第1、2章 随机事件与概率、随机变量及其分布

概率论与数理统计发展史16世纪14世纪17世纪萌芽形成精细19世纪成熟突破16世纪18世纪概率是一个事件发生、一种情况出现的可能性大小的数理指标随机事件与概率《概率论与数理统计》同济大学数学系01目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.1随机事件及其运算一、随机试验二、样本空间三、随机事件四、随机事件间的关系和运算一、随机试验随机现象——在个别试验中呈现不确定的结果,而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现象.这种规律性称为统计规律性.概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学科.为了研究随机现象的统计规律性,就要对客观事物进行观察,这个过程叫做试验.概率论所讨论的试验称为随机试验,它具有以下三个特点:在相同的条件下试验可以重复进行;01OPTION02OPTION03OPTION每次试验的结果不止一个,但是试验之前可以明确;每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.一、随机试验例1抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；随机试验的例子42抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；某快餐店一天内接到的订单量；航班起飞延误的时间；一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。二、样本空间全体样本点的集合称为样本空间,记为,也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成的集合,集合中的元素就是样本点.样本空间可以是有限集,可数集,一个区间（或若干区间的并集）.一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为二、样本空间在前面的例子中:抛掷一枚均匀硬币的样本空间某快餐店一天内接到的订单量的样本空间航班起飞延误时间的样本空间01OPTION02OPTION03OPTION｛正、反｝这些在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件，简称为事件.从集合的角度:一个随机试验所对应的样本空间的子集称为一个随机事件.用大写字母等来表示随机事件.三、随机事件同济大学数学系仅含一个样本点的随机事件称为基本事件.三、随机事件在事件的定义中，注意以下几个概念：每次试验中一定发生的事件称为必然事件.包含所有的样本点,因此每次试验中必有中的一个样本点出现,故是必然事件.每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件.空集中不包含任何样本点,因此是不可能事件.01OPTION任一随机事件A是样本空间的一个子集。02OPTION03OPTION当试验的结果属于该子集时，就说事件A发生了。相反地，如果试验结果不属于该子集，就说事件A没有发生。04OPTION05OPTION同济大学数学系三、随机事件例

2抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为同济大学数学系（1）事件的包含1、随机事件之间的关系四、随机事件之间的关系与运算若事件

的发生必然导致事件的发生,则称事件包含在事件中.记作

.同济大学数学系记作.1、随机事件之间的关系（2）事件的相等若事件的发生必然导致事件的发生,且事件的发生必然导致事件的发生,则称事件与事件相等。如果事件与不可能同时发生，即没有相同的样本点，则称事件与互不相容（互斥）.（3）互不相容事件同济大学数学系2、随机事件之间的运算（1）事件的并事件或至少有一个发生时,称事件与事件的并事件发生,记为.（2）事件的交（积）事件及事件同时发生时,称事件与事件的交事件发生,记为.事件的并事件的交同济大学数学系2、随机事件之间的运算（3）事件的差（4）对立事件事件发生且事件不发生,称事件与事件的差事件发生,记为.事件称为事件的对立事件（逆、余）,记为.同济大学数学系2、随机事件之间的运算123同济大学数学系3、事件的运算性质①交换律②结合律③分配律④对偶律同济大学数学系3、事件的运算性质例3用事件的运算关系式表示下列事件，则：1234567同济大学数学系目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式公理1非负性

公理2规范性1.2概率的定义及其性质

给定一个随机试验,为相应的样本空间,对每一个事件,规定一个实数与之对应,且满足如下公理：有公理3可列可加性即对任意一列两两互不相容事件则称为事件的概率.同济大学数学系由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.性质1性质2有限可加性1.2概率的定义及其性质设为两两互不相容事件,则有性质4若则性质3对任意事件有同济大学数学系性质5设为任意两个事件,则性质6设为任意两个事件,则1.2概率的定义及其性质性质7称为加法公式,该公式可以推广到多个事件上.三个事件的加法公式为:同济大学数学系则，至少发生一个的概率是多少？1.2概率的定义及其性质例4已知三个随机事件满足同济大学数学系目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.3等可能概型一、古典概型二、几何概型随机事件发生的可能性的大小常用区间中的数值加以刻划.这个数值称为概率,记为规定:一、古典概型古典概型的基本思路:随机试验的样本空间只有有限个样本点；每次试验中各个样本点发生的可能性相等.AB记为样本点总数,为事件所包含的样本点个数，则事件的概率为解而总取法数（即样本点总数）为一、古典概型例4（抽奖问题）某公司年会抽奖,共有

张奖券,其中只有一张有奖.每位员工可抽取一张.求第位员工中奖的概率（）.不放回情形中，第

个员工抽到有奖券意味着前个员工均没有抽到,相应的取法个数为同济大学数学系这个结果和次序无关.因此,所求概率为一、古典概型同济大学数学系二、几何概型是古典概型的推广,保留每个样本点发生的等可能性，样本空间放宽为无穷不可列个样本点，一般地，设样本空间是某个区域（直线、平面或空间）.则事件的概率为这里分别表示长度、面积或体积.同济大学数学系二、几何概型例5碰面问题甲、乙两人约定在中午的12时到13时在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候另一人10分钟，过时即可离去.求两人能碰面的概率.解设甲到达咖啡屋的时间为,乙到达时间为，则,两人能碰面的事件所对应的区域为右图中带形区域所求概率为同济大学数学系目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.4条件概率与事件的相互独立性一、条件概率二、事件的相互独立性一、条件概率定义1给定一个随机试验,是它的样本空间,

任意两个事件,其中,称为已知事件发生的条件下事件发生的条件概率.同济大学数学系条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质,即:（1）公理1非负性（2）公理2规范性（3）公理3对可列无限个两两不相容事件可列可加性一、条件概率同济大学数学系相仿可以得到如下性质:以及等类似七条性质.一、条件概率同济大学数学系变形后有由条件概率公式:当（或）时,有或或上式称为概率的乘法公式.一、条件概率乘法公式可推广到多个事件上去,例如,三个事件的乘法公式为同济大学数学系注意：相互独立与互不相容有何区别?二、事件的相互独立性称两个事件是相互独立的,如果上式等价于独立性的直观意义是一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率.独立性往往蕴含在事物的内部.

当时.同济大学数学系不难计算可见二、事件的相互独立性例6抛掷两枚均匀硬币2次,则:事件与是独立的.解即事件与是独立的.同济大学数学系也相互独立.即有相应可列出其它等式.定义2若事件独立，则二、事件的相互独立性同济大学数学系三个等式都成立.定义3称事件组是两两独立的,如果有二、事件的相互独立性同济大学数学系四个等式都成立.二、事件的相互独立性定义4称事件组是相互独立的,如果有同济大学数学系二、事件的相互独立性独立性的定义可推广到个事件上去.特别地,当事件相互独立时,有同济大学数学系一个产品或一个元件、一个系统的可靠性可以用可靠度来刻划.所谓可靠度指的是产品能正常工作的概率.以下讨论中,假定一个系统中的各个元件能否正常工作是相互独立的.二、事件的相互独立性例7系统可靠性问题同济大学数学系两个基本模型:（1）串联系统二、事件的相互独立性元件的可靠度为,则系统的可靠度为设一个系统由个元件串联而成,第个（2）并联系统设一个系统由个元件并联而成,第个元件的可靠度为,则系统的可靠度为同济大学数学系目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式

设为随机试验,为相应的样本空间,为事件组,若满足（1）（2）则称该事件组为完备事件组.完备事件组同济大学数学系定理1全概率公式全概率公式与贝叶斯公式同济大学数学系定理2贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式当时,贝叶斯公式是已知“结果”，推断该“结果”由某“原因”发生的概率。原因A1原因A2原因An结果B…

…同济大学数学系求（1）取到白球的概率；（2）已知取到的是白球，则这个白球属于第二个箱子的的概率。全概率公式与贝叶斯公式例8有三只箱子：第一个箱子中有四个黑球和一个白球；第二个箱子中有三个黑球和三个白球；第三个箱子中有三个黑球和五个白球。任取一箱,再从中任取一个球.同济大学数学系且又全概率公式与贝叶斯公式解以分别表示取到的是第个箱子，表示取到的是白球,则事件组构成一个完备事件组.所以,由全概率公式得再由贝叶斯公式得同济大学数学系全概率公式与贝叶斯公式例9某种疾病的患病率为0.1%，某项血液医学检查的误诊率为1%，即非患者中有1%的人验血结果为阳性.患者中有1%的人验血结果为阴性。现知某人验血结果是阳性,求他确实患有该种疾病的概率.

以表示验血结果为阳性,表示该人患此疾病解因此所求概率为总结/summary两个概念：随机事件与概率基本理论：随机事件的性质与运算

随机事件的相互独立性与乘法公式几类概率模型：等可能概型（包括古典概型、几何概率）

条件概率

全概率公式；贝叶斯公式随机变量及其分布《概率论与数理统计》

02目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.1随机变量及其分布一、随机变量的定义二、随机变量的分布函数三、离散型随机变量及其分布律四、连续型随机变量及其密度函数许多随机试验的结果与实数密切联系,也有些随机试验结果从表面上看并不与实数相联系.下面我们通过几个例子来引入随机变量的概念.一、随机变量的定义例1抛掷一颗均匀的骰子，出现的点数X的取值样本空间={正面朝上,反面朝上},样本空间不是一个数集.但是我们可以人为地把试验结果和实数对应起来.令样本点X的取值正面朝上→1反面朝上→0

称为是（一维）随机变量.引进随机变量后,随机事件及其概率可以通过随机变量来表达.一、随机变量的定义定义1在随机试验E中,是相应的样本空间,如果对中的每一个样本点,有唯一一个实数与它对应,那么就把这个定义域为的单值实值函数

随机变量一般用大写字母表示.

随机变量离散型随机变量连续型随机变量一、随机变量的定义如果一个随机变量仅可能取有限或可列个值，则称其为离散型随机变量、AB如果一个随机变量的取值充满了数轴上的一个区间（或某几个区间的并），则称其为连续型随机变量。

一、随机变量的定义随机变量的直观解释

随机变量X是样本点的函数，这个函数的自变量是样本点，可以是数，也可以不是数，定义域是样本空间，而因变量必须是实数。这个函数可以让不同的样本点对应不同的实数，也可以让多个样本点对应于一个实数。

二、随机变量的分布函数定义2称函数为随机变量的分布函数.给定一个随机变量,对任意实数对任意满足条件的实数,有

例1设一盒子中装有10个球，其中5个球上标有数字1,3个球上标有数字2，2个球上标有数字3。二、随机变量的分布函数从中任取一球,记随机变量为“取得的球上标有的数字”（1）写出的分布函数;（2）作出分布函数的图像.

二、随机变量的分布函数容易得到可取1,2,3，由古典概型的计算方法，对应的概率值分别为0.5,0.3,0.2。解由分布函数定义知若则为不可能事件,故所以若则同理,当时,有当时,有

综上,随机变量的分布函数为二、随机变量的分布函数

分布函数的性质二、随机变量的分布函数设是随机变量的分布函数，则有42分布函数单调不减;对任意的,分布函数右连续;

（1）非负性三、离散型随机变量及其分布律定义3设且其中满足:（2）规范性那么称表达式为随机变量

的分布律或概率函数.

换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个值或可列无限个值,那么称这个随机变量为（一维）离散型随机变量.一维离散型随机变量的分布律也可表示为：三、离散型随机变量及其分布律

三、离散型随机变量及其分布律设随机变量的分布律如下：例2（1）求解（2）

的分布函数

四、连续型随机变量及其密度函数那么称为连续型随机变量的概率密度函数.给定一个连续型的随机变量,如果存在一个定义域为的非负实值函数,使得的分布函数可以表示为定义4

四、连续型随机变量及其密度函数

概率密度函数满足下面两个条件:对照一下离散型随机变量的概率函数所满足的两个条件,注意到1212

这两个条件同样刻划了密度函数的特征性质,即如果有实值函数具备这两条性质,那么它必定是某个连续型随机变量的概率密度函数.

四、连续型随机变量及其密度函数

分布函数和概率密度函数的关系在几何上的体现:

四、连续型随机变量及其密度函数设是任意连续型随机变量,且与分别是它的分布函数与概率密度函数,则有:有连续型随机变量的性质是连续函数,且在的连续点处,有1对任意常数,

2结合结论2可知:

四、连续型随机变量及其密度函数例3设随机变量的概率密度函数为求解（1）（2）

的分布函数（1）

四、连续型随机变量及其密度函数解(2)

目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.2常用的离散型随机变量一、二项分布二、泊松分布三、超几何分布四、几何分布与负二项分布一、二项分布

在重贝努利试验中,若以表示事件在次试验中出现的次数.分布律为则的取值为相应的概率为:设对一随机试验E,我们只关心某个事件发生与否,此时试验的结果可以看成只有两种:发生或者不发生。那么称这个试验为贝努利试验.

其中为事件发生的概率.则称服从参数为的二项分布,记成

在概率论中,二项分布是一个重要的分布.在许多独立重复试验中,都具有二项分布的形式.一、二项分布一、二项分布

若二项分布中取，相应的分布律为

即随机变量的取值为0,1,相应的概率记为则又称服从分布（或两点分布）.

设表示在5次重复独立射击中命中的次数，则一、二项分布例4某人向同一目标重复独立射击5次，每次命中目标的概率为0.8，求（1）此人能命中3次的概率；（2）此人至少命中2次的概率。12

二、泊松分布

设随机变量的概率密度函数为则称服从参数为的泊松分布,记为由无穷级数知识知:

二、泊松分布泊松分布也是一种常用的离散型分布，它常常与计数过程相联系，例如某一时段内某网站的点击量；早高峰时间段内驶入高架道路的车辆数；一本书上的印刷错误数。01OPTION02OPTION03OPTION

二、泊松分布例5解

已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为6的泊松分布.问周初至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存,且本周不再进货.二、泊松分布例6解设该款手表每周的需求量为，则有；设至少需要进块该款手表，才能满足不脱销的概率不小于0.9，即要满足

二、泊松分布定理（泊松定理）在重贝努利试验中，记事件在一次试验中发生的概率为，当时，有对于任意一个非负整数,有泊松定理告诉我们:满足一定条件时，二项概率可以用泊松分布的概率值来近似.

此时可近似看作参数为5的泊松分布,二、泊松分布设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个投保人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率．例7解记未来一年中这1000个投保人中死亡人数，则有

三、超几何分布则这个产品中所含的次品的分布律为设有件产品,其中件次品.现从中不放回任取个产品,我们称服从参数为的超几何分布.

三、超几何分布记,可以证明，有

四、几何分布与负二项分布如果随机变量的分布律为则称服从参数为的几何分布.

四、几何分布与负二项分布几何分布也是一种常用的离散型分布，例如01OPTION02OPTION03OPTION

四、几何分布与负二项分布例8证明

四、几何分布与负二项分布

目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.3常用的连续型随机变量一、均匀分布二、指数分布三、正态分布密度函数图形如右图:其余一、均匀分布设随机变量的概率密度函数为则称服从区间上的

均匀分布,记作

计算可得分布函数为：分布函数图形如右所示:一、均匀分布我们考察一下这个分布函数,若,则这恰好是区间和取值总区间的长度比,只与区间长度d有关，与区间位置c无关.

一、均匀分布例9解

二、指数分布如果随机变量的密度函数为其余则称服从参数为的指数分布,其分布函数为记为指数分布的密度函数图形如下:指数分布的分布函数图形如下:由定义易得服从指数分布的随机变量的概率计算公式:设,则证明例10二、指数分布

三、正态分布

设随机变量的概率密度函数为则称服从参数为的正态分布,记为服从正态分布的随机变量统称为正态随机变量.

正态分布的密度函数曲线图形三、正态分布

三、正态分布正态分布概率密度函数的曲线特征:密度函数的图形关于对称;

13当时,;2在处取得最大值;

三、正态分布正态分布概率密度函数的曲线特征:4当较大时曲线比较平坦,当较小时曲线比较陡峭.

时的正态分布称为标准正态分布.其概率密度函数和分布函数分别为标准正态分布密度函数图形三、正态分布

三、正态分布关于标准正态分布有以下结果:特别地,有

;当时,

的值可以查概率函数值表得到,且

13若,则特别地当时,由密度函数对称性可得,2

⑴查表并计算可得例11设随机变量,查表求下列概率值:解(2)同样地三、正态分布

一般地,有下列结论:三、正态分布设随机变量,则特别地若,则

查表并计算可得三、正态分布例12设,试求概率解

三、正态分布例13设随机变量服从标准正态分布,

为何值时才能满足解由,查附录4知

右图为分位数的几何意义

设对给定的若数满足称为随机变量X的