数形结合思想在高中物理中的应用

数形结合思想在高中物理中的应用

数学与形式的结合是高中生解决问题的重要指导思想。它主要基于数字和形式之间的对应关系，通过数字和形式的相互转化来解决数学问题的思维方法。它是数学科学中最常见、最实用、最有价值的思想方法,在整个数学科学中具有深刻而广泛的影响。“数”和“形”是数学问题中两个最基本的概念。数是形的抽象概括,形是数的直观表现,它们既是对立的,又是统一的:每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。运用数形结合思想解题,包含两方面的内容:一是运用代数、三角知识,根据数量的结构特征,构造出相应的几何图形,化为几何问题,从而利用数与形的辨证统一关系去处理几何图形的问题;二是运用几何知识,通过对图形性质的研究,去解决数量关系的问题。即在解决代数问题时,对有明显几何意义的等式、代数式等,转换成函数图象或其他曲线,利用它的图形、性质,找到解题思路;或者在解决几何问题时,利用代数的性质,实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化抽象为直观,化难为易。即既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式的巧妙和谐地结合起来,使问题得到解决的思想方法。利用数形结合的思想方法解题的过程一般如下:1.迅速作出揭示问题本质的草图或示意图。2.由数联想形,对图形进行分析综合,找出解题思路。3.由图形的几何特征找出数量关系,简化解题过程。4.从分析题中的数量关系来确定题中图形的几何特性,抓住解题的关键。5.密切结合立体图形与平面图形,计算快速准确。6.从所给图形充分挖掘题中的隐含条件,掌握解题的钥匙。数形结合的两个主要方面:以形助形,以数解形。(1)以形助数的体现:利用曲线方程解题;“利用直线的斜率”;“单位圆”,“点到直线的距离”,“平行线间的距离”,“直线的截距”,“平行线间的距离”,“直线的方程”,利用函数的图象,利用向量运算,利用“三角形三边的关系”;利用勾股定理构图。(2)以数解形的体现:向量坐标运算;立体几何中空间向量坐标运算;平面解析几何。应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化:集合的运算及文氏图;函数及其图象;数列通项及求和公式的函数特征及函数图象;直线的方程及曲线的方程(二元方程)。以形助数常用的有:借助数轴;函数图象,单位圆,直线的有关概念,三角形.总之,无论是解析几何、立体几何、函数问题,无法入手时尽量与”形”联系。下面就数形结合解不等式、判断方程的根的个数、求函数的最值解及其他问题略举几例。一、x+k.2.2例关于x的不等式组x2-x-2>02x2+(2k+5)x+5k<0的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围。解:不等式x2-x-2>0的解集为:{x|x>2或x<-1};不等式2x2+(2k+5)x+5k<0可化为:(x+k)(2x+5)<0,因为-2是该不等式的解,则解集为:{x|-5/2<x<-k或x<-1};因为不等式组的整数解的集合为{-2},结合数轴,-k应比-2大而小于或等于3。即:-2<-k≤3,则实数k的取值范围[-3,2)。〖说明〗此处-k应比-2大而小于或等于3的“小于或等于3”应特别注意理解。因为在区间[-1,3]内即使不等式有解,也不会引起整数解的变化,但当-k比3大时,则会产生整数解3,故-k应比-2大而小于或等于3。二、b有例已知t>0,关于x的方程,则这个方程有相异实根的个数是()。A.0或2个B.0或2或4C.0或2或3或4D.0或1或2或3或4分析:把原方程变形,有:的半径从小到大的变化过程中,交点个数依次是0或2或4或3或0个。选C。三、有两个定点ax,0到两个定点ax,5,2的意义例函数的最小值为___。提示:原函数y=姨(x+3)2+16+姨(x-5)2+4的几何意义是:动点C(x,0)到两个定点A(-3,4)、B(5,2)的距离之和,结合图形,设B关于x轴的对称点是点D(5,-2),则AC+BC=AC+CD≥AD=10,易得ymin=10。四、掌握数形并感的关系例1当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是_____。分析:令f(x)=x2+mx+4,画其草图,当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则f(1)≤0且f(2)≤0,得m≤-5,故m的取值范围是(-∞,-5]。例2已知a,b满足等式(1/2)a=(1/3)b,下列五个关系式:其中不可能成立的有()。A.1个B.2个C.3个D.4个分析:在同一坐标系下画y=(1/2)x和y=(1/3)x的图象,若a,b满足等式(1/2)a=(1/3)b=k,不可能成立的有0<b<a和b<a<0,选B。例3已知圆C:(x+2)2+y2=1,M(x,y)为圆C上任意一点,求(y-2)/(x-1)的最大值和最小值.分析:代数式(y-2)/(x-1)的几何意义表示动点(x,y)与定点(1,2)的斜率,(y-2)/(x-1)的最大值和最小值分别是KPA,KPB,即直线过点P且与圆C相切的两直线的斜率,或圆心(-2,0)到过点P的直线的距离