高考数学第一轮复习3 高考重难突破(概率与统计) 突破八　概率统计中的数

高考重难突破(概率与统计)突破八概率统计中的数据分析与数学建模概率与统计综合问题是高考应用型问题，解决问题需要经历数据收集、数据整理、数据分析、数据处理、得出有用的结论这几个复杂过程．如果这几个过程书写步骤缺失则会造成丢分；如果数据处理不当则会陷入庞大的数据运算中，因此解决这类问题首先需要根据题目条件提取有用数据，然后根据统计思想对数据进行相关处理、运算，并按照一定的书写步骤准确无误书写出来，做到步骤不缺失、表述准确无误．下面就如何从概率统计综合问题中迅速提取数据，并作出正确处理及模型构建等进行分析．类型一决策性问题(自主练透)(2022·山西运城7月测试)某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价为5千元/个，使用寿命为5个月或6个月(概率均为0.5)；二等品售价为2千元/个，使用寿命为2个月或3个月(概率均为0.5)．(1)若从4个一等品和2个二等品共6个部件S中任取2个装入机器内，求机器运行时间不少于3个月的概率．(2)现有两种购置部件S的方案，如下．方案甲：购置2个一等品．方案乙：购置1个一等品和2个二等品(假设某个部件损坏后可立即更换新部件，优先使用一等品)．试从性价比(即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比)角度考虑，选择哪一种方案更实惠？【解】(1)由题意知，机器运行时间不少于3个月共有三种可能：①取到2个一等品，对应概率为eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)；②取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，对应概率为eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,6))×eq\f(1,2)＝eq\f(4,15)；③取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，对应概率为eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,6))×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,60).所以机器运行时间不少于3个月的概率P＝eq\f(2,5)＋eq\f(4,15)＋eq\f(1,60)＝eq\f(41,60).(2)若采用方案甲，设机器正常运行的时间为X(单位：月)，则X的所有可能取值为5，6，所以P(X＝6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(X＝5)＝1－P(X＝6)＝eq\f(3,4).所以X的分布列为X56Peq\f(3,4)eq\f(1,4)所以E(X)＝5×eq\f(3,4)＋6×eq\f(1,4)＝eq\f(21,4)，它与成本之比为eq\f(E（X）,5＋5)＝eq\f(21,40).若采用方案乙，设两个二等品的使用寿命之和为Y(单位：月)，Y的所有可能取值为4，5，6，所以P(Y＝4)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(Y＝5)＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(Y＝6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，所以Y的分布列为Y456Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)记M为一等品的使用寿命(单位：月)，此时机器的正常运行时间为Z(单位：月)，则Z的所有可能取值为4，5，6，所以P(Z＝4)＝P(Y＝4)＝eq\f(1,4)，P(Z＝5)＝P(M＝5，Y≥5)＋P(M＝6，Y＝5)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,8)，P(Z＝6)＝P(M＝Y＝6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，所以Z的分布列为Z456Peq\f(1,4)eq\f(5,8)eq\f(1,8)所以E(Z)＝4×eq\f(1,4)＋5×eq\f(5,8)＋6×eq\f(1,8)＝eq\f(39,8)，它与成本之比为eq\f(E（Z）,5＋2＋2)＝eq\f(13,24).因为eq\f(21,40)<eq\f(13,24)，所以从性价比角度考虑，方案乙更实惠．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高，然后计算方差，分析谁相对稳定．若利用均值能分出谁的平均水平高，就可以直接做出决策；若利用均值不能分出谁的平均水平高，则需再求出方差，通过方差的大小来做出决策．【对点训练】(2022·深圳市九校联考)某工厂欲购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂80元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．(1)设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．解：(1)由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为y＝10x＋80，x∈N.方案二中的日收费y与x的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(200，x≤15，x∈N，,20x－100，x>15，x∈N.))(2)设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为X210220230240250P0.10.40.10.20.2所以E(X)＝210×0.1＋220×0.4＋230×0.1＋240×0.2＋250×0.2＝230(元)．方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为Y200220240P0.60.20.2E(Y)＝200×0.6＋220×0.2＋240×0.2＝212(元)．因为230>212，所以从节约成本的角度考虑，选择方案二．类型二频率分布直方图与概率相交汇在某电视节目上，甲、乙、丙3个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟，超过1分钟派下一个人.3个人中只要有一个人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，随机抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．(1)若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a，b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率．(2)在这次节目上由于来自各方的压力及自身的心理压力，第n个出场选手解密成功的概率Pn＝P1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n－1)＋eq\f(n－1,10)(n＝1，2，3)，并且P1定义为(1)中甲解密成功的频率，个人是否解密成功相互独立．①求该团队挑战成功的概率；②该团队以Pn从小到大的顺序安排甲、乙、丙三人上场解密，规定第三人无论解密成功与否比赛都结束，记该团队参加挑战的人数为X，求X的分布列与数学期望．【解】(1)因为甲解密成功所需时间的中位数是47，所以0.01×5＋0.014×5＋5a＋0.034×5＋0.04×(47－45)＝0.5，0.01×5＋0.01×5＋5b＋0.032×5＋0.04×(50－47)＝0.5，解得a＝0.026，b＝0.024.甲在1分钟内解密成功的频率f＝1－0.01×5×2＝0.9.(2)①由题意及(1)可知第1个出场选手解密成功的概率P1＝0.9，则第2个出场选手解密成功的概率P2＝0.9×eq\f(9,10)＋eq\f(1,10)×1＝0.91，第3个出场选手解密成功的概率P3＝0.9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,10)×2＝0.929.所以该团队挑战成功的概率P＝0.9＋0.1×0.91＋0.1×0.09×0.929＝0.999361.②由①可知Pn按从小到大的顺序排列为P1，P2，P3.由题意得X的可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝0.9，P(X＝2)＝(1－0.9)×0.91＝0.091，P(X＝3)＝(1－0.9)×(1－0.91)＝0.009，所以X的分布列为X123P0.90.0910.009E(X)＝1×0.9＋2×0.091＋3×0.009＝1.109.本题把频率分布直方图、中位数、古典概型相交汇，这类多考点交汇问题的破解关键：一是活用性质，即利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1，得到含参数的方程，从而达到求参数的目的；二是不混淆，即利用频率分布直方图求中位数与平均数时，注意区分其本质的不同，中位数左边和右边的直方图的面积相等，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．【对点训练】(2022·四川遂宁5月三模)某校数学教研组为更好地提高该校高三学生选择、填空题(简称选填题)的得分率，改进了对学生选填题的教育方式．学校教务处为了检测改进后的成绩质量，从中抽取了100名学生的练习成绩(总分50分)并统计质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求所抽取的样本的平均数eq\o(x,\s\up6(－))；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取4名学生，记这4个学生中选填题练习成绩的质量指标值位于(10，30]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)根据频率分布直方图可得各组的频率依次为0.1，0.2，0.3，0.25，0.15.所以eq\o(x,\s\up6(－))＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)根据题意得每个学生选填题练习成绩的质量指标值位于(10，30]内的概率为0.2＋0.3＝0.5，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，X的所有可能取值为0，1，2，3，4.P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,4)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(3,8)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,4)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,16).所以X的分布列为X01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)方法一：E(X)＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(3,8)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,16)＝2.方法二：E(X)＝4×eq\f(1,2)＝2.类型三概率与统计、统计案例的交汇(2022·重庆第二次质量抽测)某技术公司开发了一种产品，用甲、乙两种不同的工艺进行生产．为检测产品的质量情况，现从甲、乙两种工艺生产的产品中分别随机抽取100件，并检测这200件产品的综合质量指标值(记为Z)，再将这些产品的综合质量指标值绘制成如图所示的频率分布直方图．记综合质量指标值为80及以上的产品为优质产品．(1)根据频率分布直方图完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质产品与生产工艺有关；优质产品非优质产品合计甲工艺65乙工艺合计(2)用样本估计总体，以频率作为概率，若在甲、乙两种工艺生产的产品中随机抽取4件，求所抽取的产品中的优质产品数的分布列和数学期望．参考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解】(1)由频率分布直方图可知，优质产品的频率为(0.04＋0.02)×10＝0.6，则样本中优质产品的件数为200×0.6＝120，补充列联表为优质产品非优质产品合计甲工艺6535100乙工艺5545100合计12080200则k＝eq\f(200×（65×45－35×55）2,100×100×120×80)＝eq\f(25,12)≈2.083<2.706.所以没有90%的把握认为优质产品与生产工艺有关．(2)由频率分布直方图得优质产品的频率为0.6，即概率为0.6，设所抽取的产品中的优质产品数为ξ，则ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,5)))，所以P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(4)＝eq\f(16,625)；P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(96,625)；P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(216,625)；P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(1)＝eq\f(216,625)；P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(0)＝eq\f(81,625).其分布列为ξ01234Peq\f(16,625)eq\f(96,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(81,625)所抽取的产品中的优质产品数的数学期望E(ξ)＝4×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5).统计与概率“搭台”，方案选择“唱戏”破解此类频率分布直方图、分层抽样与概率相交汇的开放性问题的关键：一是会观图读数据，能从频率分布直方图中读出频率，进而求出频数；二是能根据分层抽样的抽样比或各层之间的比例，求出分层抽样中各层需取的个数；三是会转化，会对开放性问题进行转化．【对点训练】某大学生在国家制定的税收、担保贷款等多方面的政策的扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年创收的年利润y(单位：万元)与年份代码t的数据，列表如下：年份代码/t12345年利润/y2.42.74.16.47.9(1)依据表中给出的数据，判断可否用线性回归模型拟合y与t的关系？请通过计算相关系数r加以说明(计算结果精确到0.01)．(若|r|≥0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满500元可减50元．方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为eq\f(2,5)，中奖就可以获得100元现金奖励(假设顾客每次抽奖的结果相互独立)．①某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得100元现金奖励的概率；②某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店店主，希望该顾客是直接选择减免200元现金，还是选择参加四次抽奖？附：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)\r(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\o(t,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)\r(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)).参考数据：eq\r(56.95)≈7.547.解：(1)依题意，得eq\o(t,\s\up6(－))＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝4.7，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi＝85.2，eq\r(\i\su(i＝1,5,)（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)＝eq\r(10)，eq\r(\i\su(i＝1,5,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝eq\r(22.78)，则r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\o(t,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,5,)（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)\r(\i\su(i＝1,5,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(14.7,\r(227.8))＝eq\f(14.7,2\r(56.95))≈eq\f(14.7,15.094)≈0.97>0.75，故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．(2)①顾客选择参加两次抽奖，设“其获得100元现金奖励”为事件A.则P(A)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(12,25).②设X为顾客在四次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，所以X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,5)))，所以E(X)＝4×eq\f(2,5)＝1.6.由于顾客每中奖一次均可获得100元现金奖励，因此该顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.6×100＝160(元)．由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值160元小于直接减免的200元，所以专营店店主希望顾客参加四次抽奖．类型四概率统计与函数、数列相交汇(2022·福州质量检测)从2022年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单．协定存款年利率为1．68%，有效期一年，服务期间客户账户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单，年利率为3.84%，起点金额1000万元．(注：月利率为年利率的十二分之一)已知某公司现有2021年底结余资金1050万元．(1)若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率．(2)公司决定将550万元作协定存款，于2022年1月1日存入该银行账户，规定从2月份起，每月首日支取50万元作为公司的日常开销．将余下500万元中的x万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余(500－x)万元作结构性存款．①求2022年全年该公司从协定存款中所得的利息；②假设该公司于2022年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x万元用于投资高新项目，据专业机构评估，该笔投资到2022年底将有60%的概率获得－eq\f(x3,30000)＋0.02x2＋0.135x万元的收益，有20%的概率亏损0.27x万元，有20%的概率保本，问：x为何值时，该公司2022年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值．【解】(1)设“恰有3个股东选择同一种产品”为事件A，由题意知，5个股东共有45种选择方法，而“恰有3个股东选择同一种产品”的可能情况为Ceq\o\al(3,5)·(Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(3,4))种，(另解：其中3个股东选择同一种产品有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,4)种方法，另外2个股东有32种选择方法，所以共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,4)·32种选择方法)所以P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5)·（Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(3,4)）,45)＝eq\f(45,128).(2)①2022年全年该公司从协定存款中所得的利息为[(550＋500＋450＋…＋100＋50)＋50]×eq\f(0.0168,12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(550＋50,2)×11＋50))×0.0014＝4.69(万元)．(注：11月份余额为50万元，所以12月份不能再支取)②由条件，得高新项目投资可得收益频率分布表为投资收益t－eq\f(x3,30000)＋0.02x2＋0.135x0－0.27xP0.60.20.2所以高新项目投资所得收益的期望为E(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,30000)＋0.02x2＋0.135x))×0.6＋0×0.2－0.2×0.27x＝－0.00002x3＋0.012x2＋0.027x，所以存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为L(x)＝－0.00002x3＋0.012x2＋0.027x＋0.036×(500－x)＋0.018×eq\f(6,12)x＋4.69＝－0.00002x3＋0.012x2＋22．69(0≤x≤500)．L′(x)＝－0.00006(x2－400x)，令L′(x)＝0，解得x＝400或x＝0.令L′(x)>0，得0<x<400；令L′(x)<0，得400<x<500.所以当x＝400时，L(x)取得最大值，为L(400)＝662．69(万元)．所以当x＝400时，该公司2022年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，为662.69万元．与函数方程不等式有关的综合问题的解法(1)与函数有关的问题，结合概率、方差、均值的公式列出函数表达式，再利用函数的性质(单调性、最值等)求解．(2)与方程不等式有关的问题，结合均值、方差公式列出方程或不等式，解方程或不等式即可．【对点训练】某商场对某商品实行分期付款方式的销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列如下，其中0<a<1，0<b<1.ξ456P0.4ab(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率．(2)商场销售一件该商品时，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元．假设该商场销售两件该商品所获得的利润和为X(单位：元)．①设X＝5500时的概率为p，求当p取最大值时，利润X的分布列和数学期望；②设数列{xn}满足x1＝0.4，xm＝a，2xm＋1＝b，若xm<0.25对任意m≥t恒成立，求整数t的最小值．解：(1)由题意知，若3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外2位均不选“分4期付款”．所以所求概率P＝3×0.4×(1－0.4)×(1－0.4)＝0.432.(2)①由题意可得X的所有可能取值为4000，4500，5000，5500，6000.P(X＝4000)＝0.4×0.4＝0.16，P(X＝4500)＝2×0.4×a＝0.8a，P(X＝5000)＝a2＋2×0.4×b＝a2＋0.8b，P(X＝5500)＝2ab，P(X＝6000)＝b2，所以P(X＝5500)＝2ab≤2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝0.18，取最大值的条件为a＝b＝0.3，所以此时X的分布列为X40004500500055006000P0.160.240.330.180.09E(X)＝4000×0.16＋4500×0.24＋5000×0.33＋5500×0.18＋6000×0.09＝4900.②由题意可得xm＋2xm＋1＝a＋b＝0.6，所以xm＋1＝－eq\f(1,2)xm＋0.3，整理得xm＋1－0.2＝－eq\f(1,2)(xm－0.2)，又x1－0.2＝0.2，所以数列{xm－0.2}是以0.2为首项，－eq\f(1,2)为公比的等比数列，所以xm－0.2＝0.2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(m－1)，即xm＝0.2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(m－1))).由题意可知，(i)b＝2xm＋1＝0.4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(m)))∈(0.35，0，6)，即－eq\f(1,8)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(m)<eq\f(1,2)，解得m＝2或m>3.(ii)a＝xm＝0.2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(m－1)))<0.25，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(m－1)<eq\f(1,4)，当m为偶数时，上述不等式恒成立；当m为奇数时，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(m－1)<eq\f(1,4)，解得m≥5.综上所述，t的最小值为4.1．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元．该大学生通过查询资料得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该大学生为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；(2)将y表示为x的函数；(3)根据直方图估计利润y不少于4000元的概率．解：(1)由题中频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x的众数是150盒，需求量在[100，120)内的频率为0.0050×20＝0.1，需求量在[120，140)内的频率为0.0100×20＝0.2，需求量在[140，160)内的频率为0.0150×20＝0.3，需求量在[160，180)内的频率为0.0125×20＝0.25，需求量在[180，200]内的频率为0.0075×20＝0.15.则平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．(2)因为每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当100≤x＜160时，y＝30x－10×(160－x)＝40x－1600；当160≤x≤200时，y＝160×30＝4800.所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40x－1600，100≤x＜160，,4800，160≤x≤200.))(3)因为利润y不少于4000元，所以当100≤x＜160时，由40x－1600≥4000，解得140≤x＜160；当160≤x≤200时，y＝4800＞4000恒成立，所以140≤x≤200时，利润y不少于4000元．故由(1)知利润y不少于4000元的概率P＝1－0.1－0.2＝0.7.2．(2022·北京第二十中学考前预测)单板滑雪U型场地技巧赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在某赛季单板滑雪U型场地技巧比赛中的成绩(单位：分)，如下表：分站甲的三次滑行成绩乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．(1)从上表5站中随机选取1站，求在该站甲的成绩高于乙的成绩的概率；(2)从上表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；(3)假如从甲、乙二人中推荐一人参加单板滑雪U型场地技巧赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加？并说明理由．解：(1)设“该站甲的成绩高于乙的成绩”为事件A.甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为86.20，92.80，87.50，89.50，86.00；乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为88.40，88.60，89.10，88.20，87.70.其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩，所以P(A)＝eq\f(2,5).(2)结合(1)知X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，所以X的分布列为：X012Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)E(X)＝0×eq\f(3,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,10)＝eq\f(4,5).(3)答案言之有理即可，示例如下．答案一：推荐乙．理由如下．用频率估计概率，从5站的成绩可以看出，任意1站甲的成绩高于乙的成绩的概率为eq\f(2,5)，乙的成绩高于甲的成绩的概率为eq\f(3,5).因为eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，所以乙的成绩高于甲的成绩的可能性大，所以推荐乙参加．答案二：推荐乙．理由如下：用“ξ＝1”表示任意1站甲的成绩高于乙的成绩，用“ξ＝0”表示任意1站甲的成绩低于乙的成绩，则P(ξ＝1)＝eq\f(2,5)，P(ξ＝0)＝eq\f(3,5)，E(ξ)＝1×eq\f(2,5)＋0×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,25).用“η＝1”表示任意1站乙的成绩高于甲的成绩，用“η＝0”表示任意1站乙的成绩低于甲的成绩，则P(η＝1)＝eq\f(3,5)，P(η＝0)＝eq\f(2,5)，E(η)＝1×eq\f(3,5)＋0×eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，D(η)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,25).因为E(ξ)<E(η)，D(ξ)＝D(η)，所以乙的成绩好于甲的成绩，所以推荐乙参加．答案三：推荐乙．理由如下．甲5站的平均成绩为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)×(86.20＋92.80＋87.50＋89.50＋86.00)＝88.40；乙5站的平均成绩为eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)×(88.40＋88.60＋89.10＋88.20＋87.70)＝88.40.甲5站成绩的方差为seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(86.20－88.40)2＋(92.80－88.40)2＋(87.50－88.40)2＋(89.50－88.40)2＋(86.00－88.40)2]＝6.396，乙5站成绩的方差为seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(88.40－88.40)2＋(88.60－88.40)2＋(89.10－88.40)2＋(88.20－88.40)2＋(87.70－88.40)2]＝0.212.eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，说明甲、乙二人水平相当，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，表明乙的发挥比甲的更稳定，所以预测乙的成绩会更好，所以推荐乙参加．答案四：推荐甲．理由如下．甲5站的平均成绩为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝88.40，乙5站的平均成绩为eq\o(x,\s\up6(－))乙＝88.40，甲、乙5站的平均成绩虽然相同，但是甲成绩的最大值为92.80，乙成绩的最大值为89.10，甲成绩的最大值高于乙成绩的最大值，所以甲的成绩会比乙的更好，所以推荐甲参加．3．(2022·河南高考适应性测试)某地区有统计数据显示，2021年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有eq\f(5,6)是“年轻人”．(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图中的数据，完成2×2列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄情况列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2022年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一，线下销售，根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq\f(7,10)，eq\f(1,5)，eq\f(1,10)；方案二，线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq\f(3,5)，eq\f(3,10)，eq\f(1,10).针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635其中，K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.解：(1)由题图1知，销售主播中“年轻人”占比为80%，“非年轻人”占比为20%.由题图2知，“经常使用直播销售用户”占比为60%，“不常使用直播销售用户”占比为40%.补全列联表为年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户10020120不常使用直播销售用户602080合计16040200则k＝eq\f(200×（100×20－20×60）2,120×80×160×40)＝eq\f(25,12)≈2.083>2.072，所以有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关．(2)若选方案一，设获利X1万元，则X1所有可能的取值为300，－150，0，X1的分布列为X1300－1500Peq\f(7,10)eq\f(1,5)eq\f(1,10)则E(X1)＝300×eq\f(7,10)＋(－150)×eq\f(1,5)＋0×eq\f(1,10)＝180，D(X1)＝(300－180)2×eq\f(7,10)＋(－150－180)2×eq\f(1,5)＋(0－180)2×eq\f(1,10)＝35100.所以X1的期望E(X1)＝180，方差D(X1)＝35100.若选方案二，设获利X2万元，则X2所有可能的取值为500，－300，0，X2的分布列为X2500－3000Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)则E(X2)＝500×eq\f(3,5)＋(－300)×eq\f(3,10)＋0×eq\f(1,10)＝210，D(X2)＝(500－210)2×eq\f(3,5)＋(－300－210)2×eq\f(3,10)＋(0－210)2×eq\f(1,10)＝132900.所以X2的期望E(X2)＝210，方差D(X2)＝132900.因为E(X1)＝180<E(X2)＝210，D(X1)＝35100<D(X2)＝132900，所以从获利的期望方面看方案二即线上直播销售获得的利润更多，但是，方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一即线下销售更稳妥．所以从获利角度考虑，应该选择方案二；从规避风险角度考虑，应该选择方案一．4．(2022·山东日照9月第一次校际联考)某调查机构从种植某种名贵中药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们去年种植中药材所获纯利润(单位：万元)的情况，统计结果如下表所示：分组[1，3)[3，5)[5，7)[7，9)[9，11]频数1015452010(1)农户种植中药材所获纯利润Z(单位：万元)近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x(每组数据取区间的中点值为代表)，σ2近似为样本方差s2≈2.12.若有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z在区间(1.9，8.2]内的户数．(2)为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个，让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则停止取球，若取到黑球，则将黑球放回箱中，继续取球，但取球次数不超过10次，若农户取到红球，则中奖，获得2000元的奖励，若未取到红球，则不中奖．现张明参加了抽奖活动，记他取球的次数为随机变量X.①求张明恰好取球4次的概率；②求X的数学期望．(精确到0.001)参考数据：0.89≈0.1342，0.810≈0.1074.若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋