集合知识点总结及习题(教师版)

PAGE1PAGE1集合一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3．元素与集合的关系——（不）属于关系（1）集合用大写的拉丁字母A、B、C…表示元素用小写的拉丁字母a、b、c…表示（2）若a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A;若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作aA;4.集合的表示方法：列举法与描述法。（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法格式：{a,b,c,d}适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。格式：{x|x满足的条件}例如：{xR|x-3>2}或{x|x-3>2}适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N={0,1,2,3，…}正整数集N*或N+={1,2,3，…}整数集Z{…，-3，-2，-1，0,1,2,3，…}有理数集Q实数集R有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示例如：语言描述法：{不是直角三角形的三角形}Venn图:4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x∈R|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集定义：若对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，记为（或BA）注意：①有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。②符号∈与的区别反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B定义：如果AB同时BA那么A=B实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”3.真子集:如果AB,且存在元素x∈B,但xA,那么就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)4.性质①任何一个集合是它本身的子集。AA②如果AB,BC,那么AC③如果AB同时BA那么A=B5.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）SA记作，即SACSA=韦恩图示SSA性质AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAB﹤＝﹥AB=AAA=AAΦ=AAB=BAABＡABBAB﹤＝﹥AB=B(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．1.1集合的含义与表示1.1.1集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素a属于集合A，记做a∈A，反之，元素a不属于集合A，记做aA。1.1.2集合中的元素的特征：①确定性：如世界上最高的山；②互异性：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}；③无序性：如集合{a、b、c}和集合{b、a、c}是同一个集合。1.1.3集合的表示方法：①列举法；②描述法；③Venn图；④用数轴表示集合。常用数集及记法有非负整数集（即自然数集）正整数集整数集有理数集实数集NN+或N*ZQR1.1.4集合的分类：①根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。②根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。本节精讲：如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。（1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；（2）方程x2=4的实数根；（3）平面内所有的直角三角形；（4）正方形的全体；（5）∏的近似值的全体；（6）平面集合中所有的难证明的题；（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系中x轴上方的所有点。练习：考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：平面直角坐标系内x轴上方的一些点；平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点；一元二次方程x2+bx-1=0的根；平面内两边之和小于第三边的三角形y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a≠0)；2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；新华书店中有意思的小说全体。二．有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。例：集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1},(A、B中x∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（）A、2∈A，且2∈BB、（1,2）∈A，且（1,2）∈BC、2∈A，且（3,10）∈BD、（3,10）∈A，且2∈B解：C练习：3.1415Q；∏Q；0R+；1{（x,y）|y=2x-3}；-8Z；三．有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质:分别是①确定性②互异性③无序性例：集合A是由元素n2-n，n-1和1组成的，其中n∈Z，求n的取值范围。解：n是不等于1且不等于2的整数。练习:已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},a≠0,且M与N中的元素完全相同，求d和q的值。已知集合A={x，,1},B={x2,x+y,0}，若A=B，则x2009+y2010的值为，A=B=.(1)若-3∈{a-3,2a-1,a2-4}求实数a的值；(2)若∈{m},求实数m的值。4.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b2}，且M=N,求a,b的值。5.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}，(1)若A中只有一个元素，求a的值；(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围。四．集合的表示法：三种表示方法练习；用列举法表示下列集合。方程x2+y2=2d的解集为；x-y=0（2）集合A={y|y=x2-1,|x|≤2,x∈Z}用列举法表示为；（3）集合B={∈Z|x∈N}用列举法表示为；（4）集合C={x|=+，a，b是非零实数}用列举法表示为；2.用描述法表示下列集合。（1）大于2的整数a的集合；（2）使函数y=有意义的实数x的集合；（3）{1、22、32、42、…}3.用Venn图法表示下列集合及他们之间的关系：（1）A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；（2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为，用Venn图表示为：。五．有关集合的分类：六．集合概念的综合问题：练习若，则t的值为_____________；设集合A={y|y=x2+ax+1，x∈R},B={(x,y)|y=x2+ax+1,x∈R},试求当参数a=2时的集合A和B；已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},求（1）若集合A为空集，则a的取值范围；（2）若集合A中只有一个元素，求a的值，并写出集合A；（3）若集合A中至少有一个元素，则a的取值范围。1.2集合间的基本关系1.2.1子集：一般地，两个集合A和B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记做AB（或BA）,读作“A包含于B”（或“B包含A”）。比如说，集合A={1、2、3}，集合B={1、2、3、4、5}，那么，集合A中的元素1、2、3都属于集合B，所以，集合A为集合B的子集，记做AB（或BA）。1.2.2集合相等：如果集合AB且BA时，集合A中的元素与集合B中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B相等，记做A=B。或AB。1.2.3真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集。记作：AB（或BA）也可记作：（或）1.2.4空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做，并规定：空集是任何非空集合的子集（当然 是真子集）本节精讲：集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手：若集合AB且BA时，则A=B；反之，如果A=B，则集合AB且BA。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲要证明A=B，只需要证明AB和BA都成立就行了。两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。例：若集合，，且满足，求实数的取值范围.练习：1.已知，且，求实数p、q所满足的条件.2.若，则（）.A.B.C.D.已知集合P＝｛x|x2＋x－6＝0｝与集合Q＝｛x|ax＋1＝0｝，满足Qeq\o(≠,\s\up9())P，求a的取值组成的集合A。有关子集以及子集个数的问题：例1：判定以下关系是否正确(2){1，2，3}＝{3，2，1}(4)0∈{0}（5）={0}（6）∈{0}解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．例2：列举集合{1，2，3}的所有子集．分析：子集中分别含1，2，3三个元素中的0、1、2或者3个．解：含有0个元素的子集有：含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．例3：已知{a、b}A{a、b、c、d},则满足条件集合A的个数为________．分析：A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}子集，所以满足条件的A有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a、b、c、d}。解：共3个．例4：设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是。解：A例5：已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C．练习：1.已知集合A={1,3，a},B={1,a2-a+1},且AB，求a的值。2．已知集合A={x∈R|x2＋3x＋3=0}，B={y∈B|y2－5y＋6=0}，3．已知集合A={x|x=a2＋1，a∈N}，B={x|x=b2－4b＋5，b∈N}，求证：A=B。1.3集合的基本运算1.3.1并集：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作“A并B”).即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。如图1-3-1所示。例如，设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.解:A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}UCUA再比如说，设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3}，求UCUAA解:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}A图1-3-1图1-3-2图1-3-31.3.2交集：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。如图1-3-2所示。例如，设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∩B.解:A∩B.={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}再比如说，新华中学开运动会,设A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求A∩B.解:A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.1.3.3补集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集.，如图1-3-3所示。例如，设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}，B={3,4,5,6},求CuA,CuB解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CuA={4,5,6,7,8}；CuB={1,2,7,8}.1.3.5集合中，一些常用的运算性质：本节精讲有关两个集合的并集、交集的问题11．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.12．已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋1}，当A＝{2}时，集合B＝________.13．(胶州三中2009～2010高一期末)设A＝{x|x2－px＋15＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，则p＝______；q＝______；r＝______.三、解答题14．已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围．(2)若A∪B＝B，a的取值范围又如何？15．设集合M＝{1,2，m2－3m－1}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，求m.16．已知A＝{1，x，－1}，B＝{－1,1－x}．(1)若A∩B＝{1，－1}，求x.(2)若A∪B＝{1，－1，eq\f(1,2)}，求A∩B.(3)若B⊆A，求A∪B.当x＝eq\f(1,2)时，A∪B＝{1，eq\f(1,2)，－1}．17．某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人