大学高等出版社力学例题练习全集(考试复习自学必备)

例1．在深海爆炸中，爆炸后形成的流的振荡周期有以下关系：其中，K是一无量纲的常数，是冲压力，是水密度，E是爆炸的总能量，试求T的表达式（即求出A、B、C）例1．在深海爆炸中，爆炸后形成的气流的振荡周期有以下关系：其中，K是一无量纲的常数，是冲压力，是水密度，E是爆炸的总能量，试求T的表达式（即求出A、B、C）解：解之得：{{解：(1)先写参数方程[例1].已知质点的运动方程求：(1)质点的轨迹。

(2)t=0及t=2s时，质点的位置矢量。(2)位置矢量

t=0时，x=0y=2r=2jt=2时，x=4y=-2r

=4i–2jxPy42Q-2O§2.1质点的运动学方程位置矢量的大小位置矢量的方向xPy42Q-2O§2.1质点的运动学方程与的夹角与的夹角[例2].

求例1中P、Q两点间的位移和路程。解：(1)位移大小：方向：xPy42Q-2O§2.1质点的运动学方程dxdyds(2)路程xPy42Q-2O§2.1质点的运动学方程

[例1]:质点的运动方程：

求：（1）质点第一秒末的速度和加速度；（2）在

t=1秒到

t=3秒时间间隔内质点运动的平均速度和平均加速度。解：（1）t=1时:(2)

运动学第一类问题[例2]:一质点沿x轴作直线运动，其运动方程为已知：x=6t-t2

(SI)求：（1）质点在任意时刻t的速度和加速度；（2）简述质点运动情况；（3）求t=1秒到t=5秒间质点的位移和路程。解：（1）（2）

质点作匀减速直线运动，在t=3质点“回头”。本题是一维情况，用正负表示方向（3）

运动学第一类问题

[例3].一艘快艇在速率为

时关闭发动机，其加速度，式中k为常数，试证明关闭发动机后又行驶距离x时，快艇速率为：证明：

运动学第二类问题[例4]:一质点沿

x轴运动,其加速度

a与位置坐标的关系为

a=3+6x2(SI),如果质点在原点处的速度为零,试求其在任意位置

x

处的速度

v

。解:本题的关键是得出x

与

v的关系

运动学第二类问题[例5].

在离水面高h的岸上，有人用绳拉船靠岸，如图。设人以匀速率

收绳。试求:当船距岸边

时，船的速度和加速度的大小各是多少？解

建立坐标系如图

设任意时刻t，绳长为l，船处于x位置

收绳过程中满足关系

两边求导得收绳过程中l随时间减小

则船运动的速度为对速度求导即可得到船运动的加速度船做怎样的运动？加速？减速？思考

［例1］.

一质点沿半径为R的圆周运动，路程与时间的关系为求：(1)任意时刻t，质点加速度的大小和方向。

(2)什么时刻质点加速度的大小等于b，这时质点已转了几圈？解：质点的速率任意时刻PO

［例2］、一质点在oxy平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。已知ax=2,ay=36t2。设:质点t＝0时r0=0,v0=0。求：(1)此质点的运动方程；(2)此质点的轨道方程。(3)此质点的切向加速度.解：质点的运动方程为：(2)上式中消去t,得

y=3x2即为轨道方程可知是抛物线。注：若求法向加速度，应先求曲率半径。解：300A[例3]一物体作如图所示的斜抛运动，测得在A点处速度的大小为v，其方向与水平方向夹角成300，求物体在A点的切向加速度at；轨道的曲率半径。[例1].河水自西向东流动，速度为10km/h,一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30o,航速为20km/h。此时风向为正西，风速为10km/h。试求在船上观察到的风的速度。解：设水用S；风用F；船用C；岸用D已知：201010===csfdsdvvv正东正西北偏西30ovcsvfdvsd方向为南偏西30o。vcsvfdvsdvcdvfcvfdvsdvcd［例2］某人骑摩托车向东前进，其速率为10m

s-1时觉得有南风，当其速率为15m

s-1时，又觉得有东南风，试求风速度。解：取风为研究对象，骑车人和地面作为两个相对运动的参考系。作图15m

s-110m

s-1

45y(北)x(东)O根据速度变换公式得到：由图中的几何关系，知：风速的大小：风速的方向：为东偏北2634'15m

s-110m

s-1

45y(北)x(东)O2.打靶问题:如图,当子弹由坐标原点出射时,物体(目标)开始自由下落.问

多大时子弹恰好击中物体?子弹出射速率v0有无限制?试用运动学第一类问题和相对运动两种解法分别求解。yx0BHSv0A

解法一：由运动学方程求解，以地面为参考系，子弹A的位矢：B的位矢：击中相遇指在某一时刻t有yx0BHSv0A

解法二：用相对运动求解即A对B作匀速直线运动，为击中B，必须使枪口瞄准靶，即v0指向B，必须满足：

(二）、恒力作用下的直线运动问题

m1m2Tm1gTaam2g[例1]：图示为定滑轮装置,绳轮质量不计,绳伸长不计，轴处摩擦不计,已知重物m2>m1，求重物释放后物体加速度和绳中张力。可求得:解：以地为参考系，隔离m1,m2,对两个质点分别应用牛顿第二定律讨论：⑴验证二定律：⑵设m1、m2是两个质量均为m的人，他们自同一高度开始爬绳，谁先到达顶点？

㈢变力作用下的直线运动问题只讨论的线性情况[例2]：质点由静止在空气中下落，重力加速度g为常数，质点所受空气阻力与速率成正比f=-γv，求质点下落速度。

解：质点动力学方程为：

讨论：质点在空气中下落的终极速度。若没有空气，自由落体的速度两边乘dt/m[例3]有一密度为

的细棒，长度为l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为

的液体表面。现悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有粘性。xl解：以棒为对象，受力如图：xo

棒运动在竖直向下的方向，取竖直向下建立坐标系。

当棒的最下端距水面距离为时x，浮力大小为：此时棒受到的合外力为：利用牛顿第二定律建立运动方程：

要求出速度与位置的关系式，利用速度定义式消去时间积分得到[例3]如图长为的轻绳，一端系质量为的小球，另一端系于定点，时小球位于最低位置，并具有水平速度，求小球在任意位置的速率及绳的张力．解:

[例4]

设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比，即，为比例系数．抛体的质量为、初速为、抛射角为．求抛体运动的轨迹方程．解取如图所示的平面坐标系代入初始条件解得:

由上式积分代初始条件得：例1一质量为0.05kg、速率为10m·s-1的刚球,以与钢板法线呈45º角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来.设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力.解建立如图坐标系,由动量定理得方向沿轴反向

例2一柔软链条长为l,单位长度的质量为

.链条放在桌上,桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小孔周围.由于某种扰动,链条因自身重量开始落下.求链条下落速度与落下距离之间的关系.设链与各处的摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开.解：以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统,建立如图坐标由质点系动量定理得m1m2Oyy则则两边同乘以则m1m2Oyy又

例2：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条端点离地面的高度为x时，求手提力的大小。解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立坐标系。t时刻，系统总动量OXt时刻，系统受合外力OX系统动量对时间的变化率为：根据动量定理，得到

例3、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。oxx证明：取如图坐标，设绳长为.t时刻，系统总动量根据动量定理:而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mgt时刻，系统受合外力柔绳对桌面的冲力即：oxx

证明二：取如图坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为（Mdx/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化为：根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg柔绳对桌面的冲力即：［例1］已知三个质点的质量和位置坐标：m1=1,x1=-1,y1=-2；m2=2,x2=-1,y2=1；m3=3,x3=1,y3=2，求质心位置坐标xC,yC.解：据质心定义式

xy0-1m1-21m212m3Cθ

[例2]求半径为R的匀质半薄球壳的质心.RO解选如图所示的坐标系．在半球壳上取一如图圆环θRO

圆环的面积由于球壳关于y轴对称，故xc=0

圆环的质量θROθRO而所以其质心位矢：动力学30xyOx

dx二质心运动定律m1mim2c上式两边对时间t

求一阶导数，得再对时间

t求一阶导数，得根据质点系动量定理（因质点系内）

作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以质心的加速度——质心运动定律

[例]设有一质量为2m的弹丸,从地面斜抛出去,它飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直自由下落，另一个水平抛出，它们同时落地．问第二个碎片落地点在何处?COm2mmx

解：选弹丸为一系统，爆炸前、后质心运动轨迹不变．建立图示坐标系，COxCx2m22mm1xxC为弹丸碎片落地时质心离原点的距离cyCyyoF

例4

用质心运动定律来讨论以下问题．

一长为l、密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为

．将其卷成一堆放在地面．若手提链条的一端，以匀速v将其上提．当一端被提离地面高度为

y时，求手的提力．

解建立图示坐标系链条质心的坐标yc是变化的cyCyyoF竖直方向作用于链条的合外力为考虑到而得到由质心运动定律有cyCyyoF[例1]如图大炮质量M，炮弹质量m，炮筒长l

，仰角，炮弹出口速度

0

(相对于炮车)，且水平地面光滑。求：(1)炮车反冲速度V；(2)炮弹出口时，炮车移动的距离D。

VM对地

Ml

0(m对M)m

分析：过程：自点火

炮弹出口系统：

m

+M条件：地面坐标系（惯性系）中水平合外力为零

水平分动量守恒

VM对地

yMl

0(m对M)m

x解：(1)取如图坐标水平分动量守恒式

0=m

x+M(-V)该式中速度均为相对地面

x=

0cos

-V

为何此处不是

x=

0cos

?又代入守恒式V=()

0cos

mM+m(2)在过程中的任一时刻t都有m

x(t)–MVx(t)=0两边对

t积分末m

初

x(t)dt-M

初

Vx(t)dt=0末md-MD=0得式中d

=lcos

-D,为何不是d

=lcos

D=()lcos

mM+m将d代入得

VM对地

yMl

0(m对M)m

x讨论：系统动量是否守恒？

(1)由结果看系统初动量为零，点火前(2)由守恒条件看系统末动量不为零，如图系统末动量

p末m

弹末MV地面支持力N=(M+m)g

重力(M+m)g

点火后N>(M+m)g

y向合力为零y向合力不为零y向动量不守恒

系统动量不守恒！[例2]如图，车在光滑水平面上运动。已知m、l、v0，人逆车运动方向从车头经

t到达车尾。求：（1）若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；（2）车的运动路程；（3）若人以变速率运动，上述结论如何？解：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方向系统动量守恒。取如图坐标得该式中速度均为相对地面（1）（2）（3）例3

质量为M=500kg、长为4m的木船浮在静止水面上，一质量为m=50kg的人站在船尾.此人以时快时慢的不规则速率从船尾走到船头，问船相对岸移动了多少距离?设船与水之间的摩擦忽略.

分析：由于体系原来静止，没有外力作用，质心加速度为零，质心在水平方向的位置保持不变,故宜用质心概念求解.解：解法一（质心法）取x轴沿水平方向，取原来船的中点为坐标原点，以人的行走方向为x正方向.人在船尾时，体系质心的x坐标为Lx0

当人走到船头后，设船的中心坐标为x，则体系质心坐标为质心水平位置不变，即，故0xLx0故船相对岸移动了4/11m.再设u为人对船的速度，则

如图，人在时间内从船的一端走到另一端，距离为L,人和船对岸的移动距离分别为，则可写出下面三个运动学关系式解法二（动量守恒法）在水平方向上系统不受外力，动量守恒，故

其中分别为某时刻人和船对岸的速度.Lx由式（1）得，并代入式（2），得试求:该质点对原点的角动量矢量和力矩.解：例1:一质量为m的质点沿一条二维曲线运动其中a,b,

为常数(恒矢量)或由直接计算力矩[例1]证明开普勒第二定律:对任意行星,它的位置矢量(以太阳中心为参考点)在相等的时间内扫过相等的面积掠面速度角动量守恒就是掠面速度相等＝常矢量m

[例2]用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为r0，角速度为。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求:当半径缩为r时小球的角速度?解：选取平面上绳穿过的小孔O为原点。所以小球对O点的角动量守恒。因为绳对小球的的拉力沿绳指向小孔，则力对O点的力矩：思考:拉力所做的功是多少?。[例3]卢瑟福粒子散射实验与有核模型。已知粒子的质量为m，电荷为2e，从远处以速度射向一质量为，电荷为Ze的重原子核。重核与速度矢量垂直距离为d，称为瞄准距离。设，原子核可看作不动。试求粒子与重核的最近距离。解：如图，当粒子接近重核时，在重核静电斥力作用下速度随时间改变，在A点到达与重核最接近的距离处。A因粒子所受的静电力方向始终通过重核，故粒子对力心0的角动量守恒，即[例题]质量为的两个质点的位矢和速度分别为和，试求⑴每个质点相对于两质点质心的动量.⑵两质点相对于它们的质心的角动量.解：⑴对于由两个质点构成的质点系，引入相对速度u考虑到质心系是零动量参考系，即可得⑵利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为故两个质点相对于它们的质心的角动量为两质点的约化质量由此可得，每个质点相对于质心的动量分别为[例1]、一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度由15rad/s匀减速地降到10rad/s。求：(1)角加速度；(2)在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。解根据题意，角加速度为恒量。(1)利用公式(2)利用公式5秒内转过的圈数(3)再利用[例1]：如图所示，在半径为R的匀质圆板上钻一个半径为R/2的圆孔，求钻孔圆板的质心

解：补上被钻掉的小圆板，整个大圆板可看作由小圆板mA和月牙板mB组成。由对称性分析可知：大圆板的质心在o点，小圆板的质心在A点，要求的月牙板的质心在x轴上的某一点，设为B据质心计算公式：ABomBmAx[例2]：求半径为a的匀质半球的质心

解：建立图示坐标系o-xyz，由对称性分析，质心必在z轴上，即xc=0,yc=0，在坐标z处，取高为dz的薄圆盘状质元xyzorazdz据计算质心的积分公式：[例3]求偏心飞轮对轴承的压力：已知匀质飞轮质量m=5.0kg，半径r=0.15m，转速n=400rev/min，质心C距转轴O距离d=0.001m，飞轮所受重力忽略不计COd解:以飞轮为研究对象，设轴对其压力为据质心运动定理：据牛顿第三定律，飞轮对轴的压力：

转轴偏离质心会产生较大附加压力，使机座产生有害振动或使轴承变形，因此要尽量使质心位于转轴上.O′AB[例1]求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解：取如图坐标，dm=dxL/2L/2OXdmdm对轴的转动惯量可见，同一刚体的转轴的位置不同，刚体转动惯量的值不同。ABLX

dxO′dI=x2dm=x2dxORO[例2]

一质量为,半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量

.

解:

设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为

的圆环而圆环质量所以圆环对轴的转动惯量[例3]内半径为R1外半径R2为质量为m的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量[例5]质量为m半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量把球体看作无数个同心薄球壳的组合[例1]:

一定滑轮的质量为，半径为，一轻绳两边分别系和两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。已知：求：思路：质点平动与刚体定轴转动关联问题，隔离法，分别列方程，先求角加速度,再三、转动定律的应用解：在地面参考系中，分别以为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。以向下为正方向以向上为正方向思考：×因为重滑轮加速转动+以顺时针方向为正方向四个未知数：三个方程？绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：解得：m2m1[例2]：质量为m1

的物体置于完全光滑的水平桌面上,用一根不可伸长的细绳拉着,细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为

m2

的物体,如图所示。已知滑轮是一个质量为M,半径为r

的圆盘,轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与

m1

之间的绳子的张力、滑轮与m2

之间的绳子的张力以及物体运动的加速度

。

解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。列方程

T1=m1a

（1）

m2g

T2=m2a（2）对于滑轮

（3）

解以上四个联立方程式,可得α）

此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落了高度h时,可以列出下面的能量关系（5）式中v是当m2下落了高度

h

时两个物体的运动速率,

是此时滑轮的角速度。因为,,所以得由此解得（6）将

v2=2ah

代入(6)式,可以求得两个物体的加速度

根据,立即可以求得张力T1根据

或可以立即算出张力T2

以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法,都应该理解和掌握。

[

例3]:

一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.

解

细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得式中得由角加速度的定义代入初始条件积分得[例1]:

一匀质细棒，质量为m，长为L，可在水平桌面上绕一端点O在桌面上转动。棒与水平桌面间的摩擦系数为μ,t=0

时棒静止在水平桌面上。现给棒一个角速度ω0，求经过多长时间棒停止转动。解：设棒的质量线密度为λ，在棒