线性代数总结计划汇总经典例题

线性代数总结计划汇总经典例题线性代数总结计划汇总经典例题线性代数总结计划汇总经典例题......线性代数知识点总结行列式（一）行列式看法和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不相同行不相同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）1）行列互换（转置），行列式的值不变2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数乘此行列式4）拆列分配：行列式中若是某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。6）两行成比率，行列式的值为0。二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace张开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则.学习参照.......7、n阶（n≥2）范德蒙道德列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）张开9、按行张开定理：1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0四）行列式公式10、行列式七大公式：1）|kA|=kn|A|2）|AB|=|A|·|B|3）|AT|=|A|4）|A-1|=|A|-15）|A*|=|A|n-1.学习参照.......6）若A的特色值λ1、λ2、⋯⋯λn，7）若A与B相似，|A|=|B|五）克莱姆法规11、克莱姆法规：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解2）若是非齐次线性方程组无解或有两个不相同解，则它的系数行列式必为03）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；若是方程组有非零解，那么必有D=0。矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：1）矩阵乘法要求前列后行一致；2）矩阵乘法不满足互换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，能够用互换律）3）AB=O不能够推出A=O或B=O。2、转置的性质（5条）1）（A+B）T=AT+BT2）（kA）T=kAT3）（AB）T=BTAT4）|A|T=|A|.学习参照.......5）（AT）T=A二）矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1注：A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质：（5条）1）（kA）-1=1/k·A-1(k≠0)2）（AB）-1=B-1·A-13）|A-1|=|A|-14）（AT）-1=（A-1）T5）（A-1）-1=A5、逆的求法：1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解2）A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：1）两行（列）互换；2）一行（列）乘非零常数c3）一行（列）乘k加到另一行（列）7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换获取的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质：（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵.学习参照.......2）初等矩均可逆矩，且Eij-1=Eij（i，j两行互）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）★（四）矩的秩9、秩的定：非零子式的最高数注：（1）r（A）=0意味着所有元素0，即A=O2）r（An×n）=n（秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不能逆；3）r（A）=r（r=1、2、⋯、n-1）←→r子式非零且所有r+1子式均0。10、秩的性：（7条）1）Am×n矩，r（A）≤min（m,n）2）r（A±B）≤r（A）±（B）3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}4）r（kA）=r（A）（k≠0）5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩）6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）7）A是m×n矩，B是n×s矩，AB=O，r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：1）A抽象矩：由定或性求解；2）A数字矩：A→初等行→梯型（每行第一个非零元素下面的元素均0），r（A）=非零行的行数五）陪同矩.学习参照.......12、陪同矩的性：（8条）1）AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-12）（kA）*=kn-1A*3）（AB）*=B*A*4）|A*|=|A|n-15）（AT）*=（A*）T6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-17）（A*）*=|A|n-2·A★（8）r（A*）=n（r（A）=n）；r（A*）=1（r（A）=n-1）；r（A*）=0（r（A）＜n-1）（六）分矩13、分矩的乘法：要求前列后行分法相同。14、分矩求逆：向量（一）向量的看法及运算TT1、向量的内：（α，β）=αβ=βα2、度定：||α||=3、正交定：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+⋯+anbn=04、正交矩的定：An矩，AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±.学习参照.......1（二）性合和性表示5、性表示的充要条件：非零列向量β可由α1，α2，⋯，αs性表示(1)←→非次性方程（α1，α2，⋯，αs）（x1，x2，⋯，xs）T=β有解。(2)←→r（α1，α2，⋯，αs）=r（α1，α2，⋯，αs，β）（系数矩的秩等于增广矩的秩，用于大第一步的）6、性表示的充分条件：（认识即可）若α1，α2，⋯，αs性没关，α1，α2，⋯，αs，β性相关，β可由α1，α2，⋯，αs性表示。7、性表示的求法：（大第二步）α1，α2，⋯，αs性没关，β可由其性表示。（α1，α2，⋯，αs|β）→初等行→（行最形|系数）行最形：每行第一个非0的数1，其余元素均0（三）性相关和性没关8、性相关注意事：1）α性相关←→α=02）α1，α2性相关←→α1，α2成比率9、性相关的充要条件：向量α，α，⋯，α性相关12s1）←→有个向量可由其余向量性表示；2）←→次方程（α1，α2，⋯，αs）（x1，x2，⋯，xs）T=0有非零解；.学习参照.......★（3）←→r（α1，α2，⋯，αs）＜s即秩小于个数特地，n个n列向量α1，α2，⋯，αn性相关1）←→r（α1，α2，⋯，αn）＜n2）←→|α1，α2，⋯，αn|=03）←→（α1，α2，⋯，αn）不能逆10、性相关的充分条件：1）向量含有零向量或成比率的向量必相关2）部分相关，整体相关3）高相关，低相关4）以少表多，多必相关★推：n+1个n向量必然性相关11、性没关的充要条件向量α1，α2，⋯，αs性没关1）←→任意向量均不能够由其余向量性表示；2）←→次方程（α1，α2，⋯，αs）（x1，x2，⋯，xs）T=0只有零解3）←→r（α1，α2，⋯，αs）=s特地，n个n向量α1，α2，⋯，αn性没关←→r（α1，α2，⋯，αn）=n←→|α1，α2，⋯，αn|≠0←→矩可逆12、性没关的充分条件：1）整体没关，部分没关2）低没关，高没关3）正交的非零向量性没关.学习参照.......（4）不相同特色的特色向量没关13、性相关、性没关判断（1）定法★（2）秩：若小于数，性相关；若等于数，性没关【知充】1）在矩左乘列秩矩（秩=列数），矩的秩不；在矩右乘行秩矩，矩的秩不。2）若n列向量α1，α2，α3性没关，β1，β2，β3能够由其性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，r（β1，β2，β3）=r（C），从而性无关。←→r（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0（四）极大性没关与向量的秩14、极大性没关不唯一15、向量的秩:极大没关中向量的个数成向量的秩比：矩的秩:非零子式的最高数★注:向量α1，α2，⋯，αs的秩与矩A=（α1，α2，⋯，αs）的秩相等★16、极大性没关的求法1）α1，α2，⋯，αs抽象的：定法2）α1，α2，⋯，αs数字的：（α1，α2，⋯，αs）→初等行→梯型矩每行第一个非零的数的列向量构成极大没关（五）向量空.学习参照.......17、基（就是极大性没关）公式：若α1，α2，⋯，αn与β1，β2，⋯，βn是n向量空V的两基，基公式（β，⋯，β）n=（α1，α2，⋯，α）nCn×n1，β2其中，C是从基α1，α2，⋯，αn到β1，β2，⋯，βn的渡矩。C=（α1，α2，⋯，αn）-1（β1，β2，⋯，βn）18、坐公式：向量γ在基α1，α2，⋯，αn与基β1，β2，⋯，βn的坐分x=（x1，x2，⋯，xn）T，y=（y1，y2，⋯，yn）T，，即γ=x1α1+x2α2+⋯+xnαn=y1β1+y2β2⋯+ynβn，坐公式x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基α1，α2，⋯，αn到β1，β2，⋯，βn的渡矩。C=（α1，α2，⋯，αn）-1（β1，β2，⋯，βn）（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化α1，α2，α3性没关1）正交化令β1=α1（2）位化.学习参照.......线性方程组（一）方程的表达形与解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，⋯，αn）2、解的定：若η=（c1，c2，⋯，cn）T足方程Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）（二）解的判断与性3、次方程：1）只有零解←→r（A）=n（nA的列数或是未知数x的个数）2）有非零解←→r（A）＜n4、非次方程：1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-12）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n3）无多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性：1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，ξ+η是Ax=b的解3）若η1，η2是Ax=b的解，η1-η2是Ax=0的解.学习参照.......【实行】12s是Ax=b的解，k1η1+k2η2⋯sηs（1）η，η，⋯，η++kAx=b的解（当Σki=1）Ax=0的解（当Σki=0）（2）η1，η2，⋯，ηs是Ax=b的s个性没关的解，η2-η1，η3-η1，⋯，ηs-η1Ax=0的s-1个性没关的解。式：①η1-η2，η3-η2，⋯，ηs-η2②η2-η1，η3-η2，⋯，ηs-ηs-1（三）基解系6、基解系定：1）ξ1，ξ2，⋯，ξs是Ax=0的解2）ξ1，ξ2，⋯，ξs性相关3）Ax=0的所有解均可由其性表示→基解系即所有解的极大没关注：基解系不唯一。任意n-r（A）个性没关的解均可作基解系。★7、重要：（明也很重要）A施m×n矩，B是n×s矩，AB=O1）B的列向量均方程Ax=0的解2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）8、：基解系的求法（1）A抽象的：由定或性凑n-r（A）个性没关的解.学习参照.......（2）A数字的：A→初等行→梯型自由未知量分取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量获取基解系（四）解的构（通解）9、次性方程的通解（所有解）r（A）=r，ξ1，ξ2，⋯，ξn-rAx=0的基解系，Ax=0的通解k1η1+k2η2+⋯+kn-rηn-r（其中k1，k2，⋯，kn-r任意常数）10、非次性方程的通解r（A）=r，ξ，ξ，⋯，ξAx=0的基解系，ηAx=b的特解，12n-rAx=b的通解η+k1η1+k2η2+⋯+kn-rηn-r（其中k1，k2，⋯，kn-r任意常数）（五）公共解与同解11、公共解定：若是α既是方程Ax=0的解，又是方程Bx=0的解，称α其公共解12、非零公共解的充要条件：方程Ax=0与Bx=0有非零公共解←→有非零解←→13、重要（需要掌握明）1）A是m×n矩，次方程ATAx=0与Ax=0同解，r（ATA）=rA）2）A是m×n矩，r（A）=n，B是n×s矩，次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）.学习参照.......特色值与特色向量一）矩的特色与特色向量1、特色、特色向量的定：An矩，若是存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩A属于特色λ的特色向量。2、特色多式、特色方程的定：|λE-A|称矩A的特色多式（λ的n次多式）。|λE-A|=0称矩A的特色方程（λ的n次方程）。注:特色方程能够写|A-λE|=03、重要：（1）若α次方程Ax=0的非零解，Aα=0·α即，α矩A特色λ=0的特色向量（2）A的各行元素和k，(1，1，⋯，1)T特色k的特色向量。（3）上（下）三角或主角的矩的特色主角各元素。△4、：特色与特色向量的求法（1）A抽象的：由定或性凑（2）A数字的：由特色方程法求解5、特色方程法：（1）解特色方程|λE-A|=0，得矩A的n个特色λ1，λ2，⋯，λn注：n次方程必有n个根(可有多重根，写作λλ⋯λ数，不能够省略)1=2==s=2）解次方程（λiE-A）=0，得属于特色λi的性没关的特色向量，即其基解系（共n-r（λiE-A）个解）.学习参照.......6、性：1）不相同特色的特色向量性没关2）k重特色最多k个性没关的特色向量1≤n-r（λiE-A）≤ki3）A的特色λ1，λ2，⋯，λn，|A|=Πλi，Σλi=ΣaiiT（4）当r（A）=1，即A=αβ，其中α，β均n非零列向量，A的特色λTT1=Σaii=αβ=βα，λ2=⋯=λn=0（5）α是矩A属于特色λ的特色向量，fA（A）fλ（λ）αα（二）相似矩7、相似矩的定：

AAP-1AP（相T-1A*似）λλ|A|λ-1λ-1/ααP-1αA、B均n矩，若是存在可逆矩P使得B=P-1AP，称A与B相似，作A~B8、相似矩的性（1）若A与B相似，f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，A与C相似3）相似矩有相同的行列式、秩、特色多式、特色方程、特色、迹（即主角元素之和）.学习参照.......【实行】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：若是A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ，=称A可相似对角化。注：Aαλα（α≠，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特色值λ的特i=iii0i征向量10、相似对角化的充要条件1）A有n个线性没关的特色向量2）A的k重特色值有k个线性没关的特色向量11、相似对角化的充分条件：1）A有n个不相同的特色值（不相同特色值的特色向量线性没关）2）A为实对称矩阵12、重要结论：1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特色值的个数，n-r（A）为零特色值的个数2）若A不能相似对角化，r（A）不用然为非零特色值的个数四）实对称矩阵13、性质.学习参照.......1）特色全数2）不相同特色的特色向量正交3）A可相似角化，即存在可逆矩P使得P-1AP=Λ4）A可正交相似角化，即存在正交矩Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ二次型（一）二次型及其准形1、二次型：1）一般形式2）矩形式（常用）2、准形：若是二次型只含平方，即f（x1，x2，⋯，xn）=d1x12+d2x22+⋯+dnxn2的二次型称准形（角）3、二次型化准形的方法：（1）配方法：通可逆性x=Cy（C可逆），将二次型化准形。其中，可逆性及准形通先配方再元获取。★（2）正交法：通正交x=Qy，将二次型化准形λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2其中，λ1，λ2，⋯，λn是A的n个特色，QA的正交矩注:正交矩Q不唯一，γi与λi即可。（二）性定理及范形4、定：.学习参照.......正性指数：准形中正平方的个数称正性指数，p；性指数：准形中平方的个数称性指数，q；范形：f=z12+⋯zp2-zp+12-⋯-zp+q2称二次型的范形。5、性定理：二次型无取怎的可逆性准形，其正性指数不。注：（1）由于正性指数不，因此范形唯一。2）p=正特色的个数，q=特色的个数，p+q=非零特色的个数=rA）三）合同矩6、定：A、B均n称矩，若存在可逆矩C，使得B=CTAC，称A与B合同△7、：n称矩A、B的关系1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特色2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正性指数←→相同的正特色的个数3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：称矩相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩8、正定的定二次型xTAx，若是任意x≠0，恒有xTAx＞0，称二次型正定，并称称矩A是正定矩。.学习参照.......9、n元二次型xTAx正定充要条件：1）A的正惯性指数为n2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E3）A的特色值均大于04）A的序次主子式均大于0（k阶序次主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型xTAx正定必要条件：1）aii＞02）|A|＞011、总结：二次型xTAx正定判断（大题）1）A为数字：序次主子式均大于02）A为抽象：①证A为实对称矩阵：AT=A；②再由定义或特色值判断12、重要结论：1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定.学习参照.......线性代数行列式经典例题例1计算元素为aij=|i－j|的n阶行列式.解方法1由题设知，a=0，a1，,a1nn1,，故111201n101n1Dn10n2riri1111in,n1,,2n1n20111cjcnj1,,n1

n1nn1021(1)n12n2(n1)020001其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．01n1111方法2Dn10n2riri1111i1,2,,n1n1n20n1n20100cjc1120=(1)n12n2(n1)j2,n,n12n3n1例2.设a,b,c是互异的实数,证明:的充要条件是a+b+c=0.证明:察看范德蒙行列式:.学习参照.......=行列式即为y2前的系数.于是=因此的充要条件是a+b+c=0.x100例3计算Dn=0x10anan1an2xa1解：方法1递推法按第1列张开，有1x1Dn=xDn1+（－1）n1an

x1=xDn1+anx1n1由于D1=x+a1，D2x1a2x，于是Dn=xDn1+an=x（xDn2+an1）+an=xa12Dn2+an1x+an==xn1D1+a2xn2++an1x+an=xna1xn1an1xan方法2第2列的x倍，第3列的x2倍，，第n列的xn1倍分别加到第1列上.学习参照.......0100cxcx2x10Dn00x0anxan1an1an2xa101000cx2c30x1001x30x10anxan1x2an2an1an2an3xa1011x1x按rn张开==1x=(1)n1f1fxx1n1xna1xn1an1xan方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式．1c2xc11c3xc2Dn

x0000x0000x0cn1c1xnanan1ananan1an2knxxx2按cn张开xn1kn=xn1anan1++a2+a1+x)(+xxn1xn2=anan1xa1xn1xn1000按r张开x100方法4Dnn(1)n1an+00x1.学习参照.......x000x100(1)n2an10100++(1)2n1a20x0000x10001x100+(1)2n(a1x)0x00000x=（－1）n1（－1）n1an+（－1）n2（－1）n2an1x++（－1）2n1（－1）a2xn2+（－1）2n(a1+x)xn1=anan1xa1xn1xn例4．计算n阶行列式：a1b1a2anDna1a2b2an(b1b2bn0)a1a2anbn解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素a1,a2,,an，可在保持原行列式值不变的状况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．1a1a2an1a1a2an0abaar2r11b00升阶112nr3r11Dn0a1a2b2an10b20rn1r10a1a2anbn100bn1a1a1a1a2anb1b1c11cjbj10b100a1anb1b2)00b2=bn(1bnj2,,n10b1000bn这个题的特别状况是.学习参照.......a1xa2ana1a2xan=xn1(xnai)Dni1a1a2anx可作为公式记下来．例5．计算n阶“三对角”行列式000100Dn=01＋000001解方法1递推法．0000按c1张开100Dn()Dn1—0001(n1)按r1张开()Dn1－Dn2即有递推关系式Dn=()Dn1－Dn2(n3)故DnDn1＝(Dn1Dn2)递推获取DnDn1＝(Dn1Dn2)＝2(Dn2Dn3)＝＝n2(D2D1)而D1()，D2＝α+βαβ＝22，代入得DnDn1n1α+βDnn（2.