边坡稳定性计算方法的改进

边坡稳定性计算方法的改进

1基于一般形状滑动面边坡稳定性计算方法极端平衡分布法是分析斜坡稳定性的主要方法。传统条分法已有十几种之多，它们之间区别在于对条块间作用力假设与所需满足的平衡条件。对于一般形状滑动面，理论与工程界均认为须采用严格的条分法，即条块满足所有平衡条件，才能得到较为合理的安全系数。Morgenstern–Price法(Spencer法是其特例)和严格Janbu法(简化Janbu法不满足力矩平衡条件)是广为采用的严格条分法。对于有陡倾不连续面切割的岩体边坡，基于斜条块的Sarma法被公认为最合适的方法。Morgenstern–Price法、严格Janbu法及Sarma法是最为著名的基于一般形状滑动面边坡稳定性计算方法。Morgenstern–Price法的基本假设是：条块间的法向力与剪切力的比值用条间力函数f(x)与1个待定比例系数λ的乘积表示。根据条块力与力矩平衡条件，得到其中含有安全系数Fs和比例系数λ这2个未知数的2个平衡方程。由于这个方程组具有高度非线性，Fs和λ的求解过程相当复杂。尽管一些学者提出各种各样的迭代方法来进行求解，但仍难被一般工程技术人员掌握，这也是MorgensternPrice法在我国边坡工程界不被普及的主要原因。严格Janbu法系指Janbu最初提出的普遍条分法，它假定了条间力作用点的位置，也就是推力线的位置，通过分析微小条块的力矩平衡得到水平和垂直条间力之间的关系，将这个关系式代入力的平衡方程，经过几次迭代计算出安全系数。严格Janbu法的致命缺点是不易收敛，特别是条块数超过20时几乎得不到收敛解答。然而，严格Janbu法最突出的优点不应被忽略，那就是关于推力线的假设比关于条间力倾角的假设要合理些，因为大多数情况下，推力线的位置可以假定位于条块面中点和下三分之一点之间。Sarma法是基于斜条块的边坡稳定性计算方法，它认为斜条块间的剪切强度与滑动面剪切强度被一致调用；并假设滑体受水平地震力作用，然后根据条块的力平衡条件，通过复杂推导，得到边坡临界地震影响系数Kc的解析表达式，再通过迭代方式求解边坡在实际震动影响系数下的边坡安全系数。Sarma法公式较为繁琐，其推导过程非常复杂，求解安全系数过程并不特别方便。本文基于以上3种边坡稳定性计算方法的基本假设，重新推导出简单明了的极限平衡方程，建立易于编程的安全系数计算格式，同时，采用一定的改进措施，使所有方法均能稳定快速收敛，推动这3种方法在边坡工程中更广泛地应用。2提高价格法2.1计算应力函数图1(a)为1个具有任意形状滑动面的边坡，作用于滑体上力有：自重、地震力、水压力和表面荷载。将滑体划分成许多垂直条块，其典型条块如图1(b)所示，其高度为hi、宽度为bi、底面倾角为αi。第i个土条受如下8组力：(1)条块的自重Wi;(2)地震力KcWi,Kc为地震影响系数；(3)外力Qi，与竖直方向成ωi角(图中所示为正)；(4)水压力的合力Ui,Ui=uibisecαi,ui为平均水压力；(5)滑动面上有效法向力Ni′；(6)调用的抗剪强度Si,iS=(Ni′tanϕi′+ci′bisecαi)/Fs，ϕi′和ic′分别为有效摩擦角和沿滑动面的粘聚力，Fs为安全系数；(7)条块间法向力Ei和Ei-1，与底面的垂直距离分别是zi和zi-1;(8)条块间的剪切力λfiEi和λfi-1Ei-1。现考察第i个条块的受力平衡。沿垂直与滑动面方向将力进行分解，得沿平行与滑动面方向将力进行分解，得将式(1a)代入式(1b)得其中，式中：Ri为除条间力之外的条块上所有力所提供的抗剪力之和，Ti为所有力产生的下滑力之和。则式(2)可变为其中，根据端部条件：E0=0,En=0，再由式(4)推导安全系数Fs的表达式为式(6)为隐式方程，因为变量sF在两边都出现，因此需要用迭代方法求解。现在考虑第i个条块的力矩平衡，对条块基底中心取力矩为设式中：Mi,Mi-1为条间力矩。将式(8)代入式(7)，得同样有M0=0,Mn=0。根据力矩平衡方程可以解出比例系数λ：2.2计算过程上述安全系数计算过程见图2。2.3动面和水压力组合选取一个经典算例来进行计算比较，边坡剖面与土层参数如图3所示。考虑6种计算工况，分别代表6种滑动面和水压力组合。安全系数计算与比较见表1。由表1可见，对于圆弧滑动面，用改进的方法计算得到的安全系数与文的计算结果是一致的。对于非圆弧滑动面，两者之间存在一些几乎可以忽略的微小差异。从表1和图4还可以清楚的看出，迭代不到10次就可以得到Fs和λ的收敛值，并且精度可以达到0.0001。3严格改进邹丁法3.1下垫面为水平、垂直面的级滑体的条间力如图5(a)所示边坡具有任意形状滑动面。将滑体划分成n个条块，其典型条块如图5(b)所示。除重力外，滑块还分别受水平地震力(地震影响系数为Kc)、水平和垂直超载qx和qy、端部力E1,X1,En+1和Xn+1。条间力的作用点构成了通过滑体的推力线。考虑高度为hi、宽度为bi、条底倾角为αi的第i个条块，如图5(b)所示。以条底中点为中心求力矩，可得式中：Ei,Ei+1,Xi,Xi+1分别为水平和垂直条间力，分别作用于距条底高度为zi和zi+1的上、下边界上；Qix为作用于坡面的水平外力。上式(11(a))还可表示为当ib趋于无穷小时，上面力矩平衡方程可表示为式中：w(x)为单位宽度条块的重量。式(12)又可表示为其中，式(13)通过力矩平衡条件将水平条间力和垂直条间力联系起来。3.2条底有效运动由于式(13)已自动满足力矩平衡条件，因此，只需考虑力的平衡条件。根据莫尔–库仑破坏准则，作用于条底的剪力Si为式中：Ni′为作用于条底的有效法向力；ϕi′，ci′分别为条底的有效内摩擦角和粘聚力。考虑第i个条块力平衡以及力矩平衡(式(13))，得将式(16)代入式(17)并结合式(15)可得其中，根据条间力递推关系(式(18))，最终的端部力为安全系数表示为需要指出的是，式(21)为隐式方程，因为右边也含有未知数sF，因此，需要用迭代方式求解sF。如端部力为0，即E1=En+1=0，则式(21)可简化为3.3条间力学性能的检验从式(19(b))，(19(c))可以看出，在计算安全系数Fs的迭代过程中要涉及到(Mi′-M′i+1)的计算。如果条块的宽度足够小，这个量可以用Mi′，i+1bi近似表示，即涉及到条间力矩的二阶导数。传统做法是用有限差分法计算条间力矩的一阶、二阶导数，即在迭代过程中，条间力E值不断得到改进，而推力线高度z是固定的。条间力矩M是连续的，但不可能是光滑的。如果条宽太小或条块的数量太大，M的一阶导数M′将不再连续，因此，M的二阶导数M′没有意义。这样得到的M值误差将急剧增大，不可避免地出现不收敛。因此可得出结论：为了使结果收敛，条间力矩M的分布不仅要连续，而且要足够的光滑，使得M的二阶导数有意义。为了满足这个要求，在进行条间力矩近似数值计算时，建议使用三次样条函数。首先，需要确定分布在滑体内3个点的推力线高度，如图6所示，而不是假定通过整个滑体推力线位置。为了避免混淆，条间力矩的近似数值被记作Φ(x)。对于两端点，Φ(x)是已知的，并且它的导数可以用式(13)计算求得对于滑块内的其他3点，Φ2，Φ3和4Φ分别依赖于E2,E3和E4的值，这些值在前几次迭代中不断变化最终达到收敛。知道了Φ1，Φ1′，Φ2，Φ3，Φ4，Φ5和5Φ′的值，就可以建立条间力矩近似分布的三次样条函数。设则在区间[xi,xi+1]上的样条函数可表示为而Φ(x)的一阶、二阶导数可表示为综合上述方程，可得考虑到Φ′(x)的连续性：可以得到设i=2,3,4，可得联立求解上述方程，可以得到2Φ′，3Φ′和4Φ′。通常取则求解过程大为简化，式(31a)，(31b)，(31c)可简化为解上面方程组，可得将这些值代入式(26)～(28)，就可直接得到条间力矩值和滑体内任一点的一阶、二阶导数值。以上计算方法的流程如图7所示。3.4不同推力线位置该算例有2个滑动面：圆弧滑动面和任意形状滑动面，如图8所示。边坡由4个土层组成，它们的物理力学指标见表2。第3,4层土之间的强度参数采用第3层土的指标。地震影响系数为0.1。推力线两端的高度等于0，并指定其他3个点的高度等于条高的1/2或1/3。共考虑4种推力线位置，以期涵盖真实推力线的可能位置。整个滑体被离散成100个垂直条块，相邻2步之间的误差为0.001。2个滑动面的计算结果分别列于表3和4。结果显示，用改进的方法程序计算安全系数只需迭代6,7次就能收敛。而且，不同的推力线位置对应的安全系数值几乎相等，对圆弧和非圆弧滑动面，差异分别约3%和5%。用Morgenstern–Price方法计算求得的安全系数值也列于表3和4。只要结果收敛，在得到内力大小以后，就可以计算出通过滑体的推力线最终位置，如图9所示。这些推力线象预期的那样刚好通过指定的点；同时也可看出，圆弧滑动面的推力线相当光滑，类似一条三次样条线。然而，对于非圆弧滑动面，推力线的形状不再光滑。4sama法的改进4.1粘聚力与平均有效内摩擦角图10为被n个斜条块分割的滑体，其中典型条块i有关参数如下：几何尺寸：底面倾角为αi，底面长度li，上、下侧面长度为lsi-1,lsi；上、下侧面倾角(与垂直面夹角，图示为正)为δsi-1，δsi。力学指标：底面有效粘聚力与有效内摩擦角ci′，ϕi′；上、下侧面的平均有效粘聚力与平均有效内摩擦角cs′i-1，ϕs′i-1,cs′i，ϕs′i。作用力：条块的自重为iW；地震力为KciW,Kc为水平地震影响系数；加固力为KpPi，与水平方向夹角为iω(图示为正)，Kp为加固力系数；底面水压力合力为Ui；上、下侧面水压力合力为Usi-1,Usi；底面法向力与剪切力合力为Ni,Si；上、下侧面法向力与剪切力合力为Nsi-1,Tsi-1,Nsi,Tsi。设边坡安全系数为Fs，滑面与条块侧面抗剪强度均按此系数折减为将条块侧面的法向与切向作用力Nsi,Tsi转换为等效的水平与垂直力Esi,Xsi。由Mohr-Coulomb准则和有效应力原理得可见Nsi,Tsi与Esi,Xsi的关系为将式(36)代入式(37(b))得等效水平力Esi与等效垂直力Xsi的关系为令则式(38)变为式(40)相当于基于斜条块的Sarma法对条块间作用力关系的假设，由此式出发推导相应的安全系数计算公式就非常方便了。4.2系数计算公式为分别考虑条块i在垂直和平行于条块底面方向的力的平衡方程为4.3临界地震影响系数根据式(35)，将推力递推方程式(48)改写为式(55)可简写为其中，同样，根据端部条件：E0=0,En=0，得到临界地震影响系数计算公式为式(61)为显式公式，给定安全系数可直接计算临界地震影响系数Kc。式(61)与Sarma法原始公式实质上是等价的，但有关参数计算明显简化，推导过程也极为明晰，更方便于应用。4.4临界加固力系数其中，传递系数的计算同式(57)，(58)。同理，可推导出临界加固力系数的显式计算公式为利用式(65)可直接计算边坡满足指定安全系数要求的加固力大小，便于边坡加固设计。5优化计算方法的建立Morgenstern–Price法是国际公认的计算任意形状滑动面安全系数最好的条分法，但由于求解过程相对复杂，一般边坡设计人员不能掌握，因此，在工程中推广应用受到限制，特别在我国边坡工程界，该方法没有得到应有的重视。本文基于Morgenstern–Price法对条间力作用方式的基本假设，推导出形式简单的条间力与条间力矩递推公式，分别得到关于安全系数Fs和比例系数λ计算表达式，通过简单的迭代求解可迅速得到稳定性收敛的安全系数。由于改进后的Morgenstern–Price法使计算过程大为简化，一般工程技术人员可自行编制程序，可在工程中大力推广应用。严格Janbu法在边坡理论发展史上曾起着重要的作用。该方法最明显的优点就在于通过力矩平衡条件建立了水平和垂直内力之间的关系，计算过程简单明了，可以手工计算。然而，在应用计算机计算时，由于采用较多条块，频繁出现不收敛。研究表明，不收敛的根本原因是由于条间力矩一阶导数的不连续性造成的。为了解决这个问题，用三次样条函数作为通过滑体的条间力矩分布。算例表明，改进后的严格Janbu法计算格式完全可以收敛，且不受