理学数字逻辑基础

“数字逻辑”在硬件系列课程中的位置硬件系统设计微机原理数字逻辑

数字逻辑是计算机组成的物理实现本课程的主要内容数字逻辑基础：逻辑代数(布尔代数)

无记忆的逻辑电路：组合逻辑器件与电路记忆元件：触发器有记忆的逻辑电路：时序逻辑电路基础与常用器件有记忆的逻辑电路：时序逻辑电路分析与设计可编程逻辑器件数模、模数接口电路主要参考书（1）邓元庆等，数字电路与系统设计，西安电子科技大学出版社（2）阎石，数字电子技术基础，高教出版社（3）陈光梦，数字逻辑基础，复旦大学出版社（4）刘宝琴，数字电路与系统，清华大学出版社（5）王毓银，数字电路逻辑设计，高等教育出版社（6）蔡良伟，数字电子技术，西安电子科技大学出版社

如何学好这门课1、掌握本课的特点：重视实践环节2、掌握分析、设计方法3、作业和实验独立完成第1章数字逻辑基础1324绪论逻辑函数的描述方法逻辑代数基础逻辑函数的化简

5数制与代码绪论1.1.1、数字电路的基本概念电信号模拟信号：时间上、数值上都是连续变化的信号。

如正弦波信号、话音信号、交流电压信号、流量、压力信号等。模拟电路：传输、处理模拟信号的电路称为模拟电路。数字信号：时间上、数值上都是断续变化的离散信号。如矩形波、方波信号等。数字电路：传输、处理数字信号的电路称为数字电路。

Um－信号幅度；

T－信号重复周期；

tW－脉冲宽度。

q－占空比。其定义为：理想周期性数字信号实际的数字信号

50%90%

10%tWtrtfUm

tr：脉冲上升时间tf:脉冲下降时间

T数字信号是非连续变化的，只有两种状态，用“1”和“0”

表示。数字电路研究对象是电路的输入和输出之间的逻辑关系，所以数字电路也称逻辑电路。分析方法采用逻辑代数、真值表、卡诺图、特征方程、状态转换图、时序波形图等。

数字电路不仅可以对信号进行算术运算，而且能够完成逻辑运算，具有逻辑推理和逻辑判断的能力。在电子计算机、数字控制、数字通信等领域得到广泛应用。

数字电路的特点第1章数字逻辑基础1324绪论逻辑函数的描述方法逻辑代数基础逻辑函数的化简

5数制与代码数制与代码一、十进制：DecimalSystem共有1、2、3、4、5、6、7、8、9、0十个数码，位与位之间遵循逢十进一的规律。157=一个十进制数数N可以表示成：若在数字电路中采用十进制，必须要有十个电路状态与十个记数码相对应。这样将在技术上带来许多困难，而且很不经济。二、二进制：BinarySystem共有两个数码0或1，位与位之间遵循逢二进一的规律。（1001）B==(9)D二进制的优点：电路中任何具有两个稳定状态的元件都可用来表示一位二进制数，数码的存储和传输简单、可靠。二进制的缺点：位数较多，不便于读数；不合人们的习惯，输入时将十进制转换成二进制，运算结果输出时再转换成十进制数。一个二进制数数N可以表示成：三、十六进制和八进制十六进制的数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)(4E6)H=4162+14161+6160=(1254)D=(010011100110)B(F)H(1111)B说明：十六进制的一位对应二进制的四位。1.十六进制与二进制之间的转换。Hexadecimal：十六进制的Decimal：十进制的Octal:八进制的Binary：二进制的(0101

1001)B=[027+126+025+124+123+022+021+120]D=[(023+122+021+120)161+(123+022+021+120)160]D=(59)H每四位2进制数对应一位16进制数(10011100101101001000)B=从末位开始四位一组(1001

1100

1011

0100

1000)B()H84BC9=(9CB48)H2.八进制与二进制之间的转换。(10011100101101001000)O=从末位开始三位一组(10011

100101101001

000)B

()O01554=(2345510)O32八进制记数码：0、1、2、3、4、5、6、7(7)O(111)B说明：八进制的一位对应二进制的三位。四、十进制与二进制之间的转换两边除2，余第0位K0商两边除2，余第1位K1十进制与二进制之间的转换方法：可以用二除十进制数，余数是二进制数的第0位K0，然后依次用二除所得的商，余数依次是第1位K1

、第2位K2

、……。……225余1

K0122余0

K162余0

K232余1

K312余1

K40例：十进制数25转换成二进制数的转换过程：(25)D=(11001)B由于人们生活中习惯采用的是十进制，而数字电路便于采用的是二进制，这自然就提出了如何用二进制编码来表示十进制数的问题，即二----十进制编码的问题。BCD－BinaryCodedDecimal(二进制编码的十进制代码)二进制编码:将二进制数字的符号“0”和“1”按一定的规律排列,并赋予每一种排列一个固定的含义,这样的过程就叫二进制编码。这样得到的每一个有固定含义的排列就称为一个二进制代码。五、常用的二——十进制编码BCD码用四位二进制数表示0~9十个数码。四位二进制数最多可以表示16个字符，因此，从16种表示中选十个来表示0~9十个字符，可以有多种情况。不同的表示法便形成了一种编码。这里主要介绍：8421码5421码余3码2421码十进制数(N)D二进制编码(K3K2K1K0)B(N)D=W3K3+W2K2+W1K1+W0K0W3~W0为二进制各位的权重所谓的8421码，就是指各位的权重是8、4、2、1。01235678940345678291012367854900000001001000110110011110001001101010111101111011110101110001000123578964二进制数8421码2421码5421码余三码

循环码的两个特性:

相邻性：任意两个相邻的代码中仅有

1位取值不同。

循环性：首尾两个代码也具有相邻性。循环码：满足上述两个特性的编码。格雷码：除了具有上述两个特性之外，还具有反射性。反射性：以编码的最高位0和1的交界处为对称轴，处于对称位置的各代码除了最高位不同外，其余各位均相同。六、典型的循环码——格雷码十进制数格雷码01234567891011121314150000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000注意：

格雷码是非加权码的一种，因为它的每一位均无固定的乘幂或加权值，因此无法拿来作为算术运算之用。

六、典型的循环码——格雷码

七、ASCII码

ASCII码的英文全名是AmericanStandardCodeforInformationInterchange，中文称为美国标准信息交换码。在当时美国国家标准局（AmericanNationalStandardInstitute，简称ANSI）为了要让各家厂商所制造的计算机能有一致的数字编码可以通用，不会因为计算机品牌不同而无法相互沟通，因此制定了一套标准化的信息交换码，使得不同的计算机都有共同的标准可以遵循。ASCII码区域位表示意义000保留给通讯控制用001保留给通讯控制用010特殊符号011阿拉伯数字及特殊符号100大写英文字母A～O101大写英文字母P～Z及特殊符号110小写英文字母a～o111小写英文字母p～z

七、ASCII码

ASCII码采用7位二进制编码表示十进制符号、英文大小写字母、运算符、控制符及特殊符号。

128个编码中有95个编码为字符码，可以显示或打印。另外的33个字符为控制码，控制计算机某些外围设备的工作特性和某些计算机软件的运行情况，不能显示或打印。

数字0~9在ASCII字符码中为0110000~0111001，即30~39H，前3位固定为011，后4位就是十进制数对应的8421码。第1章数字逻辑基础1324绪论逻辑函数的描述方法逻辑代数基础逻辑函数的化简

5数制与代码逻辑代数基础一、逻辑代数的基本运算逻辑代数是研究逻辑变量及其相互关系的一门学科，19世纪中叶英国数学家布尔首先提出的，后来由美国数学家亨廷顿完善，又称之为布尔代数。逻辑代数已成为分析和设计数字电路的理论基础，即是研究逻辑电路的工具。

如果决定某一件事F发生或成立与否的条件有多个,分别用A、B、C表示，并规定：F＝“1”

代表事件发生（或成立)，F＝“0”

代表事件不发生（或不成立)；A＝B＝C＝“1”

代表条件具备，A＝B＝C＝“0

”代表条件不具备；基本逻辑关系1.“与”逻辑A、B、C都具备时，事件F才发生。EFABC&ABCF逻辑符号AFBC00001000010011000010101001101111逻辑式：F=A•B•C逻辑乘法逻辑与真值表逻辑函数逻辑变量2.“或”逻辑A、B、C只有一个具备时，事件F就发生。C

1ABF逻辑符号AEFBCAFBC00001001010111010011101101111111逻辑式：F=A+B+C逻辑加法逻辑或真值表3.“非”逻辑A具备时，事件F不发生；A不具备时，事件F发生。逻辑符号AEFR逻辑非逻辑反真值表AF0110AF14.复合逻辑和常用逻辑“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都是在此基础上发展的。与非：全1则0，任0则1。&ABCF或非：任1则0，全0则1。

1ABCF异或：条件A、B有一个具备，另一个不具备，则F发生。=1ABF4.复合逻辑和常用逻辑4.复合逻辑和常用逻辑与或非：

ABC同或：条件A、B两个同时具备，或两个同时不具备时，则F发生。=1ABFBAABABF⊙=+=CDABF+=

1F&D国标符号惯用符号国外符号ABCF&ABCFABCF≥1ABCF+ABCFABCF1AFAFAF＝1ABFA

BFABF逻辑符号逻辑图符号标注规定（GB4728.12-1996）所有逻辑符号都由方框（或方框的组合）和标注在方框内的总限定符号组成&总限定符号&11=1外部逻辑状态逻辑约定小圈表示逻辑非也可采用极性指示符内部逻辑状态三种基本逻辑运算：与运算：0•0=00•1=01•0=01•1=1或运算：0+0=00+1=11+0=11+1=1非运算：二、逻辑代数的基本公式和定理1.基本公式0-1律：A+0=AA+1=1A•0=0A•1=A互补律：对合律：重叠律：1.基本公式交换律结合律分配律A+B=B+AA•B=B•AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•CA(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+C)普通代数不适用!1.基本公式吸收律：A+AB=AA(A+B)=AA+B=A+BA(+B)=ABAB+A=A(A+B)(A+)=A

包含律：AB+C+BC=AB+C(A+B)(+C)(B+C)=(A+B)(+C)反演律（DeMorgan定理）：

==+

证明：例如：公式证明及举例公式证明及举例证明：例如：1吸收

反演律证明：可以用列真值表的方法证明：提供了一个求反函数的途径，是一条重要的定律2、定理逻辑代数中有三个重要的定理：代入定理、对偶定理和反演定理。

代入定理对偶定理反演定理代入定理代入定理：在任何一个逻辑等式中，若将其中一个逻辑变量全部用另一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。利用代入定理可以把德.摩根定律扩展到含有多个变量的等式，如：

对偶定理对偶式（对偶函数）：设F是一个逻辑函数表达式，若将F中的“与”、“或”运算符互换，常量“

1”、“

0”

互换，得到的新表达式叫做F的对偶式（或对偶函数）。对偶定理：若两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。反演定理反演定理：对于任何一个逻辑函数式，将其中的“与”、“或”运算符互换，常量“

1”、“

0”

互换，原变量与反变量互换，并且不改变原来的运算顺序。所得到的逻辑函数是原来逻辑函数的反函数。例：注意：A＋B＝A＋CA•B=A•C未必有B＝C未必有B＝C逻辑代数中没有减法与除法。第1章数字逻辑基础1324绪论逻辑函数的描述方法逻辑代数基础逻辑函数的化简

5数制与代码逻辑函数的描述方法将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。例：有三个输入信号A、B、C，若两个或两个以上同时为1时，输出F为1，否则F为0。一、真值表描述法注意：n个变量可以有2n个组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。二、逻辑函数式描述法逻辑函数式：把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。例：有三个输入信号A、B、C，若两个或两个以上同时为1时，输出F为1，否则F为0。

=

AB+BC+AC

逻辑函数表达式的基本形式1．“与–

或”表达式由若干“与项”进行“或”运算构成的表达式。每个“与项”可以是单个变量的原变量或反变量，也可以是多个原变量或反变量相“与”组成。如：“与项”又被称为“积项”，“与–

或”表达式称为“积之和”

表达式。2．“或–

与”表达式由若干“或项”进行“与”运算构成的表达式。每个“或项”可以是单个变量的原变量或反变量，也可以是多个原变量或反变量相“或”组成。如：“或项”又被称为“和项”，“或–

与”表达式称为“和之积”表达式。

最小项：有n个变量，由它们组成的具有n个变量的乘积项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，这个乘积项为最小项。n个变量有2n个最小项。例如：n=3，对A、B、C，有8个最小项逻辑函数的两种标准形式：标准的“与或”表达式和标准的“或与”表达式。最小项的表示方法为方便起见，将最小项表示为mi。

n=3的8个最小项为：

标准的“与或”表达式任何逻辑函数均可表示为唯一的一组最小项之和，称为标准的“与或”表达式某一最小项不是包含在F的原函数中，就是包含在F的反函数中。例：

)7,4,3,2()()(4723å=+++=+++=++++=mmmmmCBAABCCBABCACBABCAACCBA

标准的“或与”表达式：

最大项：设有n个变量，由它们组成的具有n个变量的或项，每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，则称这个项为最大项。n个变量有2n个最大项。例如：n=3，对A、B、C，有8个最大项。

标准的“或与”表达式：任何一个逻辑函数均可表示为唯一的一组最大项之积，称为标准的“或与”表达式。

例如：

标准的“或与”表达式：)4,1,0()()()()()]([)()(410Õ=··=++·++·++=++··++=++·+=MMMMCBACBACBACBACCBACBABAF最小项和最大项的性质对于一个具有n个变量的逻辑问题，在输入变量的任意一种取值情况下，总有：必有且仅有一个最小项的逻辑值为1；必有且仅有一个最大项的逻辑值为0。任意两个不同的最小项之积为0；任意两个不同的最大项之和为1。（i≠j）全体最小项之和恒为1；全体最大项之积恒为0。相同序号的最小项和最大项互为反函数。最小项和最大项的性质将任意逻辑函数转换为标准“与–或”表达式或标准“或–与”表达式的方法：代数法和真值表法。1．代数法转换成“与–或”表达式的步骤分为两步：第一步：将函数表达式转换成一般“与–或”表达式。第二步：使用X=X•（Y+）将表达式中所有非最小项的“与项”扩展成最小项。例：

=m0+m1+m3+m6+m7

=

将逻辑函数化成标准形式的方法转换成“或–

与”表达式的步骤分为两步：第一步：将函数表达式转换成一般“或–

与”表达式。第二步：使用A=(A+B)(A+)将表达式中所有非最大项的“或项”扩展成最大项。例：将逻辑函数化成标准形式的方法

假定在函数F的真值表中有k组变量取值使F值为0，则函数F的最大项表达式由这k组变量对应的k个最大项组成。则根据真值表可写出最大项表达式：

2．真值表法：由真值表写逻辑函数的标准式假定在函数F的真值表中有k组变量取值使F值为1，则函数F的最小项表达式由这k组变量对应的k个最小项组成。例：将变换成最小项表达式。解：列出真值表，有四项F为1，根据真值表可写出最小项表达式。

A

B

C

F00000010010101101001101111011110将逻辑函数化成标准形式的方法两种标准表达式的关系标准“与–或”式和标准“或–与”式是同一逻辑函数的两种不同表示形式，因此二者在本质上是相等的。两种标准式中的最小项和最大项序号间存在一种互补关系。有相同自变量和相同序号构成的最小项表达式与最大项表达式互为反函数。

三、卡诺图描述法卡诺图的结构：将n个输入变量的每个最小项分别用小方格表示，并且将逻辑相临的最小项放在相临的几何位置上，所得到的方格图就是n变量的卡诺图。卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在方格图的上方和左方。

AB

0

101两变量卡诺图三、卡诺图描述法二变量卡诺图：三变量卡诺图：AB0101

m0m1m3M2m4m5m7m6

ABC0001111001三变量卡诺图Ｆ(A,B)=

三、卡诺图描述法

m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10

CDAB00011110

00011110

四变量卡诺图：三、卡诺图描述法用卡诺图描述逻辑函数：

由真值表画出卡诺图：将真值表上各行的取值填入卡诺图上对应的小方格。由逻辑表达式画出卡诺图：将逻辑表达式变为标准形式。如果是最小项表达式，则只要将最小项表达式中出现的序号对应的卡诺图编号填入1即可；如果是最大项表达式，则只要将最大项表达式中出现的序号对应的卡诺图编号填入0即可。注：非标准形式的逻辑表达式，可直接填写卡诺图。三、卡诺图描述法ABC0001111001F(A,B,C)=m(1,2,4,7)1,2,4,7单元取1，其它取0例：用卡诺图描述下列函数相邻ABCD0001111000011110四变量卡诺图编号为0010的单元对应于最小项：ABCD=0100时函数取值函数取0、1均可，称为任意项或无关项。相邻三、卡诺图描述法例：用卡诺图描述下列函数F(A,B,C,D)=四、逻辑图把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了逻辑图。

1AB

1CD&FF=(A+B)(C+D)第1章数字逻辑基础1324绪论逻辑函数的描述方法逻辑代数基础逻辑函数的化简

5数制与代码逻辑函数的化简化简目的：降低系统成本、减少复杂度、提高可靠性。最简“与-或”表达式应满足两个条件：

表达式中的“与”项个数最少;

每个“与”项中变量个数最少。最简“或–与”表达式应满足两