二次根式典型题

二次根式总复习知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如（a0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、2、在、、、、中是二次根式的个数有______个【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．[来源:学*科*网Z*X*X*K]举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是（）A、x>3 B、x≥3 C、x>4 D、x≥3且x≠42、使代数式有意义的x的取值范围是3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=++2012，则x+y=举一反三：1、若，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．32、若x、y都是实数，且，求xy的值3、当a取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。已知a是整数部分，b是的小数部分，求的值。若的整数部分是a，小数部分是b，则。若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4.公式与的区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）和的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若则a-b+c=．举一反三：1、若，则的值为。2、已知为实数，且，则的值为3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为.4、若与互为相反数，则=。（公式的运用）【例5】化简：的结果为（）A、4-2aB、0C、2a-4D、4举一反三：在实数范围内分解因式:化简：已知直角三角形的两边分别为和，则斜边长为（公式的应用）【例6】已知,则化简的结果是A、 B、 C、 D、举一反三：1、根式的值是()A．-3B．3或-3C．3D．92、已知a<0，那么可化简为（）A．－aB．aC．－3aD．3a3、若，则等于（）A.B.C.D.5、化简得（）（A）2（B）（C）－2（D）7、已知，化简求值：【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+的结果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：．【例8】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）（A）x为任意实数（B）≤x≤4（C）x≥1（D）x≤1举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（）A． B． C． D．或【例9】如果，那么a的取值范围是（）A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1举一反三：1、如果成立，那么实数a的取值范围是（）2、若，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【例10】化简二次根式的结果是（A）(B)(C)(D)1、把二次根式化简，正确的结果是（）A. B. C. D.2、把根号外的因式移到根号内：当＞0时，＝；＝。知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】【例11】在根式1)，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1、中的最简二次根式有个。2、下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．3、下列根式不是最简二次根式的是()A.B.C.D.【例12】下列根式中能与是合并的是()A.B.C.2D.举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A、B、C、D、2、在二次根式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④中，能与合并的二次根式是。3、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式,则a=.知识点四：二次根式计算——分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例13】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例14】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例15】把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）举一反三：1、已知，，求下列各式的值：（1）（2）2、把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①与；

②；③与；

④．知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除【知识要点】1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。=·（a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。·＝．（a≥0，b≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（a≥0，b>0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。（a≥0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．【典型例题】【例18】化简：(1)(2)(3)(4)【例19】计算：(1)(2)(3)（4）【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（）A、B、C、D、无解知识点六：二次根式计算——二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．【典型例题】【例20】计算（1）；（2）；（3）；（4）【例21】（1）（2）（3）（4）（5）（6）知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】1、3、·（-4）÷4、5、）6、7、8、【例212．已知，求的值。4．求的值．5．已知x、y是实数，且，求5x+6y的值．知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法当时，=1\*GB3①如果，则；=2\*GB3②如果，则。2、平方法当时，=1\*GB3①如果，则；=2\*GB3②如果，则。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：=1\*GB3①；=2\*GB3②8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：=1\*GB3①；=2\*GB3②【典型例题】【例22】比较与的大小。（用两种方法解答）【例23】比较与的大小。【例24】比较与的大小。【例25】比较与的大小。【例26】比较与的大小

二次根式典型习题集一、概念（一）二次根式下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．（二）最简二次根式1．把二次根式（y>0）化为最简二次根式结果是（）．A．（y>0）B．（y>0）C．（y>0）D．以上都不对2．化简=_________．（x≥0）3．a化简二次根式号后的结果是_________．4.已知，化简二次根式的正确结果为_________．（三）同类二次根式1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有______3．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．4.若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．（四）“分母有理化”与“有理化因式”1.+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．--的有理化因式是_______．2.把下列各式的分母有理化（1）；（2）；（3）；（4）．二、二次根式有意义的条件：1．（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？（2）当x是多少时，+在实数范围内有意义？（3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？（4）当时，有意义。2.使式子有意义的未知数x有（）个．A．0B．1C．2D．无数3．已知y=++5，求的值．4．若+有意义，则=_______．5.若有意义，则的取值范围是。6．要是下列式子有意义求字母的取值范围（1） (2) (3) (4)(5) (6)三、二次根式的非负数性1．若+=0，求a2011+b2012的值．2．已知+=0，求xy的3.若，求的值。a＜0a≥0四、a＜0a≥01．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．A．=≥-B．>>-C．<<-D．->=2．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．3．若│2010-a│+=a，求a-20102的值．4.若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。5．化简a的结果是（）．A．B．C．-D．-6．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（）．A．B．C．-D．-五、求值问题:1.当x=+,y=-,求x2-xy+y2的值2．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．3.已知a=-1,求a3+2a2-a的值4．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．5．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（结果精确到0.01）6．先化简，再求值．（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．7．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）8.已知，求的值。六、其他1．等式成立的条件是（）A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-12.已知，且x为偶数，求（1+x）的值．3．计算（+）（-）的值是（）．A．2B．3C．4D．14.如果 ,则x的取值范围是。5.如果 ,则x的取值范围是。6.若,则a的取值范围是。7.设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是。8.若是一个整数，则整数n的最小值是。9.已知的整数部分为a，小数部分为b，试求的值七、计算1.·（-）÷（m>0，n>0）2.-3÷（）×（a>0）3.4.5.6.应用1．铁路基的横截面是梯形ABCD，如图，已知AD=BC，CD=8cm，路基的高度DE=6cm，斜坡BC的坡比为1：，求路基下底宽AB的长度2．如图，扶梯AB的坡比为4；3，滑梯CD坡比为1：2，AE=6cm，BC=5cm，一男孩从扶梯A走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下到D，共经过多少路程？3．如图，方格纸中小正方形的边长为1，是格点三角形，求：（1）的面积（2）的周长；（3）点C到AB的距离。二次根式新题型近几年的中考数学试题围绕二次根式出现了许多重素质、考能力的新颖题型，归纳起来，主要有以下几种。一.开放求值题例1.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值。解：原式当时，原式；当时，原式。评注：将一道常规的条件求值题，稍加改编，成为开放求值题，其意境截然不同，可贵之处不但在于从更高层次上考查了学生缜密思考（改编的同时，暗设陷阱）、灵活运用知识的能力，而且体现了人文关爱，利于激发兴趣，缓解考试压力。二.计算器操作探索题例2.用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：，。如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选___________个数。解析：由于各数据的分母依次增大，故这组数据依次减小，根据题意可选前面数值较大的数据求和。由计算器可求得：。至少要选5个数，故填5。例3.借助于计算器可以求得，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想__________。解析：，观察以上各式，易发现等式左端被开方数各加数的幂底数位数与等式右端的数的位数相同，于是可猜想：评注：养成正确使用计算器的习惯，能熟练地运用计算器去完成复杂的运算或探究性问题，是国家数学课程标准和数学大纲的要求。从上述两例中可看到，由于使用了计算器，避免了繁冗、重复的运算过程，大大提高了解题效率，计算器进课堂、进考场是时代的要求，学习的需要，应引起高度重视。三.读图计算题例4.在第六册课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽，它的主体图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的。设其中的第一个直角三角形是等腰直角三角形，且，请你先把图中其他8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积。解析：观察图形可知，待求线段既是前一个直角三角形的斜边，又是后一个直角三角形的直角边，因而利用勾股定理可求出各线段的长依次为、，它们的积为。评注：解这类题的关键是结合题设读懂图，从图中获取信息，借助数形结合，就能迅速、正确地找到解题途径。四.阅读判断题例5.化简时，甲的解法是：；乙的解法是：以下判断正确的是（）A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确解析：正确答案应为C。甲采用分母有理化的方法，而乙采用分解约分法，虽然两人的思路不同，解法各异，但最后殊途同归。例6.对于题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：乙的解答是：谁的解答是错误的？为什么？解析：解答此题的关键是对于式子脱去根号后，得到，还是。这就必须要明确是正还是负。故乙的解答是错误的。评注：这两道题格调清新，考查面宽广，从分母有理化、二次根式的性质、二次根式的化简等基础知识、基本技能到思维的灵活性、深刻性、批判性等方面都进行了考查。解答时要慎重思考，仔细甄别。这类题有利于学生养成对待问题认真负责、一丝不苟的态度。六.归纳、猜想题例7.观察下列各式：你能得出怎样的结论？并给出证明。解析：仔细观察，不难发现每个算式左边根号内的整数、分数的分子与右边根号外的整数、根号内的分数的分子都相同，而分母比分子的平方少1，故得结论为（）证明：评注：归纳、猜想题，常常是从简单情形入手，通过对若干特例的观察、分析，从中类比、归纳，发现其中的规律，进而猜想出具有一般规律的结论，并对结论的正确性给予验证或证明。七.阅读理解题例8.观察下列分母有理化的运算：利用上面的规律计算：__________。解析：要计算的式子有两个因式，第一个因式可根据题中给出的规律求得例9.阅读下面的问题及解答：问题：化简解：设则原式从上面的解答可以看出，一个很复杂的根式，化简的结果却是个简单的有理数，做完这道习题后，现在请你当一回老师，编四个类似的二次根式的化简题，要求满足以下两个条件：（1）题目是由这三个无理数（或是其中两个）经过各种运算组成的（每题要包含加、减、乘、除、乘方几种运算中的一种或几种运算，如等，在你编出的四道题中，不能漏掉了五种运算中的某一种运算）。（2）化简的结果是一个有理数。解析：阅读材料介绍了解决本题的一个方法——构造共轭因式。因此，利用共轭因式的积、商、平方或结合其