001-第一章-水文统计

水文统计学(2013-2014第一学期)任课教师联系方式：

何海hehai939@163.com电话一章事件与概率§1－1事件及其运算§1－2概率的定义与性质§1－3条件概率与事件的独立性一、随机现象与随机事件二、事件的关系三、事件的运算§1－1事件及其运算

两种自然现象必然现象（确定性现象）随机现象（不确定性现象）一、随机现象与随机事件例1-1：

观察某地

区的年降水量，有无穷多个可能结果，在年终之前，我们不能确定该年的降水量是多少;观测河流某断面处的年最高水位，年最大洪峰流量等，也属于随机现象;观察南京地区的夏季气温，在发生之前，我们无法预先知道它到底会有多高，这是也是一种随机现象。常见的水文随机现象周期性：众多水文现象具有周期循环变化的性质区域性：水文现象在不同气候区呈现不同的特征

水文现象的统计性规律

随机试验：可以在相同的条件下重复进行；而且每次试验的结果可能有很多种，试验之前不可能知道会出现哪一种结果；但所有可能的结果事先是能够知道的。随机事件：随机试验每一种可能的结果随机试验与随机事件

例1-2：“抛一枚硬币，正面朝上”

“抛一枚硬币”是一个随机试验,它的结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上。抛一枚硬币，正面朝上”是一个随机事件。例1-3：“南京市8月份降水量在300~430mm之间”

“观测南京市八月份的降水量”是一个随机试验。“降水量在300－430毫米之间”是一个随机事件。随机事件基本事件(样本点)

随机试验E的每一个可能结果（ω

e）基本空间（基本事件空间或样本空间）随机试验E的所有基本事件的全体。（Ω

）复合事件由若干个基本事件复合而成的事件。（ABC）

基本事件、基本空间、复合事件

例1-4：抛一枚硬币，观察所出现的面。

基本事件：ω1=“正面朝上”，

ω2=“反面朝上”，

基本空间：Ω={ω1,ω2}例1-5：观测某地年降水量基本事件：

ωx=年降水量为x，

基本空间：Ω

={x；0<x<PMP},

PMP为该地最大年降水量。例1-6：一个盒中装有完全相同的10个球，分别标以号码1，2，…，10，从中随机抽取一个球，观察球的标号。

基本事件：ωi=取得球的标号为i，

基本空间：Ω={ω1，ω2，…，ω10}

设A表示“取得球标号为偶数”

复合事件：A={2，4，6，8，10}

例1-7：一个硬币先后抛三次，观察其出现正面或反面的情况，写出基本空间。基本事件：

（正，正，正）；（正，正，反）

（正，反，正）；（正，反，反）（反，正，正）；（反，正，反）

（反，反，正）；（反，反，反）

基本空间：8个基本事件的集合，23=8随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事情（A

B

C）必然事件：在一定条件下一定会发生的事情（Ω

）不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件。（φ

）事件的分类在讨论一个事件的必然性、不可能性或随机性时,必须将它与一定的条件联系起来。因为在不同的条件下，同一事件可以是必然的，也可以是不可能的或随机的。说明随机事件是若干个基本事件的集合；必然事件是全集；不可能事件是空集。

一、随机现象与随机事件二、事件的关系三、事件的运算§1－1事件及其运算若事件B发生必然导致事件A发生，则称事件A包含事件B。记为B

A或A

B。若B

A且B

A，则称事件A与事件B相等，记为A=B。包含/相等关系ABΩ二、事件的关系事件A与事件B互斥（也称互不相容）：事件A与事件B不可能同时发生。若A与B有可能同时发生，则称A

与B为相容事件。基本事件互不相容。

互斥/相容关系ABΩABΩ例1-8：掷骰子试验中：A—出现偶数点B—出现奇数点C—出现小于4的点

A与B互斥关系（不相容）B与C相容关系A与C相容关系若事件A与事件B不能同时发生，且必有一个发生，则称事件A是事件B的对立事件（逆事件），或B是A的对立事件（逆事件）。记为A=或B=若B是A的对立事件，则A也是B的对立事件。A的对立事件是由基本空间中不属于A的基本事件组成。

对立关系（逆事件）AΩ例1-9：掷骰子试验中：A—出现偶数点B—出现奇数点

A与B对立关系例1-10：观测南京市年降水日数：A—南京市的年降水日数大于等于80天B—南京市的年降水日数小于80天

C—南京市的年降水日数小于60天A与B对立关系;A与C互斥关系

两事件A，B对立与互斥的区别：

共同点：A，B不能同时发生

不同点：互斥A、B不能同时发生，但可以同时不发生对立A、B不能同时发生，但必定有一个发生对立一定互斥；互斥不一定对立说明一个随机试验中,若A的发生与否对事件B的发生没有任何影响,称事件A与事件B是独立关系,反之则不独立.例1-11：甲、乙两人打靶：

A—甲打中10环；B—乙打中10环例1-12：观测南京市的降雨日数：

A—2001年85天；B—2002年92天独立/不独立关系二、事件的关系ABΩABΩABΩABΩAΩAΩ一、随机现象与随机事件二、事件的关系三、事件的运算§1－1事件及其运算如果定义事件C为“事件A与事件B中至少有一个出现”，则称事件C为事件A与事件B之和。记为：C=A+B或C=A∪B

事件之和

ABΩC说明两个相同事件之和仍是它本身，即A+A=A；如果A

B，则A+B=B。事件之和的概念可以推广到事件为有限个或可列个的情况。记为：

A=A1+A2+…，或A=A1∪A2∪…例1-13：衡量圆柱形产品质量有两个指标：长度和直径。如果以A—“产品不合格”；

B—“产品长度不合格”；

C—“产品直径不合格”；那么，事件B与C中至少有一个发生，A就发生，所以，事件A是事件B与事件C之和。

如果定义事件C为“事件A发生，而事件B不发生”，则称事件C为事件A与事件B的差。

记为:C=A-B

事件之差

ABΩC例1-14：掷一颗骰子，观察它出现的点数。

设A—“出现偶数点”；

B—“出现2点”；那么：事件C=（A-B）表示“出现4点或6点”的事件。

如果定义事件C为事件A与事件B同时发生，则称事件C为事件A与事件B的积。记为：C=AB或C=A∩B事件之积两个相同事件之积仍是它本身，即AA=A

如果A

B，则AB=B。事件之积的概念可以推广到事件为有限个或可列个的情况。记为：说明例1-15：衡量圆柱形产品质量有两个指标：长度和直径。若设A—“产品合格”，

B—“长度合格”，

C—“直径合格”，那么，只有长度与直径都合格时，产品才合格，所以A为事件B与C的积，即A=BC。

定义事件A的对立事件即为A的逆，记为：求逆的运算既可以看做是一种运算，也可以看做是对立事件的一种关系。

求逆的运算

事件运算性质1、交换律A+B=B+A

AB=BA2、结合律A+（B+C）=（A+B）+C

A（BC）=（AB）C3、分配律A（B+C）=AB+AC

A（B-C）=AB-AC

(A+B)(A+C)=A+（BC）常用的事件运算性质4、差化积公式A–B=A–AB5、德˙摩根定律；

对n个事件，德˙摩根定律也成立。在对事件进行运算时，规定为：先进行逆的运算，再进行积的运算，最后进行和与差的运算。如有括号，则先进行括号内的运算。运算顺序例1-16：设A，B，C是三个随机事件。

(1)只有A发生:(2)A和B都发生而C不发生:(3)A，B，C都发生:(4)A，B，C至少有一个发生:(5)至少有两个事件发生(6)A发生，B不发生:(7)三个事件都不发生:;

(8)A，B，C中至少有一个不发生:;随机现象与随机事件事件的关系事件的运算小结基本概念、事件关系、运算性质熟练掌握一、概率的定义二、概率的性质三、加法公式§1－2概率的定义与性质定量表达随机事件发生的可能性

设：P（A）——数若事件A、B不相容：

P（A

+B）=P（A）+P（B）对n个不相容事件同样成立。一、概率的定义P（Ω）=1；P（φ)=0例1-17：一学生从编号为1，2，……10的10张考签中任抽一张，问结果是“抽到3号考签”的可能性是多少？“抽签”的基本事件总共：10个“抽到3号”事件：1个“抽到3号考签”的可能性为=1/10=0.1。

概率的古典定义

若一个随机试验满足下列条件：基本事件有限个每个基本事件发生的可能性是相同的

则称这类试验为古典型试验，它可以作为一类随机现象的抽象化模型，因此又称为古典概型。概率的古典定义P(A)=A所包含的基本事件数基本事件的总数在古典概型中，如果基本事件的总数是n，而事件A由其中的m个基本事件构成，则事件A发生的概率P(A)

为:

在古典概型下求事件A发生的概率，关键是求出基本事件的总数n和A所包含的基本事件数m。

概率的古典定义例1-18：在1000张奖券，一等奖2张，二等奖50张，三等奖98张，求：（1）任抽一张，中奖的概率；（2）任抽两张，中奖的概率和没中奖的概率。解（1）：

设：A—任抽一张且中奖

基本事件总数：n=1000，抽到每一张的可能性相等；

A所包含的基本事件数：m=2+50+98=150

P（A）=m/n=150/1000=3/20

例1-18：在1000张奖券，一等奖2张，二等奖50张，三等奖98张，求：（2）任抽两张，中奖的概率和没中奖的概率。解（2）：

设：B—任抽两张且中奖;—任抽两张没中奖

基本事件总数：n=

=（1000X999）/2=499500

事件B分解为两个事件的和:B=B1+B2P（B）=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)P(B1)=/=127500/499500P(B2)=/=11175/499500P（B）=P(B1)+P(B2)=0.28P

(B+)=P(B)+P

()=1;P

()=1-0.28=0.72

例1-19：某环保部门为了了解不同地区的真实水质情况,将从甲河取到的3个水样和乙河取到的6个水样,共计9个水样随机地平均分配到3个不同部门的实验室化验。求：（1）每个实验室各分到一个甲河水样的概率；（2）3个甲河水样被分到同一个实验室的概率。解（1）：设：A—每个实验室各分到一个甲河水样

基本事件的总数：n=

=1680；随机分配等可能；A包含的基本事件数：m==540；

P（A）=m/n=540/1680=9/28解（2）：设：B—3个甲河水样被分到同一个实验室

基本事件的总数：n=1680B包含的基本事件数：m==60

P（B）=m/n=60/1680=1/28

以A表示随机事件“点落在圆形区域中”，则A发生的可能性为：

P（A）=

概率的几何定义

AΩ例1-19：某号台风将在我国东南沿海长500公里的某段海岸线登陆，它在此段海岸线上任意一处登陆的可能性都是相同的，问该号台风在此海岸线上的某重点防护的100公里地段上登陆的可能性有多大？

A—台风在重点防护的100公里地段登陆；

P（A）=

概率的几何定义例1-20：设在面积为1000km2的流域内，暴雨中心落在任何一处的可能性都相同，问暴雨中心出现在流域内面积为500km2的某区域内的可能性有多大？A—暴雨中心出现在流域内面积为500km2的某区域；P（A）=概率的几何定义例1-21：设在1000亳升的自来水中有一个大肠杆菌，现从中随机取出一杯20亳升的水样，求在此杯水中发现大肠杆菌的概率。

A—所取水样中出现大肠杆菌；P（A）=

概率的几何定义若一个随机试验满足下列条件：基本事件有无限多个,基本空间为一有界的几何区域;试验中每个基本事件发生的可能性相同.

则称这类随机试验模型为几何概型。对于几何概型,设基本空间为Ω,事件A

Ω,则事件A的概率:

P（A）=

概率的几何定义

例1-22：（会面问题）设两人相约于某日下午1点到2点之间在某地会面，先到者等候另一人半小时，过时就离去。如果每人可在所指定的一小时内的任一时刻到达，并且两人到达的时刻是彼此无关的，试求两人能会面的概率。解(1)：设A—两人能会面；判断概率类型以x,y分别表示两人各自到达约会地的时刻点，根据题意：；；（x，y）构成图示边长为1的正方形空间中的一点；基本空间：

Ω=正方形面积；

A的几何测度：g=阴影部分面积

P（A）=事件频率设在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值

fn（A）=

称为事件A在这n次试验中出现的频率。

频率在一点程度上定量反映了事件出现可能性的大小.概率的统计定义

若事件A在每次试验中出现的可能性较大,则在多次重复试验中出现的次数一般也较多;反之,若A在每次试验中出现的可能性较小,则在多次重复试验中出现的次数一般也较少。下表为法国科学家蒲丰和英国生物学家皮尔逊做掷硬币试验的结果:

试验者

蒲丰

皮尔逊试验次数n155050040401200024000正面朝上次数m03282452048601912016

频率00.60.560.490.50690.50160.5006在相同条件下所做的n次试验中，当时，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数p附近，则称p为事件A发生的概率，即：

P（A）=p

概率的统计定义

一、概率的定义二、概率的性质三、加法公式§1－2概率的定义与性质性质1：性质2：P（）

=1

P（φ）

=0-必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。但反过来的论断不成立。概率为1的事件并非一定是必然事件，概率为0的事件并非一定是不可能事件。

二、概率的性质

性质3：两个互斥事件A与B之和的概率等于事件

A与B的概率之和。

P（A+B）=P（A）+P（B）这个性质可以推广到一般情况，若事件

A1，A2，A3…An互斥，即AiAj=(ij),

则有：

P（A1+A2+……+An）=P（A1）+P（A2）

+…+P（An）

证：设总的基本数为n，其中事件A与B

所含的基本事件数分别为mA与mB，事件A与B互斥，没有相同的基本事件事件A+B所包含的基本事件数为mA+mB，P(A)=，P（B）=

P(A+B)==+=P(A)+P(B)性质4：对任何事件A，有

P（）=1-P（A）证：A+

=，且A

=φ由性质2得P（A+

）=P（）=1，根据性质3得P（A+）=P（A）+P（）所以：P（A）+P（）=1，因此：P（）=1-P（A）性质5：设A、B为二事件，且A

B，则

P(A－B)=P(A)-P(B)且P(A)

P(B)证：当A

B时，有

A＝B＋(A－B)，且B(A－B)=φ

P(A)＝P[B＋(A－B)]＝P(B)＋P(A－B)

即P(A－B)＝P(A)－P(B)

又P(A－B)

，可得P(A)

P(B)若:

B

A,则:

P(A－B)=P(A)-P(AB)一、概率的定义二、概率的性质

三、加法公式§1－2概率的定义与性质性质6：对任意二事件A，B，有

P(A+B)

＝P(A)＋P(B)－P(AB)

证：A＋B＝A＋(B－AB)，且A(B－AB)=φ

所以：P(A+B)＝P［A＋(B－AB)］＝P(A)＋P(B－AB)

又B

AB，由性质5得

P(B－AB)＝P(B)－P(AB)

故P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)

三、加法公式

例1-23：某学校招生录取率为55%，其录取标准有两条：总分超过500；不及格门数不超过两门。估计各有70%的考生达到上述两条标准。求两条标准均没达到的考生比率。解：A—总分超过500分

B—不及格门数不超过两门已知条件：P(A)=0.7;P(B)=0.7;P(AB)=0.55求解问题：P(A

B)=?根据加法公式：P(A

B)=P(A)+P(B)-P(A+B)P(A)=1-P(A)=0.3

P(B)=1-P(B)=0.3

A+B=AB;P(A+B)=1-P(AB)=0.45

P(A

B)=0.3+0.3-0.45=0.15例1-23：某学校招生录取率为55%，其录取标准有两条：总分超过500；不及格门数不超过两门。估计各有70%的考生达到上述两条标准。求两条标准均没达到的考生比率。解：A—总分超过500分

B—不及格门数不超过两门已知条件：P(A)=0.7;P(B)=0.7;P(AB)=0.55求解问题：P(A

B)=?例1-24：据天气预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1。求：（1）第一天下雨而第二天不下雨的概率；（2）至少有一天下雨的概率；（3）至少有一天不下雨的概率；（4）两天都不下雨的概率。解(1)：Ai—第i（i=1，2）天下雨已知条件：P(A1)=0.6；P(A2)=0.3；P(A1A2)=0.1求解问题:(1)P(A1A2);(2)P(A1+A2);(3)P(A1A2);(4)P(A1A2);(1)

A1A2=A1-A2=A1-A1A2

P(A1A2)

=P(A1-A1A2)=P(A1)-P(A1A2)=0.6-0.1=0.5(2)

P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)=0.6+0.3-0.1=0.8(3)

P(A1A2)=1-

P(A1A2)=1-0.1=0.9(4)

A1A2

=(A1+A2)

;

P(A1A2)=P(A1+A2)=1-P(A1+A2)=1-0.8=0.2概率的定义概率的性质加法公式小结一、条件概率

二、乘法公式三、全概率公式四、贝叶斯公式§1－3条件概率与事件的独立性

例1-25：10张奖券中，2张奖券是有奖的，其中一等奖1张，二等奖1张。（1）任意抽取一张，抽到一等奖的概率；（2）抽到了中奖奖券

，这张奖券是一等奖的概率；

A—抽到一等奖；

B—抽到中奖奖券；问题（2）：在事件B发生的条件下，事件A的概率一、条件概率设A、B是两个随机事件，且P（B）>0，则称

P（）=为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。

条件概率设基本事件总数为n，其中事件A包含mA基本事件，事件B包含mB个基本事件，事件AB包含mAB个基本事件。从古典概型证明条件概率公式把mB看作基本事件的总数，在这mB基本事件中，属于事件A的基本事件数有mAB个.

故:例1-26:某种产品，尺寸和光洁度都合格就认为此件产品合格。今有该种产品100件，其中95件尺寸合格，92件光洁度合格，90件尺寸及光洁度都合格。从中任取一件，发现光洁度合格，问此件产品为合格品的概率是多少？解：A—产品尺寸合格；

B—产品光洁度合格

已知条件：A=95；B=92；AB=90；Ω=100求解问题：P（A∣B）=？

P（A∣B）=P（AB）/P（B）

P（AB）=90/100=9/10；P（Ｂ）＝92/100

P（A∣B）=P（AB）/P（B）＝90/92＝45/46

同概率的一般性质

:1、2、3、条件概率的性质P(φ/B)=04、5、例1-27:一批按同一标准设计的小型水库，建成后能正常运行30年的概率为0.95，能正常运行40年的概率为0.80，问现在已正常运行了30年的水库能正常运行到40年的概率是多少？解：A—建成后能正常运行30年Ｂ—建成后能正常运行40年已知条件：Ｐ(A)=0.95;P(B)=0.8求解问题：Ｐ(B∣A)=?例1-28:设一批产品合格率为98%，合格品中的一等品率为70%，问任意抽取一件产品，它为一等品的概率是多少？解：A—抽到合格品Ｂ—抽到一等品已知条件：Ｐ(A)=0.98;Ｐ(B∣A)=0.7求解问题：P(B)=？一、条件概率

二、乘法公式三、全概率公式四、贝叶斯公式§1－3条件概率与事件的独立性

对条件概率公式进行改写,得到概率的乘法公式:

乘法公式概率的乘法定理可以推广到n个事件同时发生的情形：设A，B为两个事件，如果事件A的发生对事件B没有任何影响,那么:

P（B/A）=P（B）称事件B对事件A是独立的.事实上:若事件B对事件A对立,那么事件A对事件B也一定是独立的.根据条件概率公式:若P（B/A）=P（B）,则P（A/B）=P（A）通常称事件A与事件B相互独立,简称独立。事件的独立性设A、B为两事件，若:

P（AB）=P（A）P（B）则称事件A与B相互独立。若事件A和B独立，则A与，与B，与也是独立的。事件的独立性例1-29:某防汛部门有甲乙两人各自独立开展洪水预报。甲报准的概率0.88,乙报准的概率0.92，求在一次预报中，甲乙两人中至少有1人报准的概率。解：A—甲预报准确

B—乙预报准确

C—甲、乙至少一人预报准确已知条件：P（A）=0.88；P（B）=0.92求解问题：P（C）=？

C=A+B：

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

A与B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)

P(C)=0.88+0.92-0.88×0.92≈0.99例1-29:某防汛部门有甲乙两人各自独立开展洪水预报。甲报准的概率0.88,乙报准的概率0.92，求在一次预报中，甲乙两人中至少有1人报准的概率。解：A—甲预报准确

B—乙预报准确

C—甲、乙至少一人预报准确已知条件：P（A）=0.88；P（B）=0.92求解问题：P（C）=？

P(C)=1-P(C)=1-P(A

B）

A与B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)][1-P(B)]

P(C)=1-(1-0.88)

(1-0.92)=1-0.12×0.08≈0.99例1-30:已知P（A）=a，P（B）=0.3，P（A+B）=0.7求：（1）A、B不相容，求a；（2）A、B独立，求a。解：（1）A、B不相容加法公式:(2)A、B独立，A与B也相互独立

例1-31:某地区D位于甲乙两河交汇处,假设其中任一河流泛滥都将导致该地区淹没,如果每年甲河泛滥的概率为0.2,乙河泛滥的概率为0.4,当甲河泛滥而导致乙河泛滥的概率为0.3.求：（1）任一年甲乙两河都泛滥的概率；（2）该地区被淹没的概率;

(3)由乙河泛滥导致甲河泛滥的概率.解：设:A—甲河泛滥；B—乙河泛滥；C—地区D淹没已知条件：P(A)=0.2;P(B)=0.4;Ｐ(B∣A)=0.3求解问题:P(AB)=?;P(C)=?;P(A∣B)=?(1)

P(AB)=P(A)Ｐ(B∣A)=0.2x0.3=0.06;(2)P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6-0.06=0.54(3)

一、条件概率

二、乘法公式三、全概率公式四、贝叶斯公式§1－3条件概率与事件的独立性

例1-32:

有甲、乙两个盒子，其中甲盒中有2只白球、5只红球，乙盒中有3只白球、4只红球。从甲盒中任取1球放入乙盒，再从乙盒中任取1球，求：取到白球的概率。解：A—从乙盒中取到白球；

B1—从甲盒中取到白球；B2—从甲盒中取到红球已知条件：P(B1)=2/7;P(B2)=5/7求解问题：P(A)=?

A=B1A+B2A;P(A)=P(B1A+B2A)B1和B2是两个不相容事件，所以B1A和B2A也是不相容的

P(A)=P(B1A+B2A)=P(B1A)+P(B2A)=P(B1)P(A｜B1)+P(B2)P(A｜B2)=三、全概率公式

设B1，B2,……,Bn是基本空间中的一组事件，且满足:

则称B1，B2……Bn为的一个完备事件群简称完备群,也称为的划分。对任意事件A,则有:全概率公式

全概率公式运用了“化整为零”解决问题思路；全概率公式做出了由因求果的推断；全概率公式应用的关键点：（1）所研究的事件A前一步骤试验B有多种可能Bi；（2）每一种可能Bi都会对事件A的结果产生影响。全概率公式

某种事件A的发生有各种可能的原因Bi（i=1，2，…,n）引起：（1）如果A是由其中的一个Bi引起的，则A发生的概率是条件概率的转换形式：（2）如果A是由所有的Bi（i=1,2,…,n）引起的,则A发生的概率是引起A发生的所有原因Bi条件概率之和，也就是全概率公式：全概率公式

与条件概率例1-33:一批水文数据由A1，A2，A3三人抄录，每人抄录的数据分别为数据总量的0.5，0.25，0.25。每人的抄错率分别为2%，1%，0.5%，现从这批数据中任取一个，求该数据恰为错误数据的概率。解：Ai—该数为Ai所抄录（i=1，2，3）

B—所取数据为错误数据

例1-34:

五张签中，三个上面写着“有”，两个上面写着“无”，五人依次各抽一签，求各人抽到有的概率。解法一：

Ai—第i人抽到“有”（i=1，2，3，4，5）例1-34:

五张签中，三个上面写着“有”，两个上面写着“无”，五人依次各抽一签，求各人抽到有的概率。解法二：

Ai—第i人抽到“有”（i=1，2，3，4，5）例1-34:

五张签中，三个上面写着“有”，两个上面写着“无”，五人依次各抽一签，求各人抽到有的概率。解法三：

Ai—第i人抽到“有”（i=1，2，3，4，5）

把问题视为五张签任意排列，Ai即为排在第i位的签为“有”的情况，可直接用概率古典定义计算。

基本事件的总数：

Ai所包含的基本事件数：

一、条件概率

二、乘法公式三、全概率公式四、贝叶斯公式§1－3条件概率与事件的独立性

例1-35:甲、乙两个盒子，其中甲盒中有2只白球、5只红球，乙盒中有3只