函数极限理论的归纳与解题方法的总结

PAGEPAGE9目录TOC\o"1-3"\h\z引言 1一、基本概念与基本理论 2(一)函数极限 2(二)重要极限 9(三)函数的上极限与下极限 10(四)Stolz定理的推广定理 11二、习题类型与其解题方法归纳 11(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。 12(二)根据定义与极限性质证题的方法 14(三)求函数极限方法 15(四)判断函数极限存在与不存在的方法 20参考文献： 24

函数极限理论的归纳与解题方法的总结薛昌涛(渤海大学数学系辽宁锦州121000中国)摘要：宇宙中的任何事物都是不断运动变化、相互联系、相互制约的。“函数”的产生正是为了满足刻划这种关系的需要，函数极限理论可谓函数理论重中之重。极限定义24个，性质60个，习题更是千变万化，看上去似乎很繁杂，但经过深入浅出的分析就会很明了。本文旨在化繁为简、总结规律，启示方法。关键词：函数、极限、方法TheConclusionofTheoryofFunctionLimitandMethodsSummary（Departmentofmathbohaiuniversityliaoningjinzhou121000）XueChangtaoAbstract:Everythingintheuniverseisalwaysmoving,varying,intergratingorrestrictingeachother.Functionemergedfortheneedofdescribingthisrelation.Thethoryoffunctionlimitplaysakeyroleinfunctiontheory.ThereareTwenty–fourdefinitionstolimit,sixtyqualties,andtheexercisesareeverchanging.Itseemscomplexverymuch,butitwillbeclearafterdelicateanalysis.Thistextaimatchangingcomplextosimple,suminguptheregulars,enlighteningthemethods.Keywords:FunctionLimitMethod引言“函数”一词是微积分的创始人之一莱布尼兹(Leibniz)最先使用的，并且把的函数记为等，但是，直到19世纪初，人们还是把函数理解为“变量和常数组成的解析表达式”。直到1834年，狄里克莱(Dirichlet)指出，函数与变量的关系不但不必用统一的法则在全区间上给出，而且不必用解析式给出。至此，函数才被赋予了单值对应的意义。在整个宇宙中，我们找不出不在运动变化的事物，但各个事物的变化，又绝非彼此孤立隔绝，而是相互联的，相互制约的。“函数”无论在理论研究还是现实的科学探索，都发挥着举足轻重的作用，而极限问题可谓函数问题之重点，所以搞清函数极限的相关问题是尤为重要的。一、基本概念与基本理论（一）函数极限1．函数正常极限与非正常极限定义共个，它们的形式是：为有限数)可见函数正常极数定义共6个，非正常极数定义共18个，比数列正常极限定义1个、非正常极限定义3个(两者总共4个)多了20个定义，而此24个定义是整部数学分析的基础。对它们的理解与记忆按下述程序进行：先理解与记忆4个基本定义，再推及其它而总观24个定义。(1)四个基本定义定义1(定义)设是定义在上的函数，是一个确定的数，若，，当时，有，则称函数当时以为极限，记作，或，或。此时也称为在正无穷远处的极限。注1此定义，是数列极限之定义的推广，只需将定义中之换为，换为即可，这是由于，数列是以自然数集为定义域的函数，故均为自然数集的成员，而函数的定义域为实数集，因而改为中之，来描述。注2定义1是在正无穷远点处函数的极限，现将正无穷远点改为有限点处，其函数极限即为下述定义2，即只要将正无穷远邻域的描述改为的空心邻域的描述即可，因变量刻划相同。定义2(双侧极限定义)设函数在点的某个空心邻域内有定义，是一个确定的数。若，当时，有，则称当趋于时以为极限，记作，或。问题1在的定义中，为什么限定(即)？如果把此条件去掉，写作“当时，有”是否可以？［3］答：不可以，极限的意义是：当自变量趋于时，对应的函数值无限接近常数。在的情况，包括在是否有定义，有定义时，等于什么都不影响时，的变化趋势，故应把这一点排除在外。如果把此条件去掉，把的定义写作“，，当时，有”，则当时，也有，由的任意性，要使此不等式成立，必定有，这个条件显然与时，的变化趋势是不相干的。定义3(单侧极限定义)设函数在［或］内有定义，是一个确定的数，若，使当(或时，有，则称在趋于时以为右(左)极限，记作，或(或)。注3定义3中右极限(左极限)，定义在的右侧，则；对于左极限，定义在的左侧，则，于是定义2是关键，只要考虑到“单侧”这一特点。定义4(无穷大量定义)函数定义在的某个空心临域内，若，，使当时，有，则称当趋于时有非正常极限，或称当趋于时为无穷大量(或发散到无穷大)，记作或。(2)由自变量变化趋势刻划六种与因变量变化趋势刻划四种搭配成正常极限与非正常极限共24个定义的方法。自变量变化趋势及其刻划六种：因变量变化趋势及其刻划四种：将自变量与因变量的变化趋势刻划互相搭配，而构成24种，每一种均按前述四个基本定义的标准叙述法叙述，即得24个定义。2、正常极限性质(共48个或60个)按华东师大教材，每一种类型极限有8个性质来计算，六种类型极限总共有48个性质。再加上重要的“绝对值性”与“单调有界定理”，则共计60个性质。前面是按照极限类型而言；若按照性质类型而言，对照数列极限性质，函数极限性质总共8种(或10种)：存在性、唯一性、局部保号性、局部有界性等等，每一种，按六类极限形式又有六类形式，总计仍是48个或60个性质。无论是48个还是60个性质，看似很多，实际上只要扣住前述自变量变化趋势刻划六种，再将数列极限相应性质移过来，这些性质均不难掌握了。教材中是就极限类型而给出8个性质，这里，再就极限而给出。极限的性质：(1)存在性——三个存在定理I两边夹定理设，均有，且，则II柯西准则设函数在内有定义，则存在，当时，有。III单调有界函数定理设函数在内单调且有界，则存在。注4单调有界函数定理在有限点处为：若函数在包含的某一区间单调有界，则在的左、右极限必存在。这里是左、右极限存在，但在的极限不一定存在，这是与数列单调有界必收敛定理之区别。(2)唯一性若存在，则它只有一个极限。(3)局部有界性若存在，则，在内，有界。(4)局部保号性若，则对任何，当时，有［或］。(5)不等式性若均存在，且，当时，有，则。(6)四则运算法则若均存在，则［仅除法还要求］在时极限也存在，且有(7)归结原则设函数在上有定义，则对任何，都有，其中为有限数。推论设在上有定义，则存在对任何，，均存在。注5归结原则与数列情形之“数列极限与其子列极限关系定理”类似，均是在揭示整体与部分的关系这一意义上而言的。(8)绝对值性若，则，且3、无穷小量与无穷大量(1)无穷小量若，则称当时为无穷小量。无穷小量的四则运算性质：(i)两个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。(ii)无穷小量与有界变量之积为无穷小量。(iii)两个无穷小量之商的极限为下述四种情形之一：有限实数不存在，此即无穷小量的阶的比较。无穷小的阶的比较，是考察它们收敛于零的速度的快慢。设时，均为无穷小量，则其中，当时，又称与为等价无穷小(当时)，记作。若，为有限数，，则称为关于基本无穷小的阶无穷小，通常为正有理数。注6在应用极限运算的四则运算法则时，初学者会写出“”等式子。这是不对的。出现这类“错误”的主要原因是将符号“”误认为一个常数，对它施行了数的运算法则。事实上，“”不是一个常数，而是表示绝对值无限增大的变量，记号“”表示两个绝对值无限增大的变量之差，仍是一个变量。同样地，记号“”表示两个绝对值无限增大的变量之商，仍是一个变量。问题2下面的极限运算对吗？［3］答：结果正确，表达错误，这是因为不存在，不能利用积的极限运算法则，则可以这样表达：因为，，所以。问题3如果数列收敛，数列发散，那么数列是否一定收敛？如果数列和都发散，那么数列的收敛性又怎样？［3］答：在两种题设情形下，数列的收敛性都不能肯定，现分析如下：情形1、数列收敛，数列发散。若，则数列必定发散，这是因为若数收敛，且，则由等式及商的极限运算法则立即可知数列收敛，与假设矛盾。若，则数列可能收敛，也可能发散。例如，(1)，于是数列收敛。(2)，于是数列发散。情形2数列和都发散。若数列和中至少有一个是无穷大，则数列必定发散。这是因为若数列收敛，而数列为无穷大，从等式便推得，与假设矛盾。若数列和都不是无穷大，则数列可能收敛，例如，(3)，于是数列收敛。(4)，于是数列发散。4、几个关系(1)函数极限与数列极限的关系——归结原则(2)单侧极限与极限的关系与均存在相等，均为。(3)无穷大量与无穷小量的关系(倒数)(二)重要极限。前者为型的未定式的极限，后两式为型的未定式的极限。问题4讨论函数极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？［3］答：一般说来，讨论函数在点的极限，都应先看一看单侧极限的情形。如果当时，在两侧的变化趋势一致，那么就不必分开研究；如果在两侧的变化趋势可能有差别就应分别讨论记左、右极限。例如，求分段函数在分段点处的极限时，必须研究左、右极限；有些三角函数在特殊点的左、右极限不一样。例如，在的左右极限不一样；有些反三角函数、指数函数也有类似情形，例如，在处的左、右极限都不一样。(三)函数的上极限与下极限1、概念设函数在的某个空心临域内有定义，则定义，其中为有限数或或，特别当在内有界时，均为有限数。［1］2、性质(1)上极限性质设为有限数，则(I)当时，有；(II)，在的每一个空心临域内，必有，使得(2)下极限性质设为有限数，则(I)，使当时，有；(II)，在的每一空心临域内，必有，使得。3、函数上(下)极限与函数值数列上(下)极限的关系。定理设函数在的某空心临域内有定义，为此邻域内的任意点列，，则对应于一切这种点列，所成数集必有最大值(包括或)，所成数集必有最小值(包括或)，在的上(下)极限即为这最大(小)值。4、上(下)极限与极限的关系。，为有限数或或。(四)Stolz定理的推广定理定理设(i)函数，定义于，且均在的任意子区间有界。(ii)对一切，其中为一正常数，(iii)，(iv)(有限数或或)，则。［5］可见，(ii)、(iii)两条是stolz第二定理之“”的推广，(iv)是“”之推广。而此stolz定理的推广定理与罗比达法则不同点是：后者为型及存在，而在这里，只要定义于，且在上的任意子区间上有界，，及即可。二、习题类型与其解题方法归纳关于函数极限的习题类型大致有：(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限。(二)根据极限定义与极限性质证题。(三)求函数极限。(四)判断函数极限存在与不存在。此外，还有诸如无穷小(无穷大)的阶的比较等，本文将不涉及。关于上述四种类型习题的解题方法在下文给出。(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。这里是指根据24个定义证明函数的正常极限与非正常极限的方法，属根据定义证题术——扣住定义而证，解题思路均是：(或)，找(或)，使当满足自变量的变化趋势刻划时，有因变量变化趋势之刻划，解题关键是找或，找法如下。1、当以具体形式给出时，扣住因变量变化趋势之刻划，分析并对进行恒等变形或加强不等式，使之变成，，其中为正无穷小量，为正无穷大量，令，或；再扣住自变量变化趋势之刻划。对不等式或不等式，关于解之，解得，取或关于，解之，解得，取。2．抽象论证找或找法当是以抽象形式给出时，与1类似，对进行恒等变形或加强不等式，使之变成，，其中为已知正无穷小量，为已知正无穷大量，利用此或确定抽象的或。确定或的具体方法与技巧是：(I)根据已知极限或无穷大量确定或。(II)根据已知极限的性质或无穷大量确定或。(III)三角不等式及其它。可见，与数列的此部分方法完全类似，只是比之更复杂些，下面举一些例子。例1、设在任一有限区间上Riemann可积，且，证明，(上海交大1987)。分析要证：，当时，有，而；由不难联想到已知，于是当时，有，而，由于，则，当时，有；又由于，再考虑要证，则取及取。证明：，因，则，当时，有。因任一有限区间上Riemann可积，则为定数，于是，因而，当时有由此有：当时，即——抽象法证找法(利用已知极限分段处理)。(二)根据定义与极限性质证题的方法这里是指根据24个定义和48个性质等证题，其方法为：遇到正常极限与非正常极限符号，就用等语言表达出来；深入分析题目，联想相关性质；再将之有机结合起来而找到证题方法。例2设在内满足，且有。证明：。分析证明恒等问题，首选反证法，如何找矛盾？扣住已恬，不难得到：当是，，当时，而找矛盾。证明反正法假设，则至少存在一点，使，则或，且显然，下面只证的情形，的情形同理可证。(I)当时，因，则对，当时，有(1)，因，则对，，当时，有；不妨取及取，则显然，于是由(1)知矛盾。(II)当时，因，则对，当时，有(2)因，则对，，当时，有，不妨取及取，则，于是由(2)知，矛盾。综上即得证。(三)求函数极限方法1、根据定义证明函数以为极限，即已求得了函数的极限。2、用函数极限的四则运算法则、不等式性、绝对值性及无穷大量的四则运算等性质，根据已知极限求极。3、根据公式与不等式求极限。4、用两边夹定理求极限。5、用stolz定理的推广定理求极限。6、用罗比达法则求极限。7、用罗比达法则与微积分学基本定理、含参量积分求极限，用牛顿——莱布尼兹公式求极限。8、用函数的连续性求极限。9、用泰勒公式、导数定义等求极限。10、用函数的上、下极限求极限。11、用左极限与右极限求极限。12、用归结原则求极限。13、用函数项级数理论，如函数项级数收敛的必要条件或函数项级数的和函数求极限。14、其它，诸如反证法、变量代换等等。下面在罗比达法则和泰勒公式的选用上，微积分学基本定理与罗比达法则的运用上，两边夹定理，stolz定理的推广定理的运用上重点举几例。例3设在可导，求。解——用导数定义、罗比达法则、已知极限、极限四则运算法则求极限。例4求。分析本题为型未定式，用罗比达法则试解之。不难发现，用罗比达法则两次之后，所得函数表达式已变得更为复杂，因而用罗比达法则解决不了，需改用它法。考虑到为有限个正数，因而必有最大值与最小值，于是联想到用与不等式有关的两边夹定理。解令，则，由于。因而，由两边夹定理知：例5设在上连续，。证明：分析要证，只要求出极限值为，即已证得，于是归结到求极限问题。显然积分号下不能取极限；而已知连续，则显然与均可由其原函数在两端点处的函数值所给出，于是极限问题不难解决。解因为在上连续，则在上有原函数，由牛顿——莱布尼兹公式知：——用原函数存在定理、牛顿——莱布尼兹公式、导数定义等求极限。例6求(中国科技大学)分析令，分析之结构，易知当时，为型未定式；当时，为型未定式，按通常方法，将其化为型或型去解决，于是有，其为型。(当时)或型(当时)分子之导数为，比复杂得多，且求导不易，因而此法不可取；另想别法，只得将按幂指函数法处理如下。，只求出即可，易见为型未定式，需化为型或型，于是可用罗比达法则解之，当然将展成泰勒公式，也可解之。解法一由罗比达法则知则——用幂指数函数处理法与罗比达法则求极限。解法二令，由泰勒公式知，则，因而——用幂指数函数处理法与泰勒公式求极限。例6解题方法小结：1°某些问题，看似用罗比达法则解之，但较麻烦；用泰勒公式解之，甚是方便。2°幂指数函数处理法：形如的函数称为幂指数函数，其中。遇见这类问题，一般是将其恒等变形如下形式来处理：，这就是幂指数函数处理法。本例的每种解法中，均用到此法。(四)判断函数极限存在与不存在的方法1、判断函数极限存在的方法(1)求出函数极限，即已断定函数极限存在，因而(三)中各法适用。(2)用函数极限柯西准则。(3)用单调有界函数定理。(4)用归结原则的推论。(5)证明函数的上极限与下极限相等。(6)反证法、变量代换及它法。2、判定函数极限不存在的方法(1)由极限定义而来——极限定义的否命题对任何实数，；即对任何实数，存在某一，对任何，，使得，则不存在。(2)由柯西准则而来——柯西准则的否命题。不存在存在某一，对任何，，使得。(3)左、右极限关系定理的否命题左极限与右极限均存在且不等；或左极限与右极限中至少有一个不存在，则极限不存在。(4)归结原则的否命题存在两个点列，，但；或存在一个点列，但不存在，则不存在。(5)上极限与下极限关系的充要定理的否命题。上极限与下极限不等，则极限不存在。(6)运算：若存在，不存在，则不存在。(7)反证法，变理代换法及其它。例81)设于连续可微，且求证：存在。(吉林大学)分析要证存在，则的表达式在题设中没有给出，但题设中给出了表达式。由此表达式，立知，则为递增的，因而联想到单调有界定理去试之，这样只要探究出的上有界性即可。为此，必须将与已知的联系上，由于已知连续，则由