自动控制原理(胡寿松版)课件第三章

第三章线性系统的时域分析法第三章线性系统的时域分析法第一节系统时间(shíjiān)响应的性能指标第二节一阶系统(xìtǒng)的时间分析第三节二阶系统的时间分析第四节高阶系统的时间分析第五节线性系统的稳定性分析

第六节线性系统的稳态误差计算精品资料第三章线性系统的时域分析法第一节系统(xìtǒng)时间响应的性能指标一、时域分析法的特点(tèdiǎn)它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。精品资料第一节系统(xìtǒng)时间响应的性能指标二、典型输入(shūrù)信号1.典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。精品资料第一节系统(xìtǒng)时间响应的性能指标2.典型(diǎnxíng)外作用①单位阶跃函数1(t)tf(t)0îíì<³==0t00t1)t(1)t(f其拉氏变换为：s1dte1)s(F)]t(f[L0st===ò¥-其数学表达式为：精品资料第一节系统时间(shíjiān)响应的性能指标t

②单位斜坡函数0t0t0t)t(1t)t(f<³îíì=.=其拉氏变换为：20sts1dtet)s(F)]t(f[L===ò¥-f(t)0其数学表达式为：精品资料第一节系统(xìtǒng)时间响应的性能指标它的数学(shùxué)表达式为

曲线如图所示。当A=1时，称为单位抛物线函数。③抛物线函数（等加速度函数）精品资料第一节系统时间(shíjiān)响应的性能指标④单位脉冲(màichōng)函数000)()(=¹îíì¥==ttttfd其数学表达式为：其拉氏变换为：1)()]([==sFtfLò+¥¥-=1)(dttd定义：图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。精品资料第一节系统(xìtǒng)时间响应的性能指标⑤正弦(zhèngxián)函数其拉氏变换为：220sin)()]([ωsωdteωtsFtfLst+===ò¥-000sin)(<³îíì=ttωttf其数学表达式为：f(t)精品资料第一节系统(xìtǒng)时间响应的性能指标（1）动态过程系统在典型信号输入下，系统的输出量从初始状态到最终(zuìzhōnɡ)状态的响应过程。（2）稳态过程系统在典型信号输入下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。三、动态过程与稳态过程精品资料第一节系统时间(shíjiān)响应的性能指标四、动态(dòngtài)性能与稳态性能（1）动态性能定义：稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标。动态性能指标如下图：精品资料时间tr上升峰值(fēnɡzhí)时间tpAB超调量σ%=AB100%调节(tiáojié)时间ts第一节系统时间响应的性能指标精品资料上升时间tr调节(tiáojié)时间ts第一节系统(xìtǒng)时间响应的性能指标精品资料trtpABσ%=100%BAts第一节系统时间(shíjiān)响应的性能指标精品资料第一节系统(xìtǒng)时间响应的性能指标（2）稳态性能(xìngnéng)

稳态误差ess:当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差。ess

是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。

精品资料第二节一阶系统(xìtǒng)的时域分析根据系统的输出响应求取系统的性能指标,从而分析系统的性能，是时域分析法分析系统性能的基本(jīběn)方法。一、一阶系统的数学模型二、一阶系统的时域响应及性能分析第三章线性系统的时域分析法精品资料一、一阶系统(xìtǒng)的数学模型时间常数(shíjiānchánɡshù)一阶系统的动态结构图闭环传递函数为1Ts+1Ф(s)=C(s)R(s)=当控制系统的数学模型为一阶微分方程时,称其为一阶系统.第二节一阶系统的时域分析1TS-R(s)E(s)C(s)精品资料第二节一阶系统(xìtǒng)的时域分析拉氏反变换(biànhuàn)：R(s)=1s1sC(s)=Ф(s)·•1Ts+1=1s=1s+1s-1T1．单位阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的输出响应.一阶系统单位阶跃响应:单位阶跃响应:c(t)=1-e-t/T二、一阶系统时域响应及性能分析

单位阶跃响应曲线

c(t)t01T2T3T4T0.980.6320.860.95

一阶系统没有超调，系统的动态性能指标为调节时间:ts=3T(±2%)ts=4T(±5%)精品资料第二节一阶系统(xìtǒng)的时域分析性能指标1.平稳性：2.快速性ts：3.准确性ess：非周期(zhōuqī)、无振荡，＝0精品资料第二节一阶系统(xìtǒng)的时域分析2．单位(dānwèi)脉冲响应单位脉冲响应为:R(s)=1c(t)=g(t)=e-t/TT1单位脉冲响应曲线c(t)t0C(s)=Ф(s)1Ts+1==s+1T1TT1精品资料第二节一阶系统(xìtǒng)的时域分析3．单位斜坡(xiépō)响应R(s)=1s2c(t)=t-T+Te-t/TC(s)=Ф(s)•1s21Ts+1=•1s2T=sTs+1/T-1s2+单位斜坡响应为:

单位斜坡响应曲线h(t)t0c(t)r(t)T系统的误差：t→∞

ess=lime(t)e(t)=[r(t)-c(t)]=t-(t-T+Te-t/T)=T(1-e-t/T)=T精品资料第二节一阶系统(xìtǒng)的时域分析4.单位(dānwèi)加速度响应

设系统的输出信号为单位加速度函数，则求得一阶系统的单位加速度响应为：系统的跟踪误差为：精品资料系统(xìtǒng)输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响应，就可推知于其它。根据一阶系统三种响应(xiǎngyìng)的输入输出信号:可知:c(t)=1-e-t/Tc(t)=t-T+Te-t/Tc(t)=e-t/TT1r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=δ(t)第二节一阶系统的时域分析r(t)=－t212精品资料第二节一阶系统(xìtǒng)的时域分析例一阶系统的结构如图，试求系统的调节(tiáojié)时间ts(±5%),如果要求ts=0.1s，求反馈系数。

Kk=100

KH=0.1解：闭环传递函数-KHKksC(s)R(s)E(s)Ф(s)=C(s)R(s)=1+s

KkKH

s

Kk

10=0.1s+1100=s+10得:t

s=3T=3×0.1=0.3若要求:t

s=0.1s则:Ф(s)=1+s

100KH

s

100

=0.01s+1KH

1

KH

t

s=3×0.01/KH=0.1KH=0.3精品资料第三节二阶系统(xìtǒng)的时域分析一、二阶系统(xìtǒng)的数学模型二、二阶系统的单位阶跃响应六、改善二阶系统性能的措施三、欠阻尼二阶系统的动态过程分析四、过阻尼二阶系统的动态过程分析第三章线性系统的时域分析法五、二阶系统的单位斜坡响应精品资料一、二阶系统(xìtǒng)的数学模型二阶系统(xìtǒng)的微分方程一般式为：第三节二阶系统的时域分析精品资料第三节二阶系统(xìtǒng)的时域分析二阶系统(xìtǒng)的反馈结构图精品资料第三节二阶系统(xìtǒng)的时域分析二阶系统(xìtǒng)的传递函数开环传递函数：闭环传递函数：精品资料二阶系统(xìtǒng)的特征方程为解方程求得特征(tèzhēng)根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：式中为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。

s1,s2完全取决于，n两个参数。第三节二阶系统的时域分析精品资料此时s1,s2为一对共轭复根，且位于(wèiyú)复平面的左半部。①特征根分析—(欠阻尼）第三节二阶系统(xìtǒng)的时域分析精品资料②特征(tèzhēng)根分析—（临界阻尼）此时s1,s2为一对(yīduì)相等的负实根。s1=s2=-n第三节二阶系统的时域分析精品资料③特征(tèzhēng)根分析—（过阻尼）此时s1,s2为两个负实根，且位于(wèiyú)复平面的负实轴上。第三节二阶系统的时域分析精品资料④特征(tèzhēng)根分析—（零阻尼）此时s1,s2为一对(yīduì)纯虚根，位于虚轴上。S1,2=jn第三节二阶系统的时域分析精品资料⑤特征根分析(fēnxī)—（负阻尼）此时s1,s2为一对实部为正的共轭复根(fùɡēn)，位于复平面的右半部。第三节二阶系统的时域分析精品资料⑥特征(tèzhēng)根分析—（负阻尼）此时s1,s2为两个正实根，且位于(wèiyú)复平面的正实轴上。第三节二阶系统的时域分析精品资料ζ值不同(bùtónɡ)，两个根的性质不同(bùtónɡ)，有可能为实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不相同。下面分别讨论。C(s)=Ф(s)R(s)ωnωζs2+2s+n2=0二、二阶系统的单位(dānwèi)阶跃响应ωn2ωnζ(s2+2s+ωn2)=•s1ωnωζ

=-±n2-1

ζωnζs1.2=±-22ωζ(2)2-4nωn2第三节二阶系统的时域分析精品资料ωnζ(s++n2)2=ω(1-ζ2)1.0<ζ<1欠阻尼令：—阻尼振荡频率(pínlǜ)则：单位(dānwèi)阶跃响应：s1.2

ωnωζ

=-±n2-1

ζ

ω2=ωn1-

ζ

ds1.2

ωnjωζ

=-±dωn2ωnζ(s+s+d2)2C(s)=•1ωωnζs2+2s+ωn2C(s)=ωn2ωnζ(s2+2s+ωn)•s12=ωnζs2+2s+ωn2ζ()ωn2ζ-()+ωn2ωnζ(s++d2)2=ω另：得：ωnζ(s+s+d2)2=+1ωωnζ-(s+)2ωnζ(s+s+d2)2=-1ωωnζs+ωnζ(s++d2)2-ωωnζdωdω拉氏反变换：=1-[ζt+sindωt]eζωnt-21-

ζ21-

ζcosdωc(t)=1-ecoseζωnt-t-dωωnζdωζωnt-sindωt第三节二阶系统的时域分析精品资料21-

ζωnωnζβ-1=tg

=

21-

ζωnωnsinβ=

21-

ζ=

ζωnωncosβ=ζ-1ζ=tg

21-

ζS1S2σβ0系统(xìtǒng)参数间的关系:1ω-ζ2nω-ζn1ω-ζ2n-ωnjωc(t)=1-[ζt+sindωt]eζωnt-21-

ζ21-

ζcosdω根据(gēnjù):=1-[t+sindωt]eζωnt-21-

ζcosdωcosβsinβ=1-t+)eζωnt-21-

ζdωsin(β得:单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ<1

稳态分量瞬态分量阻尼振荡频率衰减系数第三节二阶系统的时域分析精品资料2.ζ=0无/零阻尼(zǔní)单位(dānwèi)阶跃响应:单位阶跃响应曲线nωc(t)=1-costc(t)t01ζ=0

ωn(s2+ωn)=•s122s(s2+ωn)=-s12s1.2

ωnωζ

=-±n2-1

ζ

=n

ω

±jωnωnζ(s2+2s+ωn2)•s1C(s)=2无阻尼振荡频率注意：当

将不复存在第三节二阶系统的时域分析精品资料3.ζ=1临界阻尼两相等(xiāngděng)负实数根=-n

ω1=s1-ωnωn(s+)2ωns+-nωc(t)=1-enω-t(1+t)输出响应无振荡(zhèndàng)和超调。ζ=1时系统的响应速度比ζ>1时快。单位阶跃响应曲线1ζ=1

c(t)t0s1.2

ωnωζ

=-±n2-1

ζωnωnζ(s2+2s+ωn2)•s1C(s)=2=ωnωn(s+)21s•2第三节二阶系统的时域分析精品资料4.ζ>1

过阻尼

两不相等(xiāngděng)负实数根c(t)=A1+A2es1t+A3es2t系统输出无振荡和超调，输出响应(xiǎngyìng)最终趋于稳态值1。A1=ss-s1+A2A3s-s2+单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ>1

s1.2

ωnωζ

=-±n2-1

ζωnωnζ(s2+2

s+ωn2)•s1C(s)=2s(s-s1)(s-s2)ωn2=第三节二阶系统的时域分析精品资料从以上结果(jiēguǒ)可知:ζ值越大，系统的平稳性越好；ζ值越小，输出响应振荡越强。不同ζ值时系统的单位(dānwèi)阶跃响应c(t)t01ζ=0

ζ>1

ζ=1

ζ<1

第三节二阶系统的时域分析y(t)

单位阶跃响应（0<<1）

精品资料C(s)s2+3s+22R(s)=例已知二阶系统的闭环传递函数,求系统的单位(dānwèi)阶跃响应.解：2

=2ωn2ωnζ=3ζ>1C(s)=s(s+1)(s+2)2拉氏反变换(biànhuàn)c(t)=1-2e-t+e-2tA1=ss+1+A2A3s+2+1=ss+1-21s+2+第三节二阶系统的时域分析精品资料C(s)s2+s+44R(s)=例已知二阶系统的闭环传递函数,求系统的单位(dānwèi)阶跃响应.解：ζ=0.25得：=2ωn2

=4ωn2ωnζ=1=1-1.03e-0.5tsin(1.9t+75o)将参数(cānshù)代入公式:c(t)=1-t+)eζωnt-21-

ζdωsin(β=0.5ωnζ=75o-1ζ=tg

β21-

ζ=1.9dω

=ωn2ζ1-

第三节二阶系统的时域分析精品资料主要(zhǔyào)对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论和计算。其单位阶跃响应曲线：tc(t)01trtpσ%tsess性能指标有：性能指标求取(qiúqǔ)如下三、二阶系统的性能指标1.上升时间tr2.峰值时间tp3.超调量σ%

4.调节时间ts5.稳态误差ess第三节二阶系统的时域分析精品资料=11.上升时间tr即根据(gēnjù)定义有则c(tr)=1-tr+)eζωntr-21-

ζdωsin(β=0tr+)eζωntr-21-

ζdωsin(β=0tr+)dωsin(βtc(t)01trωdtr+β=0,π,2π…得:-1ζ=tg

β21-

ζtr=dωπβ-21-

ζπβ-ωn=其中(qízhōng):ωdtr+β=π第三节二阶系统的时域分析精品资料2.峰值(fēnɡzhí)时间tp根据(gēnjù)定义有dc(tp)dt=0即c(t)=1-t+)eζωnt-21-

ζdωsin(βζ-1tp+)eζωntp-21-

ζdωsin(βdc(tp)dt=[-

ωn]=0+tp+)eζωntp-dωcos(βωdtc(t)01tpζ-tp+)eζωntp-21-

ζdωsin(β=[

ωn]=0tp+)dωcos(β-

21-

ζζtp+)dωsin(β=0tp+)dωcos(β-

21-

ζζtp+)dωsin(β=tp+)dωcos(β21-

ζ则=tgβtp+)dωtg(βωdtp=0,π,2π…tp=dωπ21-

ζπωn=ωdtp=π第三节二阶系统的时域分析精品资料3.超调量σ%

代入公式(gōngshì)：tp=dωπσ%=c(tp)-100%c()∞c()∞c(tp)=1-tp+)eζωntp-21-

ζdωsin(β)=1-+21-

ζsin(βπe-ζζπ1-2)=-+21-

ζsin(βπ=1+e-ζζπ1-2100%c(tp)-11σ%==e-ζζπ1-2100%tc(t)01tpσ%另则第三节二阶系统(xìtǒng)的时域分析精品资料4.调节(tiáojié)时间ts可用近似(jìnsì)公式：±5%误差带±2%误差带c(t)=1-t+)eζωnt-21-

ζdωsin(βtc(t)01ts误差带第三节二阶系统的时域分析精品资料5.稳态误差(wùchā)ess根据稳态误差(wùchā)的定义t→∞

ess=lime(t)欠阻尼二阶系统的稳态误差:tc(t)01c(t)=1-t+)eζωnt-21-

ζdωsin(βr(t)=I(t)ess=1-1=0t→∞

limc(t)=1ess=0e(t)=[r(t)-c(t)]第三节二阶系统的时域分析精品资料以上为欠阻尼二阶系统在单位(dānwèi)阶跃输入作用下性能指标的求取。过阻尼二阶系统其性能指标只有调节时间和稳态误差。c(t)=A1+A2es1t+A3es2tt→∞

ess=lim[r(t)-c(t)]稳态误差(wùchā)的计算：

调节时间是根据特征根中绝对值小的来近似计算：设|s1|<|s2|T1=s1-1ts≈3T1±5%误差带ts≈4T1±2%误差带第三节二阶系统的时域分析精品资料由以上(yǐshàng)分析归纳出二阶系统性能分析要点：主要(zhǔyào)由ζ决定。1）平稳性：ζ↑→σ%↓→平稳性越好。ζ

=0时,系统等幅振荡,不能稳定工作。ωn↑→ωd↑,系统平稳性变差。ζ一定时2）快速性：由ζ和决定。ωnζ太小或太大,快速性均变差。ωn一定时,若ζ较小,则ζ↓→ts↑。当ζ>0.707之后又有ζ↑→ts↑。综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取ζ=0.707为最佳。3）准确性：由ζ和ωn决定。

ζ的增加和ωn的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪斜坡信号的稳态误差增加。第三节二阶系统的时域分析精品资料第三节二阶系统(xìtǒng)的时域分析四、二阶系统(xìtǒng)的单位斜坡响应当输入信号为单位斜坡信号时精品资料稳态分量：瞬态分量：第三节二阶系统(xìtǒng)的时域分析精品资料误差(wùchā)响应：对误差响应求导，并令其为0，得到误差峰值(fēnɡzhí)时间：误差峰值：稳态误差：第三节二阶系统的时域分析精品资料误差(wùchā)最大偏离量可以表示为：误差的调节(tiáojié)时间——误差进入稳态值5%误差带所需时间：第三节二阶系统的时域分析精品资料（2）临界阻尼单位(dānwèi)斜坡响应第三节二阶系统(xìtǒng)的时域分析精品资料（3）过阻尼单位(dānwèi)斜坡响应稳态误差(wùchā)为：第三节二阶系统的时域分析精品资料系统的平稳性和快速性对系统结构和参数的要求往往(wǎngwǎng)是矛盾的,工程中通过在系统中增加一些合适的附加装置来改善二阶系统的性能。常用附加装置有比例微分(wēifēn)环节和微分(wēifēn)负反馈环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达到改善系统性能的目的.五、改善二阶系统性能的措施第三节二阶系统的时域分析精品资料1．比例微分(wēifēn)控制比例微分(wēifēn)控制二阶系统结构图开环传递函数:闭环传递函数:得Φ(s)=ωnζs2+(2+ωn2n)(τs+1τ)s+22nωωs+=ωnζs2+2ωn2n)(τs+12ώ-R(s)τs+1n

C(s)s(s+2ζ2

n)ωωńωnζ=2+τ2nωζ2ωζ́=ζ2+τnωG(s)=n)(s(s+2ζ)τs+1n2ωω对二阶系统性能的改善c(t)t01二阶系统加比例微分

第三节二阶系统的时域分析定性分析的结论：可引起阻尼比

增大,使超调量

%下降;调节时间缩短;不影响稳态误差（开环增益不变)和自然振荡频率

n。

精品资料2．微分(wēifēn)负/测速反馈控制第三节二阶系统(xìtǒng)的时域分析开环传递函数

加微分负反馈系统:Ф(s)=ωnζs2+(2+ωn2nτ)s+22nωωG(s)=ωnζs2+2+nsτs22nωωs+=ωnζs2+2ωn2ń2ωńωnζ=2+τ2nωζ2ωζ́=ζ2+τnω闭环传递函数对二阶系统性能的改善

c(t)t01二阶系统加微分负反馈

加入测速反馈后会减小系统开环增益（增加稳态误差）；使增大，因而可降低超调量%；不改变n。τs-R(s)n

C(s)s(s+2ζ2

n)-ωω精品资料第三节二阶系统(xìtǒng)的时域分析3、比例微分控制(kòngzhì)与微分反馈的比较1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系统阻尼，但来源不同；2、对于噪声和元件的敏感程度不同；3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不同；4、对动态响应的影响不同。精品资料（1）增加阻尼(zǔní)的来源比例微分(wēifēn)的阻尼来自误差信号的速度；输出微分(wēifēn)反馈的阻尼来自输出响应的速度；因此对于给定的开环增益和指令速度，输出微分(wēifēn)的稳态误差更大；第三节二阶系统的时域分析精品资料（2）对于噪声和元件的敏感(mǐngǎn)程度比例微分控制对于噪声具有明显(míngxiǎn)的放大作用，输入噪声大，不宜使用；输出微分反馈对输入的噪声具有滤波作用，对噪声不敏感；比例微分控制加在误差后，能量一般较小，需要放大器放大倍数较大，抗噪声能力弱；输出微分反馈输入能量一般很高，对元件没有特殊要求，适用范围更广；第三节二阶系统的时域分析精品资料（3）开环增益(zēngyì)和自然振荡角频率的影响比例微分控制对于开环增益(zēngyì)和自然振荡角频率都没有影响；输出微分反馈影响自然振荡角频率，但开环增益(zēngyì)会明显减小——本章最后一节；使用输出微分反馈要求开环增益(zēngyì)较大，导致自然振荡角频率随之增大，容易和高频噪声产生共振；第三节二阶系统的时域分析精品资料（4）对动态(dòngtài)性能的影响比例微分控制在闭环系统中引入了零点，加快(jiākuài)了系统的响应速度——第4章；相同阻尼比的情况下，比例微分控制引起的超调大于输出微分反馈系统的超调。第三节二阶系统的时域分析精品资料第四节高阶系统(xìtǒng)的时域分析一、三阶(sānjiē)系统的单位阶跃响应第三章线性系统的时域分析法

在控制工程中,几乎所有系统都是高阶系统,其动态一般比较复杂。但满足一定条件时,可用一阶或二阶系统近似分析,此时采用了高阶系统闭环主导极点的概念.典型三阶系统是最简单的高阶系统，是在典型二阶系统基础上增加一个惯性环节构成，其传递函数为：可改写为：精品资料单位(dānwèi)阶跃响应为：特点:增加极点将使超调量减小，调节时间增加。当增加的极点远离虚轴（>>1）时，其影响逐渐减小。如果(rúguǒ)增加的极点位于共轭复数极点的右侧（即<1），则系统响应趋于平缓，响应特性类似于过阻尼情况的二阶系统。第三章高阶系统的时域分析设0<

<1引入：精品资料二、高阶系统的单位(dānwèi)阶跃响应1．高阶系统的单位(dānwèi)阶跃响应一般高阶系统的方框图如右图所示零极点(jídiǎn)形式为：传递函数为：

有理分式表示为:K*=b0/a0为闭环传递函数写为闭环零、极点时的系数第三章高阶系统的时域分析精品资料其阶跃响应(xiǎngyìng)为：高阶系统的响应特征(tèzhēng)：（1）若系统闭环稳定，上式的指数项和阻尼正弦项均趋向零，稳态输出为常数项；（2）系统响应的类型取决于闭环极点的性质，响应曲线的形状与闭环零点有关（主要体现在影响留数的大小和符号）。第三章高阶系统的时域分析精品资料第三章高阶系统(xìtǒng)的时域分析三、闭环主导极点稳定的高阶系统，在所有的闭环极点中，距虚轴最近(zuìjìn)的极点而且周围没有闭环零点，其它的闭环极点又远离虚轴，这个（对）极点所对应的响应分量，其衰减得最慢，在系统的响应中起主导作用，所以这个（对）极点称为闭环主导极点。其它极点称为非主导极点。精品资料第三章高阶系统(xìtǒng)的时域分析若高阶系统能找到这样的闭环主导极点，可以用二阶系统的动态性能指标来估算(ɡūsuàn)高阶系统的动态性能。在实际运用中，在用二阶系统动态性能进行估算时，还需要考虑其它非主导极点、闭环零点的影响。精品资料分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措施是自动控制理论的基本(jīběn)任务之一。二、系统稳定的充分(chōngfèn)必要条件三、稳定性判据第五节线性系统的稳定性分析一、稳定性的基本概念第三章线性系统的时域分析法精品资料一、稳定性的基本概念(a)(b)ABA图(a)表示小球在一个凹面上，原来(yuánlái)的平衡位置为A，当小球受到外力作用后偏离A,例如到B,当外力去除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图(b)就是不稳定的。第五节线性系统的稳定性分析(fēnxī)精品资料第五节线性系统的稳定性分析(fēnxī)稳定性的定义(dìngyì)

任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外作用无关。精品资料二、系统(xìtǒng)稳定的充分必要条件稳定性：传递函数的一般(yībān)表达式：Ф(s)==b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+anR(s)C(s)n≥m·C(s)=1sK0(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm)(s

–s1)(s

–s2)···(s

–sn)系统输出拉氏变换：

系统受外作用力后,其动态过程的振荡倾向和系统恢复平衡的能力。r(t)t0c(t)稳定不稳定A0=ss-s1+A1Ans-sn+…+系统单位阶跃响应：c(t)=A0+A1es1t+…+Anesnt稳定的系统其瞬态分量应均为零。即：limesit→0t→∞

系统稳定的充分与必要条件：

系统所有特征根的实部小于零,即特征方程的根位于S左半平面。第五节线性系统的稳定性分析精品资料三、稳定性判据(pànjù)根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定(pàndìng)系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。第五节线性系统的稳定性分析判据之一：赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式Dk（k＝1,2,3,…，n）全部为正。精品资料第五节线性系统的稳定性分析(fēnxī)系统特征方程的一般(yībān)形式为：各阶赫尔维茨行列式为：（一般规定）精品资料系统(xìtǒng)的特征方程为：试用赫尔维茨判据(pànjù)判断系统的稳定性。举例：第五节线性系统的稳定性分析精品资料解：第一步：由特征方程得到(dédào)各项系数２１３５第二步：计算(jìsuàn)各阶赫尔维茨行列式结论：系统不稳定。10第五节线性系统的稳定性分析精品资料第五节线性系统的稳定性分析(fēnxī)判据(pànjù)之二：林纳德－奇帕特（Lienard-Chipard)判据(pànjù)系统稳定的充分必要条件为：１．系统特征方程的各项系数大于零，即２．奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即或必要条件精品资料第五节线性系统的稳定性分析(fēnxī)劳斯稳定判据(pànjù)是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数,按一定的规则排列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。判据之三：劳斯(Routh)判据精品资料根据(gēnjù)特征方程的各项系数排列成劳斯表：设系统(xìtǒng)的特征方程为a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0a0a2a4…a1

a3a5…b42

sn-3

……………s0

sn

sn-1

sn-2

b31

b32

b33

b31=

a1a2

-a0a3

a1

b41

b32=

a1a4

-a0a5

a1

b41=

b31a3

-b32a1

b31

b42=

b31a5

-b33a1

b31

b43

……bn+1

系统稳定的条件：

(1)特征方程式各项系数都大于零。

(2)劳斯表中第一列元素均为正值。

第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。第五节线性系统的稳定性分析精品资料第五节线性系统的稳定性分析(fēnxī)劳斯判据：(ai>0)劳斯表中第一列的所有计算(jìsuàn)值均大于零，则系统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数，等于特征方程正实部根的数目。

注意：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止；总行数应为n+1;如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于an；可用一个正整数去乘以或除去劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。精品资料例已知系统(xìtǒng)的特征方程，试判断该系统(xìtǒng)的稳定性。解：s4+2s3+3s2+4s+5=0劳斯表如下(rúxià)：135s1

s0

s4

s3

s2

b31

b32

b41

b51

24

b31=

2*3

-1*4

2

=11

b32=

2*5

-1*0

2

=55b41=

1*4

-2*5

1

=-6-6b51=

-6*5

-1*0

-6

=55有两个正实部根，系统不稳定。第五节线性系统的稳定性分析精品资料例系统如图所示，试确定系统稳定(wěndìng)放大倍数K的取值范围。Ks(0.1s+1)(0.25s+1)-R(s)C(s)闭环传递函数Ф(s)=s(0.1s+1)(0.25s+1)+KK特征方程:s3+14s2+40s+40K=0解：劳斯表:140s3

s2

1440Ks1

b31

b31=

14*40

-1*40K

14

s0

b41

40K

系统稳定(wěndìng)的条件:>0560-40K>040K>014>K>0第五节线性系统的稳定性分析精品资料如果(rúguǒ)劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。下面(xiàmian)举例说明:

该行中其余各元素不等于零或没有其他元素，将使得劳斯表无法排列。

此时，可用一个接近于零的很小的正数ε来代替零，完成劳斯表的排列。第五节线性系统的稳定性分析劳思判据的特殊情况一精品资料例已知系统(xìtǒng)的特征方程，试判断系统的稳定性。劳斯表为:系统有一对(yīduì)纯虚根s3+2s2+s+2=0解：11s3

s2

22s1

b31

=0

εs0

b41

2

通过因式分解验证:s3+2s2+s+2=0(s+2)(s2+1)=0s1=-2s2.3=±j

b31=

2*1

-2*1

2

(

ε

)

=2

b41=

-2*0

2*

εε不稳定第五节线性系统的稳定性分析精品资料例已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定方程的根在s平面(píngmiàn)上的分布。解：s3-3s+2=0方程中的系数有负值，系统(xìtǒng)不稳定。劳斯表为:1-3s3

s2

02s1

b31

b31=

s0

b41

2

ε通过因式分解验证:s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0s1.2=1s3=-2-∞ε-2-3εε→0b31

→-

∞

=

-∞

第一列元素的符号变化了两次,有一对不稳定根。第五节线性系统的稳定性分析精品资料如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示(biǎoshì)系统中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。下面(xiàmian)举例说明:

此时，应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式对s求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根。第五节线性系统的稳定性分析劳思判据的特殊情况二精品资料例已知控制系统特征方程,判断(pànduàn)系统稳定性。由为零上一行的元素组成(zǔchénɡ)辅助多项式：s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0解：劳斯表为:182016s6

s5

21216s4

2

s3

0

1612P(s)=2s4+12s2+16dP(s)ds=8s3+24s代入0824s2

1668/3s1

s0

16劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。系统有虚根,不稳定。第五节线性系统的稳定性分析精品资料劳斯稳定判据(pànjù)的应用：调整系统的参数无法(wúfǎ)使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。Ks2(Ts+1)-R(s)C(s)如：Ф(s)=Ts3+s2+KK闭环传递函数：Ts3+s2+K=0特征方程是式：由于特征方程中少了s项，无论K取何值系统总是不稳定。解决的方法有以下两种：第五节线性系统的稳定性分析精品资料1．改变环节的积分(jīfēn)性质积分(jīfēn)环节外加单位负反馈,系统结构图为:Ks(Ts+1)-R(s)1s-C(s)G(s)=s(Ts+1)(s+1)K1s+1=11+s1sC(s)R(s)=s(Ts+1)(s+1)+KK系统的闭环传递函数为特征方程式:Ts3+(1+T)s2+s+K=0劳斯表:

T1s3

1+TKs2

s1

K

s0

1+T-TK1+T系统稳定的条件1+T-TK>0K>0>K>01+T

T第五节线性系统的稳定性分析精品资料2．加入比例微分(wēifēn)环节系统中加入比例微分(wēifēn)环节结构图系统的闭环传递函数:Ks2(Ts+1)R(s)τs+1-C(s)G(s)=)(Kτs+1s2(Ts+1)Ф(s)=Ts3+s2+Ks+1)K(s+Kττ劳斯表:s3

T

K

τ

1Ks2

s1

K(-T)τ

K

s0

系统稳定的条件:K>0-T>0τ即>TτK>0第五节线性系统的稳定性分析精品资料第五节线性系统的稳定性分析(fēnxī)稳定(wěndìng)裕度的检验应用劳斯判据不仅可以判断系统稳定与否，即相对稳定性。也可以判断系统的是否具有一定的稳定裕度，即相对稳定性。这时可以移动S平面的坐标系，然后再应用劳斯判据。如图：将上式代入原方程，得到以Z为变量的新的特征方程，再检验其稳定性。此时系统如果仍然稳定，则说系统具有稳定裕度α。精品资料第五节线性系统的稳定性分析(fēnxī)例：系统(xìtǒng)特征方程为判断系统是否有根在右半平面，并验有几个根在s=-1的右边。ROUTH’STABLE：故S右半平面无根。将s=z-1代入原方程得：NEWROUTH’STABLE：故有一个根在s=-1的右边。精品资料第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算一、误差(wùchā)与稳态误差(wùchā)二、系统类型三、稳态误差与静态误差系数

第三章线性系统的时域分析法四、动态误差系数六、减小或消除稳态误差的措施五、扰动作用下的稳态误差精品资料第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算一.误差(wùchā)与稳态误差(wùchā)1、从输入端定义的稳态误差。输入量与反馈量之差称为误差。对应的时间函数稳态误差定义为误差信号为在实际系统中，输入误差可以直接测量得到，因此由输入端定义的误差在实际中应用较多。精品资料第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算2、从输出(shūchū)端定义的稳态误差。系统输出量的希望值与实际值之差。系统的实际稳态输出为则稳态误差为输入端定义的稳态误差与输出端定义的稳态误差关系α为反馈通道的传输系数单位反馈时为精品资料误差传递函数(hánshù)的定义：系统误差的计算(jìsuàn)：系统的稳态误差=误差的稳态分量利用拉普拉斯变换的终值定理求误差信号的稳态分量：第六节线性系统的稳态误差计算

3、稳态误差的计算精品资料第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算在计算系统误差的终值(稳态误差)时，遇到的误差函数E(s)一般是s的有理分式函数，这时当且仅当sE(s)的极点均在左半面，就可保证存在(cúnzài)，式就成立。注：sE(s)的极点均在左半面的条件中，蕴涵了闭环系统稳定的条件。精品资料二.系统(xìtǒng)类型第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算系统误差：控制系统的典型结构e(t)=r(t)-b(t)稳态误差：ess=lime(t)t→∞_H(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)+D(s)E(s)B(s)设D(s)=0R(s)作用时Er(s)=R(s)1+G1(s)G2(s)H(s)=R(s)1+G(s)H(s)根据终值定理得:essr=limer(t)t→∞s→0=lims·Er(s)R(s)1+G(s)H(s)s→0=lims·输入信号表示为:输入信号阶次开环传递函数表示为:mG(s)H(s)=sj=1υΠ(Tjs+1)n-υKΠ(i=1τis+1)n≥m积分环节个数开环增益时间常数稳态误差可表示为：R(s)=AsN系统的稳态误差与N、A、K、υ有关。对应于υ为0、1、2的系统，分别称为0型、I型和II型系统。下面分别讨论不同输入信号作用下系统的稳态误差。essr=limsAsKs1+s→0υN精品资料1、阶跃输入(shūrù)第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算三.稳态误差与静态误差系数设r(t)=R

1(t)1+limG(s)H(s)s→0R=R(s)=Rsessr=lims·1+G(s)H(s)s→0Rs设静态位置误差系数:Kp=limG(s)H(s)s→0Ks=limυs→0=R1+Kpυ=0Kp=KKp=∞

essr=0υ≥1essr=R1+KG(s)H(s)=sj=1υΠ(Tjs+1)n-υmKΠ(i=1τis+1)精品资料阶跃输入时不同型别系统响应(xiǎngyìng)曲线(a)υ=0(b)υ≥1r(t)t0c(t)r(t)c(t)r(t)t0c(t)r(t)c(t)essr=R01+Kessr=0essess=0第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算精品资料由于0型系统无积分环节，其阶跃输入时的稳态误差为与K有关(yǒuguān)的一定值，因此常称为有差系统。为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大K值。若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则应使系统的类型高于I型。第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算精品资料第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算2、斜坡(xiépō)输入设设静态速度误差系数:r(t)=

R

tR(s)=s2

R

essr=lims·1+G(s)H(s)s→02s

RlimsG(s)H(s)s→0=RυK=limsG(s)H(s)s→0υ=K

R-1Ks=limυs→0可得：υ=0essr=∞Kυ=0υ=1essr=K

Rυ≥

2essr=0G(s)H(s)=sj=1υΠ(Tjs+1)n-υmKΠ(i=1τis+1)Kυ=KKυ=∞

精品资料r(t)t0c(t)r(t)c(t)r(t)t0c(t)斜坡(xiépō)输入时不同型别系统响应曲线(a)υ=0(b)υ=1r(t)c(t)essr=∞essessr=Kυ0ess(c)υ≥2r(t)t0c(t)r(t)c(t)essr=0ess第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算精品资料第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算可见，0型系统(xìtǒng)不能跟踪斜坡输入信号。随时间的推移,误差越来越大；I型系统(xìtǒng)可以跟踪斜坡输入信号。但具有与K有关的稳态误差，可用增加K的方法提高稳态精度；II型及以上系统(xìtǒng)可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。精品资料设设静态加速度误差(wùchā)系数r(t)=12Rt2

R(s)=s3RRessr=lims·1+G(s)H(s)s→03sRlims2G(s)H(s)s→0=RKa=G(s)H(s)=sj=1υΠ(Tjs+1)n-υmKΠ(i=1τis+1)Ka=lims2G(s)H(s)s→0-2Ks=limυs→0υ≤1可得：Ka=0essr=∞υ=2Ka=K

essr=KRυ≥

3Ka=∞

essr=0第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算3、抛物线输入精品资料r(t)t0c(t)r(t)c(t)r(t)t0c(t)r(t)c(t)抛物输入(shūrù)时不同型别系统响应曲线(a)υ≤1essr=∞ess(b)υ=2essessr=Ka0第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算精品资料第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算对于Ⅲ型系统及以上系统：可见，I型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差(wùchā)越来越大；II型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与K有关的稳态误差(wùchā)，可用增加K的方法提高稳态精度；III型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差(wùchā)为零。精品资料RsR(s)υI型0型II型s3Rs2R

R1+K000∞∞∞KRKR根据前面的分析(fēnxī)可得出典型结构的系统，稳态误差与系统输入和型号的关系为：输入的阶次越高，稳态误差越大。系统(xìtǒng)的型号越高，稳态误差越小。第六节线性系统的稳态误差计算

精品资料例已知系统(xìtǒng)的结构如图所示。求系统(xìtǒng)的稳态误差。0.5100s(s+10)-R(s)C(s)解：G(s)H(s)=100×0.5s(s+10)开环传递函数为+R(s)=s1s21s(0.1s+1)5=R(s)=s1s21R(s)=Kp=limG(s)H(s)s→0=lims→0s(0.1s+1)5=∞

ess1=0υK=limsG(s)H(s)s→0=lims→0s(0.1s+1)5sess2=0.2=5

essr=ess1+ess2=0.2第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算精品资料例位置(wèizhi)随动系统的稳态误差分析。解：(1)典型(diǎnxíng)随动系统开环传递函数为Ks(Tms+1)G(s)=当输入信号当输入信号θr(s)=s1s2θr(s)=1Ks(Tms+1)-θr(s)θc(s)essr=0Kp=∞

essr=K1Kυ=K第六节线性系统的稳态误差计算

精品资料(2)随动系统(xìtǒng)前加入比例微分环节系统(xìtǒng)为非典型结构,闭环传递函数Ks(Tms+1)-θr(s)θc(s)τs+1Ф(s)=Tms2+s+KK(τs+1)E(s)=θr(s)-θc(s)=θr(s)[1-]Tms2+s+KK(τs+1)s2θr(s)=1当输入信号ess=limsE(s)s→0Tms2+s+KTms2+s-Kτs1=limss→0×s2=K1-Kττ=K1essr=0=Tms2+s+KTms2+s+K-K-Kτsθr(s)第六节线性系统的稳态误差计算

精品资料(3)前向通道中加入(jiārù)比例微分环节开环传递函数为s)τK(1+s(Tms+1)G(s)=当输入(shūrù)信号当输入信号开环零点对稳态误差没有影响Ks(Tms+1)-θr(s)θc(s)τs+1θr(s)=s1essr=0s2θr(s)=1Kp=∞

essr=K1Kυ=K第六节线性系统的稳态误差计算

精品资料第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算四.动态(dòngtài)误差系数将误差传递函数在s=0的领域内展开为泰勒级数

利用静态误差系数求稳态误差，实际上是计算在t

时系统误差的极限值。它不能反映误差随时间变化的规律。为此,引入动态误差系数的概念,用于分析误差随时间变化的规律。精品资料第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算定义：动态误差(wùchā)系数误差信号可表示为如下级数：精品资料第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算通常使用(shǐyòng)以下求动态误差系数的方法：（1）将已知开环传递函数写成分子、分母多项式的比值形式

（2）写出多项式比值形式的误差传递函数（按s的升幂排列写）

（3）使用多项式除法，得到一个S的升幂级数

（4）得到用动态误差系数表示的E(s)精品资料D(s)作用(zuòyòng)下的系统结构图R(s)=0essd=lims-G2(s)H(s)D(s)1+G1(s)G2(s)H(s)s→0Ed(s)=-G2(s)H(s)1+G1(s)G2(s)H(s)·D(s)+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)第六节线性系统的稳态误差(wùchā)计算五.扰动信号作用下的稳态误差精品资料例已知系统(xìtǒng)的传递函数，求系统(xìtǒng)的稳态误差。s(3s+1)5G2(s)=H(s)=2/sG1(s)=s+510G1(s)G2(s)H(s)=50×2s(s+5)(3s+1)r(t)=2td(t)=0.51(t)解：系统(xìtǒng)的开环传递函数为s(0.2s+1)(3s+1)20==0.12K=220=R(s)=s222essr=Kυ

D(s)=0.5sessd=lims-G2