的预测值都不是孤立存在的,其值与其前一时刻、后一时刻的值有必然的联系,换句话说,当其前一时刻与其后一时刻的值均较大(小)时,该时刻的值也应该比较大(小),所以D对角线元素可以略取大一些,而其前一时刻、后一时刻略取小一些,例如:D=[5/61/61/62/31/6⋱1/62/31/61/65/6](未列出元素均为0)(12)D=[2/31/31/31/31/3⋱1/31/31/31/32/3](未列出元素均为0)(13)当然也可以认为某一时刻的值与其前几个时刻、后几个时刻的值有的联系,从而得到相应的D矩阵。特别地,D=Em时F(k+1)ij=m∑k=1fk(i)w(k)ij.(14)可见,(12)、(13)确定的D矩阵是的Em一种拓展。下面证明算法3.1是收敛的:命题3.1算法3.1为收敛算法。证明(1)先证明矩阵F(k+1)收敛。由F(k+1)的构造可知,当i=j时,F(k+1)ij是固定数,故只需考虑F(k+1)ij(i≠j)即可。当i≠j时,F(k+1)ij(i≠j)可由下述矩阵(F(k+1)1)的非对角元素确定:F(k+1)1=[f1(1)f2(1)⋯fm(1)f1(2)f2(2)⋯fm(2)⋯f1(n)f2(n)⋯fm(n)]D[w(k)11w(k)12⋯w(k)1nw(k)21w(k)22⋯w(k)2n⋯w(k)m1w(k)m2⋯w(k)mn]≜ADW(k)=ADG(k)B=ADA+F(k)1B+B=AD(AΤA)-1AΤF(k)1B+B=AD2(AΤA)-1AΤF(k-1)1(B+B)2=⋯=ADk(AΤA)-1AΤF(1)1(B+B)k=ADk+1(AΤA)-1AΤF(0)(B+B)k+1(15)因为‖D‖2=1,|E-D|=0,故其有一特征根为1,由ρ(A)≤‖A‖2显然知ρ(A)=1.又因为D+Em为严格对角占优阵,故|D+Em|≠0,所以-1不为D的特征根。设D的特征根为λi,-1<λi≤1,λi∈R。又因为D为对称矩阵,故存在一正交矩阵Λ,满足D=Λ[λ1λ2⋱λm]Λ-1,从而有:Dk+1=Λ[λ1k+1λ2k+1⋱λmk+1]Λ-1,limk→∞Dk+1=Λ[1⋱10⋱0]Λ-1(16)同时,由B+BB+=B+可知(B+B)n=B+B,故limk→∞(B+B)k+1=B+B(17)由(15)式F1(k+1)=ADk+1(A+A)-1ATF(0)(B+B)k+1,以及(16)、(17)式可知,limk→F1(k+1)存在。(2)由G(k)=A+F(k)B+可知,G(k)也是收敛矩阵列。所以算法3.1是收敛的。4算法2:ph值对算法预测的影响本文用文的实例,对河南省化工行业专门人才进行研究。文采用三种方法进行预测,得到专门人才的预测值及观测值见表1:下面用固定权系数方法和本文的变权系数方法进行比较研究:用本文方法时,显然m=3,n=13当p=3时,G=[1.652075-6.0268921.398608-0.073831-1.9122936.789216-1.4906710.0766011.361903-0.8303660.102348-0.003194]当p=4时,G=[9.253213-11.3431973.017721-0.2744260.008060-5.5447247.824926-1.8852790.145689-0.003345-2.8121683.652268-1.1780660.134176-0.004922]