通州区2014-2015学年度高三摸底考试

通州区2014—2015学年度高三摸底考试数学（文）试卷2015年1月第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合，，那么等于A． B． C． D．2．计算的结果是A． B． C． D．3．已知抛物线的焦点到其准线的距离是，那么等于A． B． C． D．4．已知幂函数的图象经过点，那么等于A． B． C． D．5．执行右图所示的程序框图．若输入的的值为，则输出的的值是A． B．C． D．6．下列判断：①若，，则是真命题；②若，，，则是的充分必要条件；③若，，则，．其中正确的是A．①② B．②③ C．② D．③7．已知一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是主视图侧视图211主视图侧视图211B．C．俯视图D．俯视图8．设函数是定义在的奇函数，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则的最小值是A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．频率/组距0.040.050.12小时842频率/组距0.040.050.12小时842610120.150.14读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在小时内的人数为___________．10．已知向量，，且，那么11．已知，满足不等式那么的最大值是___________.12．在△中，已知，，，那么13．.14．如图，，是两个校区的所在地，，到一条公路的垂直距离分别是，，两端之间的距离是.某移动公司将在之间找到一点，在处建造一个信号塔，使得对，的张角与对，的张角相等（即），那么点到点的距离是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）求在区间上的最大值．16．（本题满分13分）已知某中学高三文科学生参加数学和地理的水平测试，抽取人进行测试，测试成绩结果如下表：人数数学良好及格不及格地理良好及格不及格测试成绩分为良好、及格、不及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为及格的共有人.（Ⅰ）若在该样本中，数学成绩的良好率是40％，求，的值；（Ⅱ）在地理成绩为及格的学生中，若，，求数学成绩良好人数比及格的人数多的概率.17．（本题满分13分）已知等差数列的公差是，前项和，（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；（Ⅱ）在等比数列中，，，数列前项和是，求证：数列是等比数列.18．（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，交于点，，，，，分别是，，的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：．19.（本题满分13分）已知椭圆的短轴长是，离心率是.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点是椭圆上异于其顶点的任意一点，点关于原点的对称点是点，点是直线上的一点，且△是等边三角形，求直线的方程．20．（本题满分14分）已知函数，在时取得极值.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若方程在区间上有两个不等实数根，求实数取值范围．（Ⅲ）若函数，利用的图象性质，证明：高三数学（文科）摸底考试参考答案2015年1月一．选择题：题号12345678答案DABCBCCA二．填空题：9.10.11.12.13.14.三．解答题：15．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为，所以……3分所以最小正周期是……5分对称轴方程是，即……7分（Ⅱ）因为，所以……9分所以，即时，……11分有最大值是，……13分16．（本题13分）解：(Ⅰ)因为数学成绩的良好率是﹪，所以所以所以……4分(Ⅱ)由题意可知，且，，

所以满足条件的有，，，，，，，，共组，且每组出现的可能性相同.……9分

其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数多的有，，共组.……12分所以数学成绩为优秀的人数比及格的人数多的概率是……13分17．（本小题13分）（Ⅰ）因为，所以，所以，所以……4分因为数列是等差数列，且公差是，所以，即所以……5分所以……6分（Ⅱ）因为，，所以，所以……8分因为数列是等比数列，所以公比所以……10分所以，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列.………………13分18．（本小题14分）证明：：（Ⅰ）因为点，分别是，的中点，所以因为平面，平面，所以//平面……4分（Ⅱ）因为四边形是正方形，所以因为平面，平面，所以因为,所以平面所以……8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，且，所以设与的交点为，连结，因为点，分别是，的中点，所以设，由题意得，所以在中，所以是直角三角形.所以所以因为,所以平面……14分19．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为椭圆的短轴长是，所以……1分因为离心率是，所以所以所以由得所以椭圆的标准方程是……3分（Ⅱ）设直线的方程是显然存在.联立方程组所以设点，所以所以……5分所以……6分因为，所以直线的方程是联立方程组所以设点，所以所以……8分所以……9分因为是等边三角形，所以所以……11分所以所以，因为不合题意，舍去.所以直线的方程是……13分20．（本题14分）解：（Ⅰ）因为函数，所以…1分因为在时取得极值，所以，即所以……2分所以令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减.……3分（Ⅱ）设，所以所以……4分令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减.所以在上单调递增，在上单调递减.……5分因为方程在区间上有两个不等实数根，所以有……7分即解得所以的取值范围是