第二章习题答案

习题2-1图示用于风洞实验的翼型剖面由拉伸弹簧和扭转弹簧支承着，剖面重心G到支承点的距离为e，剖面绕重心的转动惯量为。试建立系统运动微分方程。题2-1图 解：如右图所示，系统的动能为：势能为：代入方程后整顿，得到矩阵形式的运动微分方程2-2图示双复摆在平面内微摆动，其中两个刚体质量分别为和，绕质心和的转动惯量分别为和。试建立系统运动微分方程。题2-2图解：如右图所示，系统的动能为：势能为：代入方程后整顿，得到矩阵形式的运动微分方程2-3求图示系统的固有频率和固有振型。题2-3图 解：系统的运动微分方程为：由关系式解得系统的两个固有频率分别为： 从而得两质量块的振幅比为：系统的固有振型为：2-4图示电车由两节质量均为的车厢构成，中间连接器的刚度为。求电车振动的固有频率和固有振型。题2-4图解：系统的运动微分方程为：由关系式解得系统的两个固有频率分别为：从而得两质量块的振幅比为：系统的固有振型为：2-5求图示扭转振动系统的固有频率和固有振型。题2-5图解：系统的运动微分方程为：由关系式解得系统的两个固有频率分别为： 从而得两质量块的振幅比为：系统的固有振型为：2-6不计刚杆质量，按图示坐标建立运动微分方程，并求出固有频率和固有振型。 题2-6图解：系统的运动微分方程为：写成矩阵的形式为：由关系式解得系统的两个固有频率分别为： 从而得两质量块的振幅比为： 系统的固有振型为：2-7已知刚杆质量为m，按图示坐标建立运动微分方程，并求其固有频率和固有振型。题2-7图解：系统的运动微分方程为：写成矩阵的形式为：由关系式解得系统的两个固有频率分别为： 从而得两质量块的振幅比为： 系统的固有振型为：2-8图示刚杆质量不计，。求系统的固有频率和固有振型。 题2-8图解：取广义坐标系统的运动微分方程为：写成矩阵的形式为：由关系式解得系统的两个固有频率分别为： 从而得两质量块的振幅比为： 系统的固有振型为：2-9图示均匀刚杆质量为m，求系统的固有模态。 题2-9图 题2-10图解：取广义坐标系统的运动微分方程为：写成矩阵的形式为：由关系式解得系统的两个固有频率分别为： 从而得两质量块的振幅比为： 系统的固有振型为：2-10建立图示双单摆的微振动微分方程，并求其固有频率和固有振型。解：系统的动能为：势能为：代入方程后整顿，得到矩阵形式的运动微分方程由关系式解得系统的两个固有频率分别为： 从而得两质量块的振幅比为： 系统的固有振型为：2-11一质点在重力场中被约束在抛物面内作纯滚动，其中是重力方向。试求质点在平衡位置附近的微振动固有频率及固有振型。解：系统的动能为：势能为：代入方程后整顿，得到矩阵形式的运动微分方程由关系式解得系统的两个固有频率分别为： 从而得两质量块的振幅比为： 系统的固有振型为：2-12考察题2-10中的双单摆系统，若，求其自由摆动。解：由题2-10有：固有振型矩阵系统的两个固有频率分别为：系统的自由振动为其中那么2-13图示刚杆质量不计，求系统的固有频率和固有振型。如果将杆向下平移，求忽然释放后的自由振动。 题2-13图 题2-14图解：系统的运动微分方程为：写成矩阵的形式为：由关系式解得系统的两个固有频率分别为：系统的固有振型为：系统的初始条件为系统的自由振动为2-14图示悬臂梁宽，厚，长，材料弹性模量。梁上安装有两个重块和，梁的质量可无视。求系统的固有频率；当简谐力作用于时，不计阻尼，求反共振频率。解：（1）在上分别作用单位力，可得到柔度系数柔度矩阵那么刚度矩阵系统的运动微分方程为：解得系统的两个固有频率分别为： （2）系统的动刚度矩阵为对于原点频响函数，反共振频率方程为反共振频率2-15双层建筑构造的简化模型如图所示，其中，剪切刚度。求构造的固有频率和固有振型；若在上作用力产生单位位移，然后无初速度地释放，求其自由响应；由于地震，基础产生水平方向运动，求构造的稳态响应。 题2-15图 题2-16图解：（1）系统的运动微分方程为解得系统的两个固有频率分别为系统的固有振型为（2）系统的初始条件为系统的自由振动为（3）系统的运动微分方程为：设稳态解为代入系统微分方程有则可得系统的稳态解。2-16图示系统中，作用在和上的激振力分别为和，且。求系统的稳态响应。解：系统的运动微分方程为设稳态解为代入系统微分方程有其中2-17在题2-6系统的左侧质量上作用简谐力，求系统的稳态响应。解：系统的运动微分方程为设稳态解为代入系统微分方程有其中2-18 若要使图示系统中左边质量块的稳态振幅取最小值，激振力的频率应为多少？并求出此时右边质量块的稳态响应。 题2-18图解：系统的运动微分方程为设稳态解为代入系统微分方程有其中要使左边质量块的稳态振幅取最小值，则有即激振力的频率应为此时右边质量块的稳态响应为2-19求图示系统在零初始条件下的脉冲响应。题2-19图解：系统的运动微分方程为：由关系式解得系统的两个固有频率分别为： 从而得两质量块的振幅比为： 系统的固有振型为采用主坐标变换代入系统的运动方程为即系统初始条件化为由初始条件可解出零初始条件的脉冲响应为，2-20求图示摆的柔度系数。解：在上作用单位力，对点取矩，有在上作用单位力，对点取矩，有在上作用单位力，对点取矩，有2-21求图示系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求时系统的固有频率。 题2-20图 题2-21图解：系统的动能为：势能为：代入方程后整顿，得到矩阵形式的运动微分方程系统的刚度矩阵系统的柔度矩阵时系统的运动微分方程为解得系统的固有频率，2-22建立图示系统的运动微分方程，并求当时的固有频率和固有振型。 题2-22图 题2-23图解：系统的运动微分方程为：当时系统的运动微分方程为：由关系式解得系统的固有频率分别为：系统的固有振型为2-23图示飞机可简化成带集中质量的自由梁的，梁的抗弯刚度为EI，质量不计，集中质量的比值为=0.1。求系统的固有频率和固有振型。解：系统的动能为：势能为：代入方程后整顿，得到矩阵形式的运动微分方程系统的固有频率为系统的固有振型为2-24图示系统中各质量只能沿方向运动，试分析其固有模态。题2-24图 题2-25图解：系统的运动微分方程为：由关系式解得系统的两个固有频率分别为：由解出特性向量得系统的固有振型为2-25图示平面刚架质量不计，抗弯刚度为EI，自由端连一重块，质量为m。(1)求系统的固有频率和固有振型；(2)由于受到冲击，重块得到方向的初速度，求系统的自由响应；(3)A点处受刚架平面内的力矩作用，求系统的稳态响应。解：（1）在集中质量上沿分别施加静力，钢架的弯曲变形能为由卡氏定理，可得柔度系数，即因此系统的自由振动微分方程为即解得系统的固有频率为系统的固有振型为（2）系统的初始条件为系统的自由振动为将初始条件代入上面两式可得故系统的自由振动为（3）受力矩作用，系统的受迫振动微分方程为系统的稳态解为2-26图示系统左端基础作简谐振动，试求两集中质量的稳态位移响应并讨论其反共振现象。题2-26图解：系统的运动微分方程为：写成矩阵的形式为：系统的动刚度矩阵为系统的稳态响应为系统产生反共振现象，则有2-27证明图2.2.3中链式系统的各原点频响函数有个反共振频率，跨点频响函数有个反共振频率。解：系统的动刚度矩阵为系统各原点频响函数是有关的次方，共有解，也即有个反共振频率。系统各跨点频响函数是有关的次方，共有解，也即有个反共振频率。2-28若题2-26中系统初始时静止，求左端基础产生阶跃位移后系统的响应。解：系统的运动微分方程为：写成矩阵的形式为：由关系式解得系统的两个固有频率分别为：由解出特性向量得系统的固有振型为采用主坐标变换代入系统的运动方程为即