全等三角形整合提升

-.z.专训一：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等．证明数量关系题型1证明线段相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF.(第1题)题型2证明角相等2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F交BC于E.求证：∠ADB＝∠CDE.(第2题)证明位置关系3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，点G是EF的中点，求证：DG⊥EF.(第3题)证明倍分关系4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD.(第4题)证明和、差关系5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC.(第5题)证明不等关系6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC.(第6题)专训二：构造全等三角形的六种常用方法名师点金：在进展几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比拟集中，能比拟容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．构造根本图形法1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.(第1题)翻折法2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.(第2题)旋转法3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．(第3题)平移法4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.(第4题)加倍折半法5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．(第5题)截长补短法6．如下图，AB∥CD，BE、CE分别为∠ABC、∠BCD的平分线，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.(第6题)专训三：分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．当顶角和底角不确定时，分类讨论1．假设等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝eq\f(1,2)BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．假设等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．当底和腰不确定时，分类讨论4．(2015·)一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．6．假设实数*，y满足|*－5|＋(10－y)2＝0，则以*，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．当高的位置关系不确定时，分类讨论7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个角的度数．由腰的垂直平分线引起的分类讨论8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数．由腰上的中线引起的分类讨论9．等腰三角形ABC的底边BC长为5cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3cm的两局部．求腰长．点的位置不确定引起的分类讨论10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()(第10题)A．7个B．6个C．5个D．4个11．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．(第11题)专训四：三角形中常见的热门考点名师点金：本章主要学习了互逆命题与互逆定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形，线段垂直平分线与角平分线等常见的轴对称图形的性质与判定．本章的考点较多，也是中考的重点考察容．互逆命题、根本领实、互逆定理1．以下命题是真命题的是()A．无限小数是无理数B．相反数等于它本身的数是0和1C．对顶角相等D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形2．以下命题及其逆命题是互逆定理的是()A．全等三角形的对应角相等B．假设两个角都是直角，则它们相等C．同位角相等，两直线平行D．假设a＝b，则|a|＝|b|全等三角形的性质与判定3．如下图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，则图中的全等三角形有()A．3对B．2对C．1对D．0对(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，AC＝5，F是高AD和BE的交点，AD＝BD，则BF的长是()A．7B．6C．5D．45．(2015·)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.(第5题)等腰三角形的判定与性质6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则以下四个结论：(1)∠DEF＝∠DFE；(2)AE＝AF；(3)DA平分∠EDF；(4)AD垂直平分EF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(第6题)(第7题)(第8题)7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．8．如下图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N.假设AB＝6cm，AC＝9cm，则△AMN的周长为________．9．(中考·)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.(第9题)尺规作图10．如图，线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.红的作法如下：(1)作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；(3)在直线MN上截取线段h；(4)连接AB，AC.△ABC即为所要求作的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是()(第10题)A．(1)B．(2)C．(3)D．(4)线段垂直平分线与角平分线11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，则以下结论错误的选项是()A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB＋BCC．AD＝BD＝BCD．点D是线段AC的中点(第11题)(第12题)12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，则∠CAB的大小是()A．80°B．50°C．40°D．20°13．如图，C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，点B，D分别在AM，AN上，且AE＝eq\f(1,2)(AD＋AB)．问：∠1和∠2有何关系？并说明理由．(第13题)思想方法a．分类讨论思想14．等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角度数为________．15．(2014·)等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足eq\r(2a－3b＋5)＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为()A．7或8B．6或10C．6或7D．7或10b．方程思想16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．(第16题)c．转化思想17．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：BE＝eq\f(1,2)(AC－AB)．(第17题)答案专训一1．证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,∠EAD＝∠FAD，,AD＝AD，))∴△AED≌△AFD(S.A.S.)．∴DE＝DF.2．证明：过点C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则CG∥AB，∴∠BAF＝∠G.又∵AF⊥BD，AC⊥CG，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠CAG＋∠G＝90°.∴∠ABF＝∠CAG.在△ABD和△CAG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABF＝∠CAG，,AB＝AC，,∠BAD＝∠ACG＝90°，))∴△ABD≌△CAG(A.S.A.)．∴AD＝CG，∠ADB＝∠G.又∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∴CD＝CG.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵AB∥CG，∴∠ABC＝∠GCE.∴∠ACB＝∠GCE.又∵CE＝CE，∴△CDE≌△CGE(S.A.S.)．∴∠G＝∠CDE.∴∠ADB＝∠CDE.(第3题)3．证明：如图，连接ED，FD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CF，,∠B＝∠C，,BE＝CD，))∴△BDE≌△CFD(S.A.S.)．∴DE＝DF.又∵点G是EF的中点，∴DG⊥EF.4．证明：∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH.在△BCE和△AHE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EBC＝∠EAH，,BE＝AE，,∠BEC＝∠AEH＝90°，))∴△BCE≌△AHE(A.S.A.)．∴AH＝BC.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD.5．证明：如图，延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E.∵∠ABC＝2∠C＝2∠E，∴∠E＝∠C，∴AE＝AC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.(第5题)(第6题)6．证明：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.在△AEP和△ACP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AC，,∠BAD＝∠CAD，,AP＝AP，))∴△AEP≌△ACP(S.A.S.)，∴PE＝PC.在△PBE中，BE＞PB－PE，∴AB－AC＞PB－PC.专训二1．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD和△CBG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠2，,AC＝CB，,∠ACD＝∠CBG＝90°，))∴△ACD≌△CBG(A.S.A.)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝BG，,∠DBF＝∠GBF，,BF＝BF，))∴△BDF≌△BGF(S.A.S.)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.点拨：此题运用了构造根本图形法，通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键．(第1题)(第2题)2．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.在△ABD和△FBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABD＝∠FBD，,BD＝BD，,∠ADB＝∠FDB＝90°，))∴△ABD≌△FBD(A.S.A.)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.(第3题)3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠ABH＝∠D＝90°.在△ABH和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠ABH＝∠D＝90°，,BH＝DF，))∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.在△AEH和△AEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AH＝AF，,AE＝AE，,EH＝EF，))∴△AEH≌△AEF.∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝eq\f(1,2)∠HAF＝45°.点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.4．证明：过点O作OD∥BC交AB于点D，∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.∴OD＝OQ，AD＝AQ.∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB，又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.∴BD＝OD.∴BD＝OQ.∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，∴∠BOP＝70°.∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，∴∠APB＝70°.∴∠BOP＝∠APB，∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝BQ＋AQ.5．解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝CD，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.故设∠EAC＝∠C＝*，∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2*，∴∠B＝2*，∠BAE＝180°－2*－2*＝180°－4*.∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，即180°－4*＋*＝120°，解得*＝20°，则∠C＝20°.6．证法一：用截长法，如图①所示，在BC上截取BF＝AB，连接EF.(第6题)因为BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，所以∠ABE＝∠FBE，∠FCE＝∠DCE.在△ABE和△FBE中，因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝FB，,∠ABE＝∠FBE，,BE＝BE，))所以△ABE≌△FBE.所以∠A＝∠EFB.因为AB∥CD，所以∠A＋∠D＝180°.因为∠BFE＋∠EFC＝180°，所以∠EFC＝∠D.在△EFC和△EDC中，因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FCE＝∠DCE，,∠EFC＝∠D，,EC＝EC，))所以△EFC≌△EDC.所以FC＝DC.所以BC＝BF＋FC＝AB＋CD.证法二：用补短法，如图②所示，延长BE交CD的延长线于点G.因为AB∥CD，所以∠ABE＝∠G.因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE.所以∠CBE＝∠G.因为CE平分∠BCD，所以∠BCE＝∠GCE.在△BEC和△GEC中，因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CBE＝∠G，,∠BCE＝∠GCE，,CE＝CE，))所以△BEC≌△GEC.所以BC＝GC，BE＝GE.在△ABE和△DGE中，因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠G，,∠AEB＝∠DEG，,BE＝GE，))所以△ABE≌△DGE.所以AB＝DG.所以BC＝CG＝GD＋DC＝AB＋CD.专训三1．D2.C3.32°4．C5.23或256.257．解：设等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D.(1)当高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的部，如图①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.(第7题)(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，高在△ABC的部时，∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如图③，高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.点拨：由于题目中的“另一边〞没有指明是“腰〞还是“底边〞，因此必须进展分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形还是在三角形外．8．解：此题分两种情况：(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小为65°或25°.(第8题)9．解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD.(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3cm时，则AB－BC＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝8cm；(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3cm时，则BC－AB＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝2cm；但是当AB＝2cm时，三边长为2cm，2cm，5cm，而2＋2＜5，不符合三角形三边关系，故舍去，故腰长为8cm.10．B11．解：(1)当点D，E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，(第11题)∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)当点D，E在点A的同侧，且点D在D′的位置，点E在E′的位置时，如图②，与(1)类似地可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)当点D，E在点A的两侧，且点E在E′的位置时，如图③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)当点D，E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图④，∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝(180°－∠BAC)÷2，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE＝180°－(∠D′EC＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC＋∠AD′C)＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]＝(∠BAC＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE的度数为20°或110°或70°.专训四1．C2.C3.A4.C5．证明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，∴AM＝eq\f(2,3)AB，AN＝eq\f(2,3)AC.又∵AB＝AC，∴AM＝AN.∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD.又∵AD＝AD，∴△AMD≌△AND(S.A.S.)．∴DM＝DN.6．D7.38.15cm9．证明：∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.10．C11.D12.D(第13题)13．解：∠1与∠2互补．理由：作CF⊥AN于F(如图)，∵AC平分∠MAN，∴∠3＝∠4，又∵CE⊥AM，CF⊥AN，∴C