基于生命周期的商品广告费用动态研究

基于生命周期的商品广告费用动态研究

0基于最优广告策略的理论分析和模型建立广告是营销的重要组成部分，也是使用最广泛、最有效的促销手段。它在促进市场需求和消费、促进生产和流通以及提高制造和经营公司经济效益方面发挥着重要作用。本文借助于Vidale-Wolfe广告模型所描述的销售与广告的动态变化规律,结合分布参数系统建立微分方程模型来分析和研究在市场供求基本平衡的前提下,商品在不同生命周期阶段为使经营企业的销售利润最大化应该采取的最优广告策略(销售利润达到最大时的广告费用就是最佳广告预算)。本文的最优控制问题实质上就是找到一种能使经营企业的目标泛函达到极大值的广告投资策略。1企业分布密度函数为了描述我们所考虑的特定问题,我们用分布参数系统建模描述商品销量随时间变化的动态规律[2.3.4]。设H(x,y,t)表示t时刻某种产品的产出量不超过x{xl≤x≤M},产量变化率不超过y{-∞≤y≤+∞}的企业数量,{xl,M}分别代表产出量的最小值及企业的最大生产能力。这里假设当y→∞时,H(x,y,t)有极限H(x,∞,t)存在,这个值表示t时刻产出量不超过x的企业数量。当市场足够大时,可以假定H(x,y,t)连续且具有以下用到的各阶连续偏导数,令h(x,y,t)=∂2H∂X∂Yh(x,y,t)=∂2Η∂X∂Y表示t时刻产量不超过x,产量变化率不超过y的企业分布密度函数。则:表示t时刻该产品的产量不超过x的企业分布密度函数。再定义函数:r(x,y,t)=h(x,y,t)f(x,t)r(x,y,t)=h(x,y,t)f(x,t)表示t时刻产量为x,产量变化率为y企业的关于x的相对密度,或称为条件分布密度,显然有:定义t时刻产量的平均变化率函数为I,有:令G(x,t)表示t时刻新建与关、停、并、转的产品产量不超过x的企业数在单位时间内的净值。则g(x,t)=∂G(x,t)∂xg(x,t)=∂G(x,t)∂x为其相应分布密度函数。考虑在t+Δt时刻,该产品的产量不超过x′的企业数由如下两部分组成:(1)t时刻满足条件x+y△t≤x′的企业数;(2)在[t,t+△t]时间内新建与关、停、并、转的产量不超过x′的企业数净值。则有:又由F(x,t)定义可知;按照文献的推导过程,对方程[3.4]进行整理推导得出:初始分布条件为:边界条件为:上式可以这样理解:由于在区间{xL≤x≤M}上,总能找到边界线,使该产品的产量小于xL的企业不存在。这与事实情况也是相符的,因为产品的产量太低,会造成亏损,因而企业应将停止该产品的生产,转产生产其他产品。通过以上推导,得到产品供给的分布密度函数f(x,t)的分布方程,这是一个偏微分方程的初边值问题,在相当广泛的条件下,存在唯一解。如果在已知初边值条件的基础上给出I(x,t)和t时刻新建及关、停、并、转的企业变化分布密度函数g(x,t),即可求出供给的分布密度函数f(x,t)。2广告费用模型为了研究最佳广告策略,我们做如下假设:1.该产品全部由某一销售机构(商家)代理经销;2.在研究时间段内,市场供求基本平衡,产品销量和供给都用f(x,t)表示;3.产品产出量的变化率即为商品销售量的变化率。我们知道:利润达到最大时的广告费用就是最佳广告预算,商家会按照此原则来制定广告策略。根据vidale-wolfe广告模型,有:I=dx(t)dt=au(t)(1−xM)−bx(t)(6)Ι=dx(t)dt=au(t)(1-xΜ)-bx(t)(6)在该模型中,认为商品的销售变化率I依赖于两个因素,一是广告的作用,通过广告扩大商品的销路,二是人们对该商品的“遗忘”,如果没有任何的广告费用的支出,那么人们对该商品将逐渐忘却,这将引起销售率的下降。(9)式中令x(t)表示t时刻商品的销量,u(t)表示t时刻广告费用的支出,M表示市场的最大容量即商品需求的饱和水平,也称之为市场对此种商品的最大承载力,a表示商品的自然扩散率,b表示商品的被“遗忘”率(即平均衰减系数),a,b都是常数。由于市场客观存在一个可能的最大容量M,当实际销售量达到或接近M时,广告费用支出的作用就为0或几乎为0。相反,若实际销售量x比M小得多,那么广告的效果则较大。事实上,制定广告费用策略,还应该考虑商品所处的生命周期,为了使广告投入能获得最大的收益,根据商品所处的生命周期,广告费用的投入量应该有所调整。从投入期到成长期,广告费用是递增的,此时商品的销售变化率呈增函数;到成熟期,广告费用达到阀值,商品在市场上的销量增长最快;成熟期以后,广告费用应逐步减少,此时商品的销售变化率递减;在衰退期一些商家将广告的支出费用降到零,商品在市场的销售总量亦趋于饱和(常数),此商品即将退出市场。如下面的图形所示:将方程(6)代入方程(5a)中,商品销售的分布密度函数f(x,t)方程为:初始分布条件为:边界条件为:根据商品销售的分布密度函数f(x,t),可以预测出某一时刻的该商品市场需求量为:3目标函数及其设定由此可见,商家在选择广告策略时,除在考虑财力、物力的限制条件及市场潜在需求的前提下,还应考虑商品所处的生命周期。本问题目标函数的确定是商家如何通过调节控制广告费用,使企业及商家获得的销售利润最大化。我们把某一时刻销售量x(t)作为状态变量,把广告费用u(t)作为控制变量,再令p为商品的销售单价,ρ为贴现率,T表示所研究的特定生命周期时间段,则目标函数如下:问题应该是,通过选择合适的广告策略,使目标函数J最大化。T的设定是基于下面的考虑:我们知道,任何商品的生命周期都会经历一个从投入、成长、成熟、衰退,最后被市场所淘汰的过程,这就是商品的生命周期,即投入期、成长期、成熟期、衰退期。由于商品在不同的生命周期,其品质、销售数量、销售单价、销售利润和市场状况等均有各自的特点,这些特点是商家制定广告策略的依据。比如在商品的投入期,为了提高产品的知晓率并能克服消费者原有的消费习惯,要不断增加广告费用,尽量作到家喻户晓;在产品的成长期,为了进一步巩固和开发流通渠道,要提高销售现场的广告水平,继续保持较高的广告费用,广告宣传的重心由过去以提高知晓率为主的宣传转成为突出企业形象的广告;成熟期是商家获利的黄金季节,要努力延长这一阶段,提高商品的市场占有率,一般这个阶段的广告费用也不能减少;在产品的衰退期,市场需求已明显减少,商家为了减少损失应该大幅度降低广告费用,直至减少到零。4基于vidale-w