应用数值分析（二）

插值法2.1引言2.2Lagrange插值法2.3Newton插值法2.4Hermite插值法2.5分段低次插值法2.6样条插值法2.7二元函数插值方法一维插值二维插值函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值

yi=f(xi)或者给出函数表y=f(x)xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn

求解：y=f(x)

在[a,b]上任一点处函数值的近似值？2.1引言引例机翼下轮廓线

求机翼下轮廓线上一点的近似值

插值法(本章)

拟合法(下一章)就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表达式经过所有的点

，而只要求在给定的

上误差

（i=0，1，…n）按某种标准最小。若记δ=(δ1,

δ2,…,δn

)T，就是要求向量δ的范数||δ||最小。

根据f

(x)在n+1个已知点的值，求一个足够光滑又比较简单的函数p(x)作为f(x)的近似表达式，插值法然后计算p(x)在[a,b]上点x处的函数值作为原来函数f

(x)在此点函数值的近似值。代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数解决思路

(1.2)式称为插值条件，x2<⋯<xn≤

b点上的值y0,y1,⋯,yn.

若存在一简单函数p(x),使得

p(xi)=yi

i=0,1,2,

⋯,n

(1.2)

1、定义f(

x

)称为被插函数，[a,b]称为插值区间，称为插值节点，求p

(

x

)

的方法就是插值法。设函数f(x)在[a,b]上有定义，且已知在a

≤

x0

<

x1<成立,则称p(x)为

f(x)的插值函数。近似计算f(x)的值、零点、极值点、导数、积分，插值函数p(x)在n+1个互异插值节点xi(i=0,1,…,n)处与f(xi)相等,在其它点x就用p(x)的值作为f(x)的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换句话说,插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用p(x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望p(x)能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单。最常用的插值函数是…?代数多项式用代数多项式作插值函数的插值称为多项式插值本章主要讨论的内容插值函数的类型有很多种插值问题插值法插值函数分段函数…三角多项式多项式和分段多项式计算简单，在工程计算中使用最多.x0x1x2x3x4

xf(x)p(x)从几何上看曲线P

(

x)

近似f

(

x)研究问题：（1）满足插值条件的P

(

x)

是否存在唯一？（2）若满足插值条件的P

(

x)

存在，如何构造P

(

x)？（3）如何估计用P

(

x)近似替代f

(

x)产生的误差？多项式插值存在？唯一？范德蒙行列式定理1.1.1(存在唯一性)：已知函数在上的则存在唯一的插值多项式

使得

个互异节点处的函数值注1：只要n+1个节点互异，满足插值条件的n次插值多项式是唯一存在的。注2：如果不限制多项式的次数，插值多项式不唯一或不存在。基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数

0(x),

1(x),…,

n

(x),使pn(x)=a0

0(x)

+a1

1(x)

+…+an

n（x)不同的基函数的选取导致不同的插值方法Lagrange插值Newton插值存在唯一性说明，满足插值条件的多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。待定系数法：直接求解方程组的方法，计算复杂，工作量大。2.2.1线性插值（n=1，一次插值）求解L1(x)=a1x+a0使得L1(xi)

=yi.(i=0,1)点斜式2.2拉格朗日插值法已知令点斜式则称为节点上的线性插值基函数。为f(x)的线性插值函数。节点上的线性插值基函数：只与节点有关L1(x)是两个线性函数的线性组合2.2.2抛物线插值（n=2，二次插值）求解L2(x)=a2x2+a1

x+a0使得L2(xi)=yi,i=0,1,2.已知仿照线性插值函数的构造方法抛物插值满足其中要求均为二次多项式。设即由求构造L2(x)是三个二次函数的线性组合故同理插值多项式抛物插值多项式的求法抛物插值多项式例1求抛物插值函数，并求x=1.5处值。已知的函数表解：Joseph-LouisLagrange1736~1813法国数学家、物理学家

分析其中满足2.2.3n次插值（拉格朗日插值多项式）多项式可使用上述类似方法。由组不同数据构造次上述多项式称为n次拉格朗日插值多项式。先求插值基函数然后构造插值多项式定理1（Lagrange）插值多项式通常次数=n

,但特殊情形次数可<n

,如：过三点的二次插值多项式x0x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=L(x)ab在插值区间

a,b上用插值多项式L(x)近似代替f(x),除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。若记R(x)=f(x)–

L(x),则R(x)就是用L(x)近似代替f(x)时的截断误差,或称插值余项.我们可根据后面的定理来估计它的大小.2.2.4

插值余项和误差估计设f(x)

在[a,b]有n+1阶导数，则满足插值条件的n次定理2插值项式对任意，有插值余项且依赖于.其中证明：插值余项和误差估计注意余项表达式仅当

存在时才能应用，且是唯一的。

在(

a

,

b

)内的具体位置通常不能给出。若

,则截断误差限

n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。若f(x)为次数不高于n次的多项式,从而Rn(x)=0.则f(n+1)(ξ)=0,

y0

xxk

xk+1

①线性插值：•

n=1,2时的插值余项：y0x②抛物线插值：xk-1

xk

xk+1

xi123yi0.36790.13530.0183作业5：1、课堂小结；2、课后作业第1、2、4、5、6、13题；3、数值实验题第2、4题。牛顿插值法差商Newton插值由

组不同数据

构造的

次多项式其中拉格朗日插值多项式含义直观形式对称优点：缺点：增加一个节点时，全部基函数

都需重新算过。公式不具有继承性，不利于编程。分析：在n次多项式空间中另找一组合适的基函数希望：每增加一个节点时，只需重算一个基函数Newton插值：系数是多少？疑问：kc容易求吗？

差商(亦称均差)/*divideddifference*/差商表f(x3)x3f(x2)x2f(x1)x1f(x0)x0f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2]二阶差商f[x2,x3]f[x1,x2]f[x0,x1]一阶差商f(x)xf[x0,x1,x2,x3]三阶差商由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。(差商可用函数值的线性组合表示)：性质1(差商具有对称性)：性质2差商值与节点顺序无关(差商与导数的关系)：性质3Newton插值：系数是多少？疑问：kc容易求吗？Newton插值：…………(n)(n-1)…(2)(1)(1)(2)(3)(n)是n次多项式满足插值条件Newton插值：优点：每增加一个节点，只要再增加一项即可即有递推公式例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下二阶差商一阶差商三阶差商四阶差商例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例M3.m例M3.m例M3.m例M3.m例M3.m缺点：当插值点个数取得较多时，可能会使得插值多项式产生很大的扰动，进而导致插值余项不收敛，拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫Runge现象

采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.例M3.m分段线性插值

xjxj-1xj+1x0xnxoy分段线性插值

xjxj-1xj+1x0xnxoy分段线性插值的余项例用分段线性插值法求插值.在[-6,6]中平均选取41个点作插值M4.m比分段线性插值更光滑

xyxi-1xiab

在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。三次样条插值三次样条函数满足：在每个子区间上是一个三次多项式。(1)(2)在每个内节点上具有二阶连续导数。(3)三次样条插值例用三次样条插值选取11个基点计算插值M5.m用MATLAB作插值计算一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，‘method’,‘extrap’)插值方法被插值点已知数据xi处的插值结果‘nearest’

：最邻近插值‘linear’

：线性插值；‘spline’

：三次样条插值；‘cubic’

：立方插值。‘pchip’

：分段三次Hermite插值缺省时：分段线性插值。

注意：所有插值方法都要求x是单调的例在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。M1.m

xy机翼下轮廓线例已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。M2.m设有一个年产240吨的食品加工厂,需要统计其生产费用,但由于该厂各项资料不全,无法统计。在这种情况下,统计部门收集了设备、生产能力和该厂大致相同的五个食品加工厂的产量与生产费用资料如下表：例M6.m

如何根据已知五个食品加工厂的资料较准确地估计该厂的生产费用呢？作业6：

1、本节内容小结；

2、课后作业第3、7题；

3、数值实验题第1、3题。二维插值二维插值第一种（网格节点）第二种（散乱节点）

xyO

yx0二维插值的定义已知n个节点互不相同，

构造一个二元函数通过全部已知节点,再用计算插值，即即

注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。最邻近插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O

二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。网格节点将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：

分片线性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)Of(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f4.网格节点f1f2f3f4分片线性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)O网格节点f1f2f3f4插值函数为：分两片第一片(下三角形区域)：(x,y)满足分片线性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)O网格节点f1f2f3f4插值函数为：分两片第二片(下三角形区域)：(x,y)满足注意：(x,y)应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的。双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。双线性插值函数的形如：四个待定系数双线性插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O网格节点四个顶点（插值节点）的函数值四个方程要求：1.x0,y0单调；z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值点插值方法用MATLAB作网格节点数据的插值插值节点被插值点的函数值‘nearest’

最邻近插值‘linear’

双线性插值‘cubic’

双三次插值缺省时,双线性插值2.x，y可取为矩阵，或