信号与系统(第4版)离散信号与系统的频域分析

离散信号与系统的频域分析6.0引言6.1

周期信号的离散时间傅里叶级数6.2

非周期信号的离散时间傅里叶变换6.3

周期序列的离散时间傅里叶变换6.4

离散时间傅里叶变换的性质离散信号与系统的频域分析6.5-离散傅里叶变换(DFT)6.6-DFT的性质6.7-快速傅里叶变换(FFT)简介6.8-离散系统的频域分析6.9小结

6.0引言

本章讨论离散信号与系统的傅里叶分析。基本内容包括:周期离散信号的傅里叶级数;非周期离散信号的离散时间傅里叶变换;离散傅里叶变换及其快速算法———快速傅里叶变换;离散系统的频域分析。

6.1

周期信号的离散时间傅里叶级数

若将所有周期为N的复指数信号组合起来,可以构成一个信号集:

N是此信号集的基波周期,其基波频率为2π/N。在此信号集中,任一信号的频率为其基波频率的整数倍,因此它们之间呈谐波关系。与连续时间信号的复指数信号集{ejnΩt}不同的是,信号集Φn(k)中只有N个信号是独立的。这是因为任何在频率上相差2π整数倍的复指数序列都是相同的。

即

从而有φ0(k)=φN

(k),φ1(k)=φN+1(k),…,φn(k)=φn+rN

(k),其中r为一个整数。这表明在信号集Φn(k)中当n变化一个N的整数倍时,就得到一个完全一样的序列。

与连续时间信号的傅里叶级数表示相似,我们用信号集Φn(k)中所有独立的N个复指数序列的线性组合来表示一个周期序列,这种表示就称为离散时间傅里叶级数(DFS)

6.1.1

离散时间傅里叶级数

一周期为T的周期信号f(t),若满足狄里赫利条件,则有

式中,Ω=2π/T为基波角频率。这就是连续信号的傅里叶级数。

DFS的输入是一个数列,而不是时间连续函数。数列通常是以周期TN秒等间隔、周期地对连续信号采样而产生。如果在周期函数f(t)的一个周期中采集N个样点,则有T=NTN

(TN为采样间隔)。这样就得到一个数据序列f(kTN),可以简记为f(k)。数据的顺序k确定了采样时刻,而采样间隔TN隐含在f(k)中。

为了计算数据序列f(k)的傅里叶级数系数,我们对式(6.1-4)的符号作如下的演变:于是得到

由上式可知,周期序列f(k)的傅里叶级数仍为一数据序列Fn,其基频f1-隐含在序数n中。

由式(6.1-3)可知Fn+rN=Fn,即Fn

也是一个周期序列,于是式(6.1-6)可写为

式中,k=<N>表示k只要从某一个整数开始,取足N个相继的整数值即可。例如,k可以由0取到N-1,也可以由2取到N+1,等等。

依据类似的分析思想,可由式(6.1-5)得到

式(6.1-7)与式(6.1-8)构成离散信号DFS变换对。式(6.1-7)称为DFS正变换,式(6.1-8)称为DFS逆变换。

与连续时间信号傅里叶级数的情况一样,Fn

称为离散傅里叶级数的系数,也称为f(k)的频谱系数。通常Fn

是一个关于n的复函数。采用与连续时间傅里叶级数中同样的方法,可以证明当f(k)是实周期信号时,其离散傅里叶级数的系数满足

由此可以推得Fn

的实部是关于n的偶函数,它的虚部是关于n的奇函数;Fn

的模是n的偶函数,Fn

的相角是n的奇函数。这些结论与连续信号的傅里叶级数的情况完全一样。

由DFS的定义式(6.1-7)可知,离散时间傅里叶级数的系数是以N为周期的,即离散时间周期信号的频谱是以N为周期的周期序列。这一点与连续时间周期信号的频谱有着根本不同。只要我们取够Fn

的一个周期,就可以按式(6.1-8)叠加成周期信号f(k)。通常将Fn

中的n从0到N-1取值的周期称为f(k)频谱的主值周期,或简称为主周期。

图6.1-1

所示为一离散时间周期矩形脉冲序列f(k),它在一个周期内可以表示为

应用式(6.1-7)可求其傅里叶级数。图6.1-1-周期性矩形脉冲序列

应用式(6.1-7)可求其傅里叶级数。不过,直接利用式(6.1-7)从0到N-1来计算并不方便,因为这个序列是对k=0对称的,因此,宜选择一个对称区间,于是f(k)的离散时间傅里叶级数系数为

由式(6.1-12)可以看出,Fn的包络具有sinβx/sinx的形状,将此包络以2π/N为间隔取离散样值并乘以1/N就可得到Fn。据函数sinβx/sinx的特点,f(k)的频谱可按以下步骤绘制,首先,将0~2π的频率范围按(2N1+1)等分,作出包络线;再将包络以2π/N为间隔取样并乘以1/N即可。对图6.1-1所示矩形脉冲序列,当N1=2,N分别取10、20、40时,其频谱如图6.1-2-所示。图6.1-2-周期矩形脉冲序列的频谱

由图6.1-2可以看出,周期性矩形脉冲序列的频谱是离散的,而且是以N(或者对ω而言是以2π)为周期的。当脉冲宽度即N1-不变时,频谱包络的样子不变,只不过随着N的增大,谱线的幅度减小,且谱线的间隔减小,即组成f(k)的频谱分量增多了。当N不变,脉冲宽度N1-改变,则频谱包络的形状就要发生变化。例如,图6.1-1所示信号,若N=10,N1=1,则其频谱如图6.1-3-所示。

将图6.1-3所示频谱与图6.1-2中N=10,N1=2所示频谱对照可知,脉冲宽度N1-越小,则其频谱包络的主瓣宽度越宽。这与连续时间矩形脉冲信号频谱中脉冲宽度与频带宽度的关系相似。因而离散时间信号的DFS与连续时间信号的傅里叶级数有着类似的关系,只不过DFS是周期的,而连续信号的傅里叶级数一般不是周期的。离散时间傅里叶级数的周期性表明,离散周期信号可以而且只能分解为有限个周期性复指数序列。也就是说,将这有限个复指数序列组合起来,一定能恢复成原来的离散时间信号。因此,离散时间傅里叶级数不存在收敛问题。图6.1-3-N=10,N1=1时矩形脉冲序列的频谱

6.2

非周期信号的离散时间傅里叶变换

在6.1节关于周期性矩形脉冲序列频谱的讨论中,我们已经知道,当脉冲宽度N1-不变而周期N增大时,其频谱的谱线间隔将随之减小,谱线的幅度也随之减小,但谱线分布的包络形状不变。当周期N趋于无穷大时,此离散时间周期信号将演变成离散时间非周期信号;与此同时,其频谱谱线将无限密集,从而离散频谱将过渡为连续频谱,且谱线的幅度也将趋于无穷小量。

因而再用离散时间傅里叶级数来表述离散非周期信号显然是不可能的。为此,需要建立离散时间非周期信号的傅里叶表示,即所谓的离散时间傅里叶变换(DTFT)。在此需要指出,这里将讨论的离散时间傅里叶变换并不是通常所说的离散傅里叶变换(DFT)。通常所谓的离散傅里叶变换是为适用于数字计算机分析而引入的一种变换。

6.2.1

离散时间傅里叶变换

图6.2-1(a)所示fN(k)为一离散时间周期信号,当其周期N趋于无穷大时,周期信号fN(k)就过渡为非周期信号f(k)。图6.2-1-离散时间信号

据DFS的定义,图6.2-1(a)所示离散时间周期信号fN

(k)的离散时间傅里叶级数表示式为

由图6.2-1(a)可知,当N1<|k|≤N/2时fN

(k)=0,式(6.2-3)可写为

又由于当|k|≤N1-时,fN(k)=f(k),上式又可写为

则有

式(6.2-5)就称为信号f(k)的离散时间傅里叶变换定义式。与连续时间的情况一样,F(ejω)也称为f(k)的频谱密度函数。它是ω的连续函数。而且是ω的周期函数,其周期为2π。将式(6.2-5)与式(6.2-3)对照可知,非周期信号f(k)的离散时间傅里叶变换F(ejω)与其对应的周期信号fN(k)的离散时间傅里叶级数Fn之间的关系为

由于F(ejω)及ejωk

均是周期为2π的周期函数,因而当式(6.2-8)中的求和在长度为N的区间上进行时,就相应于ω在2π长度的区间上变化,所以式(6.2-8)在N→∞的极限情况下变为

式(6.2-10)和式(6.2-11)就称为离散时间傅里叶变换对。其中,式(6.2-11)称为傅里叶正变换,式(6.2-10)称为傅里叶逆变换。可以看出此离散时间傅里叶变换定义式与第3章所讨论的连续时间傅里叶变换的定义式是相对应的。只不过这里的频谱密度函数F(ejω

)是以2π为周期的周期函数,而F(jω)一般是非周期函数。由于式(6.2-11)是一个无穷级数,因此存在着收敛问题。与连续时间傅里叶变换的收敛条件相对应,如果f(k)绝对可和,即

则式(6.2-11)一定收敛,而且一定收敛于关于ω的连续函数F(ejω

)

一般情况下,F(ejω

)是一个复函数,即

式中,|F(ejω

)|是F(ejω

)的模,θ(ω)是F(ejω

)的相位。|F(ejω

)|及θ(ω)与ω的关系曲线分别称为幅度频谱和相位频谱。|F(ejω

)|为ω的偶函数,θ(ω)为ω的奇函数。

6.2.2

常用信号的离散时间傅里叶变换

1.

f(k)=akε(k),|a|<1

指数序列akε(k)示于图6.2-2,其频谱函数应用式(6.2-11)可直接求得:

其幅度谱和相位谱示于图6.2-2。从图中可知幅度谱、相位谱都是以2π为周期的周期函数。因而一般只要画出0~2π或-π~π的谱线即可。图6.2-2-akε(k)及其频谱

2.

此信号为双边指数序列,并且是k的奇函数。由式(6.2-11)可得

可见,其频谱为ω的虚函数且是ω的奇函数。

3.矩形脉冲信号f(k)

f(k)的波形示于图6.2-3(a)中,由式(6.2-11)可得

当N1=2时,F(ejω)如图6.2-3(b)所示。它显然就是图6.1-2所示周期性矩形脉冲的傅里叶级数谱线的包络。图6.2-3-矩形脉冲信号及其频谱

4.单位脉冲序列δ(k)

由式(6.2-11)可得

δ(k)的频谱为1,这表明单位脉冲信号包含了所有的频率分量,而且这些频率分量的幅度和相位都相同。δ(k)的波形及频谱示于图6.2-4

中。图6.2-4-单位脉冲信号δ(k)及其频谱

5.

f(k)=1

此信号显然不满足式(6.2-12)所示的绝对可和条件,因而直接应用式(6.2-11)无法求出其频谱。在第3章的讨论中我们已经知道,连续信号1的频谱函数为2πδ(ω)。为此,我们考察频域以2π为周期的均匀冲激串,应用式(6.2-10)求其所对应的时域信号,即

由此可见,21π对应的离散时间傅里叶变换为

因此可得,1

的频谱为,即

其频谱示于图6.2-5。图6.2-5-序列1及其频谱

6.正负号函数Sgn(k)

Sgn(k)可以看成是由连续信号Sgn(t)经抽样得到的离散时间序列,如图6.2-6-所示。它同样不满足绝对可和的条件,即无法直接应用式(6.2-11)求得其频谱。

图6.2-6-正负号序列Sgn(k)

与前面讨论过的双边指数奇函数序列相比较可知,Sgn(k)为上述双边指数序列当a趋于1时的极限。因而可以采用对上述信号的频谱式(6.2-14)求a→1的极限的方法求得Sgn(k)的频谱,即

7.单位阶跃序列ε(k)

单位阶跃序列ε(k)的表示式为

对照连续信号ε(t)频谱的求法,我们将ε(k)表示为下面的形式:

由前面的讨论已经知道:

于是有

6.3

周期序列的离散时间傅里叶变换

在第3章关于连续时间信号的傅里叶分析中,对周期信号和非周期信号都统一地用其傅里叶变换F(jω)来表示,而且已导出周期信号的傅里叶变换为式中,Ω=2π/T,T为周期信号的周期,Fn为周期信号傅里叶级数的复振幅。下面用类似的方法来分析周期序列的离散时间傅里叶变换F(ejω)。

任一离散周期信号均不满足绝对可和的条件,因而直接应用式(6.2-11)无法求得其离散时间傅里叶变换。对离散时间周期信号f(k),可将其表示为式(6.1-8)所示离散时间傅里叶级数的形式,即x

图6.3-1-f(k)=ejω0k的频谱

在上面的展开式中,每一项求和式只是表述这一项所表示的冲激是以2π为周期的。如果注意到Fn

本身就是以N为周期的(对ω而言是以2π为周期的),因而只要将n的取值范围扩大到所有整数,式(6.3-8)就可以改写成更为简单的形式:

在式(6.3-9)中,n取0~N-1的各项就对应了式(6.3-8)中m=0的各项,n取N~2N-1-的各项就对应了式(6.3-8)中m=1的各项,依次类推。可知,式(6.3-9)的简单形式就可代替式(6.3-8)的表示形式。这样我们就得到离散时间周期信号f(k)的离散时间傅里叶变换F(ejω),即有

式中,Fn

为周期序列f(k)的离散时间傅里叶级数系数,N为周期序列f(k)的周期。此式与连续时间周期信号的傅里叶变换表示式(6.3-1)完全对应。

同样可得图6.3-2-cosω0k的频谱图6.3-3-周期矩形脉冲序列的频谱(N=10,N1=2)

6.4

离散时间傅里叶变换的性质

1.周期性

离散时间f(k)的离散时间傅里叶变换F(ejω

)对ω来说总是周期性的,其周期为2π。这是它与连续时间傅里叶变换的根本区别。

2.线性

若f1(k)↔F1-(ejω),f2(k)↔F2(ejω),则有

3.F(ejω

)的奇偶性

若f(k)↔F(ejω),则据定义式(6.2-11)有

若f(k)为实序列,则f(k)=f*(k),于是有

此式可进一步表述如下。

若

式中,|F(ejω

)|、θ(ω)分别为F(ejω

)的模及相位,R(ejω

)、X(ejω

)分别为F(ejω

)的实部和虚部。容易证明,F(ejω

)的模为ω的偶函数,相位θ(ω)为ω的奇函数;F(ejω

)的实部R(ejω

)为ω的偶函数,虚部X(ejω

)为ω的奇函数。

4.时移和频移

如果f(k)↔F(ejω),对f(k-k0)直接应用式(6.2-11)求离散时间傅里叶变换并通过变量代换可得时移特性

它同样表明序列在时域的平移不会改变其幅频特性,只会给相频特性增加一个线性相移。

如果对F(ej(ω-ω0))应用式(6.2-10)求其傅里叶逆变换,利用变量代换就得频移特性

例如,由式(6.2-17)可知

应用频移性质,显然有

这与式(6.3频域4的)的尺结度论变一换样。

5.时域和频域的尺结度变换

对于离散时间信号f(k),由于k只能取整数,因而f(ak)中a也只能取整数,而且f(ak)的含义与f(at)根本不同。f(ak)并不表示将f(k)沿k轴压缩1/a。比如当a=2时,f(2k)表示由f(k)的偶次项组成的序列,因而f(2k)的离散时间傅里叶变换与f(k)的离散时间傅里叶变换无直接关系。为了讨论离散序列中与连续信号尺度变换类似的性质,我们定义一个信号f(k)(k)

图6.4-1-尺度变换特性

6.频域微分特性

若f(k)↔F(ejω),即有

把上式两端对ω求微分,可得

因此,两端乘j,就有

7.卷积(和)特性

与连续时间傅里叶变换的情况一样,离散时间傅里叶变换的卷积特性也有两个:一个为时域卷积特性,另一个为频域卷积特性。

若f1(k)↔F1(ejω),f2(k)↔F2(ejω),应用与连续时间傅里叶变换卷积特性的证明完全相似的方法,可得时域卷积特性

上式右端为F1(ejω)与F2(ejω)的卷积。只不过由于F1(ejω)与F2(ejω)都是以2π为周期的周期函数,其卷积结果亦为以2π为周期的周期函数,因而称之为周期卷积。记为

8.差分与迭分(累和)

离散时间信号的差分与迭分对应于连续时间信号的微分与积分,因而离散序列差分与迭分的离散时间傅里叶变换对应于连续信号微分与积分的傅里叶变换。

设f(k)↔F(ejω),根据线性和时移特性可得离散序列傅里叶变换的差分性质,即

离散序列迭分的傅里叶变换为

在式(6.4-14)和式(6.4-15)中,如果将(1-e-jω

)用jω代换,就对应于连续信号微分与积分的傅里叶变换。

当f(k)=δ(k)时,,由于

应用式(6.4-15)的迭分特性,可得

这与式(6.2尔定1理9)所表示的结果完全相同。

9.巴塞瓦尔定理

与连续时间信号的情况一样,在离散序列的傅里叶变换中也有类似的巴塞瓦尔定理。即

若f(k)↔F(ejω

),则有

对于周期序列,则相应有

10.对偶性

在第3章的讨论中,我们知道连续信号在时域与频域之间存在一种对偶关系,即

若f(t)↔F(jω),则有

而对于离散序列,其离散时间傅里叶变换j为t)ω↔的2连πf续(-函ω数)F(ejω),因而在f(k)与F(ejω)之间并不存在相应的对偶性。然而相应的连续信号F(ejt)是一个周期为2π的周期信号,我们可求F(ejt)的连续时间傅里叶级数。在离散时间傅里叶变换与连续时间傅里叶级数之间存在一种对偶关系。下面对此进行分析。

若非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换为F(ejω

),即

F(ejω

)是周期为2π的频域周期函数,其对应的F(ejt)也是以2π为周期的时域周期函数。我们将周期信号F(ejt)展开为连续时间傅里叶级数,注意到周期T=2π,基波频率Ω=2π/T=1,于是有

将此式与式(6.4-19)对照,显然有

因此有:若f(k)↔F(ejω),则

式中,CFS表示求F(ejt)的连续时间傅里叶级数系数。这就是离散时间傅里叶变换与连续时间傅里叶级数之间的对偶性。

例6.4-1

已知一周期为2π的连续时间周期信号f(t)的傅里叶级数系数为

求周期信号f(t)。

解由题可知,Fn

可看做是一个离散时间脉冲序列。其离散时间傅里叶变换如式(6.2-15)所示,即为因此,依据对偶关系,就有

如果将对偶性的讨论应用于离散时间傅里叶级数,则可得到与连续信号傅里叶变换相对应的对偶性。

这一对偶性意味着:离散时间傅里叶级数的每一个性质都有其相应的对偶性质。这与连续时间傅里叶变换的情况一样。比如,对于下式所示性质:

则与其对偶的性质为

6.5

离散傅里叶变换(DFT)现在的问题是如何在傅里叶分析中应用数字计算机。对连续时间信号来说,为了得到正、逆傅里叶变换,无论在时域或频域都需要对连续函数进行积分运算,而且其积分区间都要包括从-∞到+∞的范围。显然,要在数字计算机上完成这一运算是不可能的。为此,必须把时域及频域连续函数改换为离散数据,而且必须把计算范围由无限范围收缩为有限区间。这样,就需要对上述的傅里叶变换对进行修改,使之适应数字计算机计算。其修改过程可用图6.5-1-作简要说明。图6.5-1-产生离散傅里叶变换对的图解说明

图6.5-1(a)为连续信号及其傅里叶变换,其时域、频域均为连续函数。

图6.5-1(b)为对f1(t)抽样后的函数及其傅里叶变换。这个傅里叶变换对是对原始变换对的第一次修改,这个修改在频域中有可能产生混叠效应。如果f1(t)为频带有限的信号,f2(t)的抽样频率1/T高于f1(t)最高频率的两倍,那么抽样的结果并没有丢失信息。这种情况下,频域中也就不会产生混叠效应。

f2(t)具有无穷多个样本值,所以图6.5-1(b)中的变换对仍不适宜于计算机计算。为此,必须将抽样后的f2(t)进行截断,使之仅有有限个样本点,比如N个点,这样得到图6.5-1(c)所示的变换对。由于截断而失去了一部分信息,所以其频域函数产生失真,出现了皱波。为了减小皱波,可使截断长度尽可能长些。当然,对于长度有限的函数,只要截断长度大于函数长度,就不会产生皱波。这是对原始变换对的第二次修改。

由于图6.5-1(c)中的频域函数是连续函数,因而还需作进一步修改。若对其频域函数进行频域抽样,可得图6.5-1(d)所示的变换对。此时,时域函数f4(t)为周期函数,它相当于是f3-(t)的周期开拓。图6.5-1(d)所示的变换对对计算机来说是可以接受的。因为在时域和频域它都是以离散值表示,原来的时间函数f1(t)用N个样本值近似,原来的傅里叶变换F1(f)也用N个样本值近似。

从上面的分析可以看出:时域上抽样的结果得到频率的周期函数,而频域上抽样的结果得到时间的周期函数。因此,应用数字计算机进行傅里叶分析时,需要将原时间函数和频率函数二者都修改成周期序列,用N个时间样本值和N个频率样本值分别表示时域波形和频域波形的一个周期。由于N个时间值与N个频率值是由离散傅里叶级数(DFS)相联系的,所以我们可以由DFS导出离散傅里叶变换(DFT)的关系式。

6.5.1

离散傅里叶变换的引入

假定f(k)是一个有限长序列,其长度为N,即在区间0≤k≤N-1以外,f(k)为零。将f(k)以周期为N延拓而成的周期序列记为fp(k),则有

上式还可写为

式(6.5-7)和式(6.5-8)是DFS的另一种表示形式。式中,常数系数1/N置于DFS的正变换或逆变换式中,对DFS变换无任何实质影响。如果将周期序列Fp(n)在主值区间表示为F(n),0≤n≤N-1,由于以上两式的求和范围均为0~N-1,在此区间内fp(k)=f(k),因此,“借用”离散傅里叶级数的形式可以得到

式中:

式(6.5-9)和式(6.5-10)所定义的变换关系就称为离散傅里叶变换(DFT)。它表明,时域的N点有限长序列f(k)可以变换为频域的N点有限长序列F(n)。显然,DFT与DFS之间存在以下关系:

与连续时间傅里叶变换的情况类似,DFT的正、逆变换之间存在一一对应的关系。或者说,IDFT[F(n)]是唯一的。对此可作如下证明。

将式(6.5-9)代入式(6.5-10),有

由于

所以,在区间0~N-1有

由此可见式(6.5-10)定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。可记为图6.5-2

6.5.2

DFT的计算

由DFT的定义式(6.59)及(6.510)可知,其计算过程可写成矩阵形式(为了简便,式中WN

的下标N未写),即

式中,r是kn被N除得的商数,l是余数。所以有

由于

所以有

在kn值表中,实际上只有N个不同的数值。例如,当N=8时,按模8计算的kn值示于表6.1。很明显,它仅有8-个不同的kn值。

6.6

DFT的性质

我们知道,离散傅里叶变换是由连续傅里叶变换导出的,因而它们之间有着密切的对应关系。离散傅里叶变换的许多性质与连续傅里叶变换的性质非常相似。掌握这些性质,对于进行DFT运算和研究它的快速算法很有帮助。为了记述方便,我们将DFT对记为式中,f(k)和F(n)均为N点序列。

1.线性

若f1(k)↔F1(n),f2(k)↔F2(n),则

式中,a,b为任意常数。

2.对称性

若f(k)↔F(n),则

此性质可以由IDFT式(6.5-10)互换变量k和n而证得。

3.时移特性

有限长序列

f(k)的时移序列f(k-m),从一般意义上讲,是将序列f(k)向右移动m位。即将区间0~N-1的序列f(k)移到区间m~N+m-1。由于DFT的求和区间是0到N-1,这就给位移序列的DFT分析带来困难。

我们这里所讨论的时间位移并不是指上述一般意义上的位移,而是指循环位移(亦称圆周位移)。所谓循环位移,实质上是先将有限长序列f(k)周期延拓构成周期序列fp(k),然后向右移动m位得到fp(k-m),最后取fp(k-m)之主值。这样就得到所谓的循环位移序列fp(k-m)GN(k)。一般可记为

循环位移过程示于图6.6-1。本章所提到的位移,如无特别声明,均指循环位移。图6.6-1-有限长序列的循环位移

DFT分析中的时间循环位移特性告诉我们:

若f(k)↔F(n),则

上述结论可直接对位移序列f((k-m))NGN(k)求DFT得到。

4.频移特性

若f(k)↔F(n),则有

不言而喻,这里的频率位移序列也是指有限长序列F(n)的循环位移。式(6.6-4)的结论可直接对F((n-l))NGN(n)求IDFT得到。

频移特性表明,若时间序列乘以指数项WN-lk,则其离散傅里叶变换就向右循环位移l单位。这可看做调制信号的频谱搬移,因而也称为调制定理。

5.采用DFT的IDFT

若f(k)↔F(n),则有

这个性质的意义在于,利用DFT正变换的算法既可计算其正变换,又可计算其逆变换,这就为DFT的计算带来了程序通用化的方便。

6.时域循环卷积(圆卷积)

我们知道,卷积在系统分析中起着非常重要的作用。两序列f1(k)和f2(k)(长度分别为L和M)的卷积得到长度为L+M-1的另一个序列,即

这就是所谓的线卷积。而这里所讨论的是循环卷积,也称圆卷积。循环卷积的含义为:两长度均为N的有限长序列f1(k)和f2(k),其循环卷积结果仍为一长度为N的序列f(k)。循环卷积的计算过程与线卷积相似,只不过求和式中的位移项f(k-m)应按循环位移处理。因而,有限长序列f1(k)与f2(k)的循环卷积可记为

与线卷积的图解法相似,圆卷积的图解分析可按照反褶、循环位移、相乘、求和的步骤进行,图6.6-2画出了两序列线卷积及圆卷积的结果。从图中可知,如果采用补零的方法将两序列的长度增到足够长,则其圆卷积与线卷积的结果一样。图6.6-2-线卷积与圆卷积比较

在DFT中,循环卷积(圆卷积)具有如下的性质:

若f1(k)↔F1(n),f2(k)↔F2(n),则有

利用这个性质,可使循环卷积的计算过程大为简化,但对于式(6.6-6)所示的线卷积不能直接应用此性质。

图6.6-3-应用DFT求序列f1(k)与f2(k)的线卷积

7.频域循环卷积(频域圆卷积)

若f1(k)↔F1(n),f2(k)↔F2(n),则有

式中:

8.奇偶虚实性

设f(k)为实序列,f(k)↔F(n),令

式中,Fr(n)是F(n)的实部,Fi(n)是F(n)的虚部。由DFT的定义式可写出

于是有

由此可见,实序列的离散傅里叶变换为复数,其实部为偶函数,虚部为奇函数。

若实序列f(k)为k的偶函数,即

则经循环位移再引用式(6.6-14)可以证得Fi(n)=0,仅留下Fr(n),且为n的偶函数。也就是说,实偶序列的DFT也为实偶函数。同样可以证明,实奇函数的DFT为虚奇函数。这与连续傅里叶变换的情况一样。图6.6-4-实序列DFT的|F(n)|对称分布示例

若f(k)为纯虚序列,它的DFTF(n)也可分解为实部和虚部之和,仍以式(6.6-11)表示。容易证明,Fr(n)是n的奇函数,而Fi(n)是n的偶函数。即纯虚序列的离散傅里叶变换为复数,其实部为奇函数,虚部为偶函数。同样可证,虚偶函数的DFT是虚偶函数,而虚奇函数的DFT为实奇函数。因此,对于纯虚序列有

9.巴塞瓦尔定理

若f(k)↔F(n),则有

如果f(k)为实序列,则有

巴塞瓦尔定理表明,在一个频域带限之内,功率谱之和与信号的能量成比例。

6.7

快速傅里叶变换(FFT)简介

在6.5

节,我们已经引出了如下的DFT和IDFT定义式:

按说,根据上两式就可利用数字计算机对一离散系统进行傅里叶分析,然而,情况并非如此。在DFT的有关理论提出后很长的一段时间,DFT一直未能得到广泛的应用。究其原因,主要是由于DFT的计算量非常庞大,从而限制了DFT的应用。我们在6.5节已经指出,计算一个N点的DFT,一般需要N2-次复数乘法和N(N-1)次复数加法运算。因此,当N较大或要求对信号进行实时处理的情况下,往往难以实现所需的运算速度。为此,需要研究DFT的快速算法,这就是所谓的快速傅里叶变换(FFT)。

快速傅里叶变换的实质是利用权函数WknN的对称性和周期性,把N点DFT进行一系列分解和组合,使整个DFT的计算过程变成一系列迭代运算过程。例如,对于N=2l的FFT算法,就是把一个N×N的矩阵分解成l个矩阵,使被分解的每一个矩阵具有复数乘法和复数加法次数最少的特性。这样,当N很大时,可能成百倍甚至成千倍地减少计算量。理论分析可知,当N=210=1024时,利用FFT可节省99%的计算量,从而使离散系统的DFT分析成为现实。

6.7.1

DFT矩阵WE及其因子化

DFT的定义式(6.7-1)表明,它有N个输入和N个输出,因而称为N点DFT。实际上,式(6.7-1)表示N个代数式的计算。例如,当N=8,kn值以模8运算,据定义式有:

显然,这样的方程式用矩阵表示更为简明方便。一般情况下,我们可将DFT的定义式写成矩阵的形式:

式(6.7-3)中:

它们都是列矩阵。WE

称为DFT矩阵。当N=8时,有

WE矩阵是一个N×N的方阵,而且是对称矩阵。其行序为n=0,1,2,…,(N-1),列序为k=0,1,2,…,N-1。

在分析一个系统时,WN=e-j2πN往往是确定的,因而WE矩阵的关键是矩阵中WknN

的指数排列次序。为此,我们将WE矩阵中各元素WknN的指数单独组成矩阵E,使问题更加简单明了。当N=8时,有

同理,IDFT也可写成矩阵形式。对应定义式(6.7-2)有

令n的排序为0,2,1,3,则可写出其矩阵表示式为

可见,在n按0,2,1,3排序情况下,DFT矩阵为

矩阵WE可以看做是由式(6.7-9)中虚线所分的四个子矩阵组成的。而每个子矩阵可以写成下面的形式:

将这三个关系式代入式(6.7-9),并利用分块矩阵相乘的规则,矩阵WE可以写为

若令

则有

这样,我们就将DFT矩阵WE写成两个矩阵WE2-和WE1-相乘的形式。可以看出,矩阵WE1和WE2

中有不少的零元素,而且随着N的增加,零元素将变得非常多,这就为计算DFT带来方便。我们把这种类型的矩阵称为稀疏矩阵。上面关于N=22

的DFT矩阵因子化的讨论可以推广到任意的N=2l点DFT矩阵。关于这方面的内容读者可参阅有关资料。

6.7.2

基2FFT概述

为了使读者对基2FFT的快变原理有一个直观的了解,我们以N=22

为例具体分析其快速变换过程。

对于N=22=4,据DFT定义式(6.7-1)有

利用DFT矩阵因子化的结论式(6.7-10),可将上式写成

式(6.7-12)的计算过程可分为两步,首先计算式(6.7-12)右边后两个矩阵的乘积,从而得到列矩阵F1(k):

算出F1(0)要有一次复数乘法和一次复数加法。这是显然的:

算出元素F1(1)也用一次复数乘法和一次复数加法。但计算F1(2)时,只需要一次复数加法,这是因为W04=-W24,因此

利用中间矢量F1(k)就可进一步完成式(6.7-12)的计算:

元素F2(0)可用一次复数乘法和一次复数加法确定:

图6.7-1-N=22-的FFT信号流程图

这个信号流程图可解释如下,进入每一个结点的实线代表由上一列结点来的数据的传输路径,传输方向为线上箭头方向。每一条传输线带来前一列的一个结点量值,这个量值乘以传输系数Wp,然后把相乘后的结果输入到这一列的结点上。系数W1

标在传输路径靠近箭头处。当没有这个系数时,就意味着Wp=1。从两条传输路径进入同一结点的两结果要相加起来。例如,对于结点F1(2)有

6.8

离散系统的频域分析

同样,利用离散时间傅里叶变换可以将任一非周期离散信号f(k)表示为指数信号ejωk的线性组合,即

式中:

据式(6.8-7),f(k)通过一个频响函数为H(ejω)的离散LTI系统的稳态响应可表示为

式中:

由于|H(ejω)|为ω的偶函数,而φ