哈密顿力学课件

Lagrange力学不能体现坐标、速度在因果律上的独立性。在位形空间描述运动，方程二阶，同一点可能代表体系的不同状态（速度不同），导致运动轨道不同。1835年，Hamilton发表两篇著名论文，将Lagrange方程化为更对称的一阶方程组，创立了Hamilton动力学，为量子力学、统计物理、量子场论奠定理论基础。正则方程泛函与变分力学变分原理拉格朗日乘子法泊松括号正则变换哈密顿－雅可比方程第1页/共57页§3.1

正则方程找到新的特征函数，通过对q,p的偏导生成力学方程。

力学状态参量变换第2页/共57页1．Legendre变换Legendre变换第3页/共57页2．Hamilton正则方程第4页/共57页Hamilton函数Hamilton正则方程以正则变量表示的能量相空间（相宇）由正则变量张成的2s

维空间相点相宇中的点，代表体系的力学状态。相轨道相点在相空间运动而描出的轨道，反映体系状态演化。正则方程决定相点速度（状态时变率）正则变量第5页/共57页例1一维谐振子第6页/共57页例2电磁场中的荷电粒子的Hamilton函数3．守恒定律Hamilton力学中，体系对称性表现为H的变换不变性。第7页/共57页例3重力场中的自由质点柱坐标等效为势场V'中的二维运动系统V'中离心势能来自三维运动系统可遗坐标的共轭动量效应第8页/共57页Hertz力学几何化思想：势能视为增自由度系统动能项中可遗坐标的共轭动量效应，增自由度位形空间的几何性质由势能形式与约束方程决定，一般为弯曲空间；体系成为无势系统，在增维空间作惯性运动（沿短程线运动）。与广义相对论思想异曲同工Hamilton动力学中，与可遗坐标对应的自由度自动分离出来，使待解自由度减少。第9页/共57页第10页/共57页4．正则方程的矩阵形式正则方程矩阵形式或辛（sympletic）形式第11页/共57页§3.2

泛函与变分1．泛函质点沿铅直平面内光滑轨道零初速自A滑至B的用时依赖于函数关系泛函依赖于函数关系的变量，即函数之函数常见泛函形式第12页/共57页2．变分自变函数变分：自变函数发生无限小变动后的新函数与原函数之差自变函数导函数变分可微对任意函数f第13页/共57页变分其中一级变动泛函变分第14页/共57页3．泛函极值问题（变分问题）求自变函数，使泛函取极值捷线问题（1696，J.Bernoulli）：给定两端点，求用时最小的光滑轨道。边界条件有限差分法等分第15页/共57页极值条件离散指标→连续参数数列→函数差分→微分求和→积分多元函数→泛函函数微分→泛函变分第16页/共57页泛函驻值条件4．Euler方程任意Euler方程第17页/共57页例4捷线旋轮线由边界条件决定第18页/共57页例5球面短程线（测地线）第19页/共57页OAB平面法向单位矢，余纬度与经度短程线为OAB平面与球面交线，即大圆。第20页/共57页5．多元泛函极值问题固定边界条件第21页/共57页§3.3

力学变分原理力学原理Newton定律直接写出运动方程D'Alambert原理Hamilton原理变分原理质点系实际运动t时刻实际运动所达位形处的虚位移，即由约束限定的位矢等时变分虚拟运动变分原理指出实际运动与近邻虚拟运动相比所具有的极值性。第22页/共57页1．Hamilton原理有势系D'Alambert原理积分形式第23页/共57页有势系D'Alambert原理积分形式固定边界条件有势系Hamilton作用量与始末时间和位形均相同的虚拟运动相比，有势系实际运动使作用量取驻值。Hamilton原理一般体系的Hamilton原理第24页/共57页Hamilton原理积分变分原理D'Alambert原理微分变分原理2．位形空间与Lagrange方程变分原理特点：(1)不涉及具体坐标选取，形式统一；(2)作用量是标量，形式简单，高度概括；(3)易于推广至无限自由度体系（场）和非力学体系。完整系实际运动虚拟运动固定边界条件有势系第25页/共57页L的规范不定性定域规范（gauge）变换规范变换下体系运动规律不变，此即体系的规范不变性。L的不定性来自势的规范不定性推广经典Lagrange关系第26页/共57页与坐标共轭的动量、与时间共轭的能量均具有不定性，取决于Lagrange函数的规范选择。规范变换下体系力场不变，故运动方程不变。第27页/共57页电磁场规范变换不同规范描述同一电磁场，粒子运动方程不变。例6电磁场的规范变换荷电粒子第28页/共57页一般完整系Hamilton原理思考题：由以上原理，导出Lagrange方程。3．相空间与Hamilton方程第29页/共57页独立变分动量由坐标定义，其变分不独立。Hamilton方程一半是动量定义，另一半是运动方程。第30页/共57页与坐标共轭的动量具有规范不定性实际运动虚拟运动坐标与动量视为地位平等、完全独立的正则变量相空间（2s维）Hamilton原理第31页/共57页Hamilton原理视为相空间力学变分原理，Hamilton方程全体均为运动方程。坐标与动量在满足相空间Hamilton原理的前提下可以独立变换，扩大了变换自由度。4．位形时空与推广的Lagrange方程参数变换第32页/共57页实际运动虚拟运动以上讨论限于位形空间，仅将参数t通过确定的对应关系变换成新参数

。第33页/共57页实际运动虚拟运动位形时空：

为参数，t视为变量位形时空（s+1

维）Hamilton原理第34页/共57页5．其他形式的力学变分原理不附加边界条件，为得到Lagrange方程，力学变分原理一般为或若实际运动与虚拟运动同时同位形出发且同时同位形到达：位形时空（s+1

维）Hamilton原理位形空间（s维）Hamilton原理第35页/共57页可比较具有相同能量、相同始末位形的实际运动与虚拟运动，变分为等能变分。等能条件限制了位形轨道每一点的速度，使实际运动与虚拟运动不能同时出发与到达。若实际运动与虚拟运动同位形出发且同位形到达，但出发、到达时间不同：若体系时间平移对称Lagrange作用量位形时空Lagrange原理注意：第36页/共57页位形空间，消去参数位形空间Lagrange原理位形空间与位形时空参数不同，变分规则不同，故引入全变分（非等时变分）记号

，以示区别。位形时空位形空间最后一步略去高级小量第37页/共57页位形时空等

变分对应位形空间非等t

变分对任意函数第38页/共57页例由位形空间Lagrange原理导出Lagrange方程第39页/共57页第40页/共57页Lagrange原理的Maupertuis形式若定义位形空间的线元（单质点运动空间线元的推广）体系位形代表点沿位形轨道运动的速度，沿轨道切向注意：第41页/共57页Lagrange原理的Jacobi形式此原理不涉及时间，由此可从各虚拟轨道中选出实际轨道。几何光学中有类似形式的Fermat原理类比启示：单质点运动轨迹相当于折射率连续变化介质中的光线。既然几何光学是波动光学的短波长极限，经典力学完全有可能是某种波动力学（即后来建立的量子力学）的短波长极限。R.Feynman发展了路径积分量子化理论，在短波长极限下，物质波沿各可能路径的传播叠加得到由Hamilton原理决定的经典运动轨道。第42页/共57页§3.4

拉格朗日乘子法对完整约束系统，运动方程不含约束力：对不需求解约束力的问题，可直接求解运动；如何求解约束力？约束条件多元函数多元函数在约束条件下的极值问题1．Lagrange乘子法方法一：利用约束条件消去不独立变量，将函数用独立变量表示后求极值。第43页/共57页方法二：引入不定乘子Lagrange乘子法第44页/共57页2．Lagrange乘子法求全部约束力理想完整有势体系第45页/共57页第j约束施于第i质点的力方向决定于大小正比于约束力势第46页/共57页一般理想完整体系第47页/共57页3．Lagrange乘子法求部分约束力求l个约束的约束力除去约束中的前l个，根据后k

l个选择广义坐标。第48页/共57页第j约束力的第

个广义力分量约束力势第49页/共57页根据全部约束选择广义坐标，回到原Lagrange方程：第50页/共57页例7质点m从半径R

的光滑半球面顶端零初速滑下。求脱离球面时的位置。未解时的约束约束力可解约束解除条件除去约束，广义坐标第51页/共57页